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Abb. 1: Die Statistik im Überblick

Die Statistik lässt sich in

unterscheiden. An einigen Hochschulen wird auch noch Wirtschaftsstatistik gelehrt.

Deskriptive Statistik

Bei der Deskriptiven Statistik geht es um die Gewinnung aussagekräftiger Maßzahlen, wie z. B.

Diese Maßzahlen helfen dabei, einen Datensatz sinnvoll zu beschreiben und zu charakterisieren. Mittelwerte kennzeichnen die Größenordnung oder das Niveau, in der bzw. auf dem sich die einzelnen Werte bewegen.

Beispiel für Mittelwerte

Ein Mittelwert beantwortet die Frage, ob aktuell die Preise für Laptops „im Schnitt“ bei 500 Euro liegen.

Da es in der Regel Abweichungen nach oben oder unten gibt, sollte nicht nur ein Mittelwert, sondern auch die Streuung gemessen werden. Dabei hilft die Varianz . Sie zeigt die Unterschiedlichkeit der erhobenen Merkmalsausprägungen (Werte) für eine Variable x an und damit die Homogenität einer Masse (Gesamtheit) bezüglich x. Eine Streuung liegt bezogen auf das obige Beispiel vor, wenn es auch Laptops gibt, die günstiger oder auch teurer als 500 € angeboten werden.

In der Deskriptiven Statistik spielt es keine Rolle, ob die Daten für die Berechnung einer Maßzahl (wie z. B. der oben genannte Mittelwert oder die Varianz ) aus einer Stichprobe (Zufallsauswahl), einer nichtzufälligen Teilerhebung oder aus einer Vollerhebung stammen.

Statistiker sprechen von einer Vollerhebung, wenn die gesamte Grundgesamtheit untersucht wird. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn ohne Ausnahme alle Absolventen eines Jahrgangs zu einem Thema befragt werden. Eine Teilerhebung – insbesondere wenn die Einheiten nach dem Zufallsprinzip ausgewählt wurden – liegt vor, wenn lediglich eine Stichprobe aus der Grundgesamtheit befragt wird, also zum Beispiel nur 25 von 1.000 Absolventen befragt werden.

Im Zusammenhang mit Stichproben ist es üblich, griechische Buchstaben zu verwenden, wie zum Beispiel μ oder σ; lassen Sie sich davon nicht abschrecken.

Aber berücksichtigen Sie im Hinblick auf die Induktive Statistik das Folgende: In der Induktiven Statistik müssen Sie durch Symbole unterscheiden, ob sich etwas auf die Grundgesamtheit oder auf die Stichprobe bezieht. Um hier Klarheit zu schaffen verwenden Statistiker

Induktive Statistik

Bei der Induktiven Statistik geht um die Beurteilung einer Maßzahl (etwa ) im Vergleich zur unbekannten entsprechenden Größe μ_x in der Grundgesamtheit, die mit geschätzt wird (μ_x wird „Parameter“ genannt).¹ Zentrale Gegenstände der Induktiven Statistik sind deshalb das

■	Schätzen von Parametern (wie μ bzw. σ2 usw.) aufgrund entsprechender Schätzfunktionen (wie oder s2, bzw. ) mit Werten aus der Stichprobe, und das
■	Testen von Hypothesen über Parameter.

Eine Hypothese ist in der Statistik eine Annahme über die Grundgesamtheit, die durch Daten der Stichprobe geprüft werden kann.

Beispiel Prüfung einer Hypothese

Die Wirkung von Schlankheitspillen kann durch zwei Gruppen getestet werden: Die erste Stichprobe (Experimentgruppe) nimmt die Pillen ein und eine zweite Stichprobe (Kontrollgruppe) nicht. Nach der Einnahme zeigt sich, dass die durchschnittliche Gewichtsabnahme in der Experimentgruppe mit n₁ = 10 Personen größer ist als die durchschnittliche Gewichtsabnahme in der Kontrollgruppe mit n₂ =10 Personen. In Zahlen lässt sich das wie folgt ausdrücken: .

Sie sind der Meinung, dass die Pillen wirken? Vorsicht: Dadurch ist noch nicht bewiesen, dass die Pillen tatsächlich gewirkt haben, denn und wurden jeweils nur in einer Stichprobe erhoben und sind folglich nur Schätzwerte für die wahren Werte μ₁ und μ₂. Es kann durchaus sein, dass die wahren Werte μ₁ und μ₂ gleich sind, und die Pillen wirkungslos sind. Statistiker stellen deswegen die sogenannte Nullhypothese auf, die lautet

und sie stellen sich die Frage, wie wahrscheinlich ist, wenn in der Tat μ₁ − μ₂ = 0 ist. Wenn dieses Ergebnis noch im Rahmen des Zufalls liegt, dann wird die Nullhypothese H₀ nicht verworfen und die Wirksamkeit der Pillen wird als „nicht gesichert“ bezeichnet. Wenn es dagegen wenig wahrscheinlich ist, kann die Hypothese „verworfen“ werden. Der Unterschied ist „signifikant“, die Pillen dürften also wirksam sein.

Dieses Beispiel zeigt, dass bei Stichproben immer ein Auswahlfehler vorliegt. Aber dieser Auswahlfehler ist ein Zufallsfehler, weil der Stichprobe eine Zufallsauswahl zugrunde liegt. Auf ihn, und damit auch auf das Schätzen und Testen sind die Regeln und Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung anwendbar. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist deshalb auch die theoretische Grundlage für die Induktive Statistik.