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Capítulo 1

Funciones elementales y modelos matemáticos

Situaciones de la vida real como el tamaño de una población, el precio de un producto y su evolución en el tiempo, la utilidad o los ingresos que genera la venta de un artículo pueden describirse con lenguaje matemático y modelarse con funciones. En este capítulo haremos una revisión de las funciones elementales, sus operaciones, y estudiaremos su utilidad en el modelamiento de situaciones ligadas a los negocios.

Conocimientos previos

Álgebra elemental; inecuaciones; dominio y rango de una función; operaciones con funciones.

Secciones

✓ Funciones elementales

✓ Operaciones con funciones

✓ Funciones definidas por tramos

✓ Modelos matemáticos

Sabes

Capacidades adquiridas:

✓ Resolver ecuaciones e inecuaciones algebraicas.

✓ Plantear ecuaciones.

✓ Efectuar operaciones con funciones.

✓ Determinar el dominio y rango de funciones elementales.

✓ Graficar funciones.

Piensas

Competencias por lograr:

✓ Graficar funciones definidas por tramos, así como funciones que son resultado de operaciones entre funciones elementales.

✓ Formular modelos matemáticos mediante funciones para situaciones en el campo de los negocios.

✓ Identificar los modelos matemáticos como una herramienta para la descripción de situaciones reales.

Haces

Habilidades por desarrollar:

✓ Resolver situaciones reales usando modelos matemáticos.

✓ Formular modelos matemáticos para la descripción de situaciones reales.

1.1. Introducción

Muchas situaciones de la vida real obedecen a ciertas reglas, dependen de una o más cantidades y pueden ser modeladas por funciones. Por ejemplo, el área de un círculo o el volumen de una esfera dependen de la longitud de su radio; la producción de una fábrica depende del número de trabajadores; el costo de un producto puede variar con el paso del tiempo, etcétera.

Figura 1.1

En este capítulo, haremos una revisión de las funciones elementales que se estudiaron en el curso Matemática Básica y mostraremos varias situaciones relacionadas con los negocios que pueden ser descritas por medio de funciones (modelos mate-máticos).

Recordemos que una función real de variable real es una correspondencia que asocia a cada elemento x de un conjunto A ⊆ un único elemento f (x) en un conjunto B ⊆ . El conjunto A es llamado dominio de la función f y es denotado por Dom (f), mientras que el conjunto de todos los números f (x), con x ∈ A, es llamado rango de f y denotado por Ran (f).

Dado un elemento x ∈ Dom (f), el número f (x) debe ser leído como “f de x” y es llamado imagen de x mediante f.

Ejemplo 1.1

Considere un cuadrado cuyo lado mide x cm. Sabemos que su área es igual a x² cm². Es decir, a cada valor positivo de x le corresponde un único valor para el área. Por tal razón, decimos que el área del cuadrado es una función de la medida de su lado y podemos escribir:

Siendo x la longitud del lado del cuadrado, este debe ser un número real positivo, por lo tanto, el dominio de la función área es Dom (A) = 〈0; +∞〉.

Figura 1.2

Como vemos, si variamos el valor de x, variará también el valor de A (x); es decir, el valor de A (x) depende del valor de x. Por tal razón, decimos que x es una variable independiente, mientras que A (x) es la variable dependiente.

1.1.1 Gráfico de una función

Dada una función f con dominio A, el gráfico de f se define como el siguiente conjunto de pares ordenados:

Es decir, el gráfico de f es el conjunto de todos los pares ordenados (x; f (x)), con x ∈ A. También se dice que el gráfico de f está formado por todos los pares ordenados (x; y) tales que y = f (x).

Figura 1.3

Ejemplo 1.2

Considere una función y = f (t) que describe el costo de producción de un artículo t meses después de su lanzamiento al mercado. Suponga que la gráfica de esta función es la que se muestra en la figura.

Figura 1.4

Vemos que los puntos (4; 40) y (14; 80) pertenecen al gráfico de f. Esto quiere decir que f (4) = 40 y f (14) = 80, lo cual significa que el costo de producción del artículo, cuatro y catorce meses después de su lanzamiento, es de 40 y 80 soles, respectivamente.

1.2. Funciones elementales

1.2.1 Función constante

La función constante se define como:

Donde la letra C denota una constante real. Ya que para cualquier número real x la función f toma el mismo valor, esta es llamada función constante. Su gráfica es una recta horizontal que corta al eje de ordenadas Y en el punto C.

Para C > 0:

Figura 1.5

Para C < 0:

Figura 1.6

Ejemplo 1.3

Las funciones f (x) = 3 y g (x) = –3 son funciones constantes. Su gráficos son rectas horizontales que cortan al eje de ordenadas Y en los puntos 3 y –3 respectivamente, tal como muestran las siguientes figuras:

Figura 1.7

Figura 1.8

1.2.2 Función lineal

La función lineal se define como:

Donde m y b son constantes reales. Esta función debe su nombre al hecho de que su gráfica es una línea recta. Como sabemos, la constante m representa la pendiente de la recta, mientras que la constante b, el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas Y.

Figura 1.9

Notemos que cuando m = 0, la función lineal se convierte en función constante. Así, la función constante es un caso particular de función lineal.

Recordemos que la pendiente de una recta es igual a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación. Esto quiere decir que, dependiendo del signo de la pendiente m, varía la inclinación de la recta y = mx + b.

Figura 1.10

Ejemplo 1.4

La figura 1.11 muestra las rectas L₁ y L₂, la primera con pendiente m = 2 y la segunda con pendiente m = –1. Estas rectas son las gráficas de las funciones f (x) = 2x + 4 y g (x) = –x + 7.

Figura 1.11

1.2.3 Función cuadrática

Definimos la función cuadrática por:

Donde a, b y c son constantes reales y exigimos que a ≠ 0, pues, de lo contrario, la función se convertiría en lineal.

Como sabemos del curso Matemática Básica, la gráfica de la función cuadrática es una parábola que puede abrirse hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo del coeficiente a.

Si el coeficiente a es positivo, la gráfica será una parábola que se abre hacia arriba. En caso contrario, cuando a sea negativo, la parábola se abrirá hacia abajo. Un elemento importante de cualquier parábola es su vértice, que es dado por:

El gráfico 1.12 resume lo anterior:

Figura 1.12

Ejemplo 1.5

Considere la función cuadrática f (x) = 3x² – 6x + 3. Si comparamos esta función con la forma general f (x) = ax² + bx + c, notamