Read the book: «Логика без угадывания. 24 задачи с пошаговыми решениями»

Name: Логика без угадывания. 24 задачи с пошаговыми решениями
Author: Глеб Зайцев

Глеб Зайцев

Font::

Перед началом

Как пользоваться этой книгой

В этой книге 24 самостоятельные задачи. Их цель — дать повод для аккуратного рассуждения: перечислить допустимые варианты, исключить невозможные и объяснить, почему найденный ответ подходит. Здесь нет скрытых рисунков, сведений из истории или ответов, зависящих от игры слов. Всё существенное для решения находится в условии конкретной задачи.

Сначала прочитайте раздел «Условия задач» и выберите задачу. Если застряли, найдите её номер в разделе «Подсказки»: первая подсказка предлагает направление, вторая помогает сделать следующий шаг. Полные ответы расположены ещё дальше, в разделе «Решения и проверка». Оглавление электронной читалки помогает переходить между этими разделами. Возвращаясь к условию, ориентируйтесь на номер и название, а не на номер экранной страницы: страницы меняются вместе с размером шрифта.

Работать можно в любом порядке. Пометки «разминка», «средняя» и «вызов» — редакционные ориентиры, а не измерение ваших способностей. Разные типы задач даются людям по-разному. Нет необходимости засекать время, сравнивать себя с кем-либо или решать всё за один вечер. Короткая пауза полезнее механического перебора одних и тех же предположений.

Держите рядом бумагу. Разделите запись на три части: что дано, что вы уже доказали и что временно предполагаете. Временная гипотеза не должна незаметно превратиться в факт. Если она привела к противоречию, зачеркните именно эту ветвь рассуждения и вернитесь к последнему доказанному утверждению.

Разобранный пример: условия работают вместе

До самостоятельных задач рассмотрим маленький пример целиком. Загадано одно число из списка 2, 4, 7, 9. Известно, что оно строго больше 3 и чётное. Какое число загадано? Других чисел среди вариантов нет.

Первое условие исключает только 2. Остаются 4, 7 и 9. Каждое из них больше 3, поэтому на этом шаге нельзя выбрать 7 просто потому, что оно встретилось нам раньше или кажется подходящим. Нужно сохранить все три возможных ответа до проверки второго условия.

Второе условие требует чётного числа — такого, которое делится на 2 без остатка. Из оставшихся 4, 7 и 9 этому требованию отвечает только 4. Значит, ответ — 4. Число 2 тоже чётное, но возвращать его в список нельзя: оно уже нарушило первое условие.

Теперь проверим не ход поиска, а готовый ответ: 4 строго больше 3, а 4 : 2 = 2 без остатка. Оба условия выполнены. Других ответов нет: 2 исключено первым условием, 7 и 9 — вторым, и мы рассмотрели весь исходный список.

Можно было начать с чётности. Тогда сначала остались бы 2 и 4, а требование быть больше 3 убрало бы 2. Ответ тот же, хотя порядок рассуждения другой. Полезный приём состоит не в запоминании «правильного первого шага», а в последовательном пересечении ограничений: кандидат должен выдержать их все одновременно.

Читаем условие буквально

Условие задаёт небольшой замкнутый мир. Если сказано, что у каждого участника один предмет и все предметы различны, повторений нет. Если такого правила нет, придумывать его нельзя. Точно так же нельзя добавлять привычные жизненные обстоятельства: например, кто обычно приходит раньше или какие цвета кому нравятся. Имена, занятия и предметы здесь служат метками, а не подсказками о характере людей.

Слова «раньше» и «непосредственно раньше» обозначают разное. В первом случае между событиями могут быть другие события; во втором — промежуточной позиции нет. «Хотя бы одно» допускает несколько, а «ровно одно» — нет. В задачах с числами обратите внимание, разрешён ли ноль, допускаются ли повторы и должны ли значения быть целыми. В задаче с дорогами проверьте, разрешён ли обратный проход и можно ли повторять остановки.

Фраза «если А, то Б» запрещает сочетание «А выполнено, Б не выполнено». Она сама по себе не утверждает ни А, ни обратное правило «если Б, то А». Например, если красная карточка обязательно круглая, это не мешает синей карточке тоже быть круглой. Если в условии требуется связь в обе стороны, это оговаривается отдельно.

В заданиях с высказываниями истинность относится к указанной фразе целиком. Не переносите её автоматически на другие слова того же персонажа. Везде, где важно число верных сообщений, оно названо в условии. Для решения не нужно угадывать намерения говорящего или рассуждать о том, насколько он правдоподобен.

Три способа держать варианты перед глазами

Для порядка нарисуйте ряд клеток и подпишите их номера. Отношение «левее» можно временно записать стрелкой между названиями, но стрелка ещё не задаёт соседство. Сначала поставьте то, чему осталось одно место, затем вернитесь к ограничениям: появление занятой клетки часто делает другое условие гораздо сильнее.

Для соответствий нарисуйте таблицу: имена по строкам, предметы по столбцам. Крестик означает доказанный запрет, отметка — доказанное совпадение. В таблице с взаимно однозначным соответствием подтверждённая пара исключает остальные клетки в её строке и столбце. Не ставьте отметку только потому, что вариант кажется удобным: она должна следовать из условия или из исчерпания остальных вариантов.

Для выбора из небольшого набора выпишите все варианты в одном порядке. Так легче заметить, что вы не рассмотрели один случай дважды и не пропустили другой. Если у каждого из двух объектов по два возможных состояния, проверяйте пары состояний, а не каждое состояние по отдельности: ограничения часто связывают объекты.

Удобная проверка гипотезы звучит так: «Допустим, это так. Какие остальные значения тогда вынуждены?» Если возникает нарушение условия, гипотеза исключается. Если противоречия пока нет, она остаётся кандидатом, но не обязательно ответом. Отсутствие замеченной ошибки не равно доказанной единственности.

Что считать законченным решением

Хорошее решение отвечает ровно на заданный вопрос и указывает нужный порядок перечисления. Когда просят восстановить распределение, одного имени недостаточно: запишите все пары. Когда требуется последовательность, перечислите её от первого места к последнему. Для числового ответа назовите, к какому объекту относится каждое число.

После получения ответа вернитесь к условиям и проверьте их по одному. Удобно выписать рядом короткие подтверждения: «раньше — да», «различны — да», «сумма — такая-то». Особенно легко забыть отрицательное условие: оно не помогло найти ответ напрямую, но всё равно обязано выполняться.

Проверка ответа показывает, что он допустим. Объяснение, почему других ответов нет, — отдельная часть работы. Оно может быть короткой цепочкой вынужденных шагов или разбором всех оставшихся ветвей. В этой книге разборы сочетают оба подхода. Перед публикацией конечные модели задач дополнительно проверялись перебором; читателю компьютер для решения не нужен.

Не все получившиеся при решении записи обязательно совпадут с авторскими. Если вы пришли к тому же ответу другим корректным путём, это полноценное решение. Попробуйте найти в своём рассуждении первый решающий шаг и назвать правило, которое сделало его возможным. Именно этот приём полезно перенести в следующую задачу.

Условия задач

Задача 1. Три карточки на столе

Приём: Начать с самого жёсткого ограничения. Уровень: разминка.

На столе лежат три разные карточки с названиями «Сад», «Мост» и «Парус». Они занимают три места в одном горизонтальном ряду: первое — слева, второе — посередине, третье — справа. На каждом месте ровно одна карточка; пустых мест нет.

Нужно восстановить весь ряд. Слова «левее» и «правее» описывают положение в ряду, а не направление на рисунке. Изображения на карточках для решения не нужны: названия служат только метками.

Условия

1. «Мост» находится правее «Сада».

2. «Парус» не занимает ни одно из двух крайних мест.

Вопрос

В каком порядке лежат все три карточки слева направо?

Подсказки к задаче 1

Решение задачи 1

Задача 2. Пара соседних блокнотов

Приём: Рассмотреть соседнюю пару как один блок. Уровень: разминка.

Четыре блокнота — коралловый, сиреневый, мятный и серый — поставили на полку в один ряд. Цвета здесь просто названия четырёх разных предметов. Места пронумерованы слева направо от 1 до 4; каждый блокнот занимает ровно одно место.

«Непосредственно правее» означает соседнее место справа, без другого блокнота между ними. Обычное «левее» соседства не требует.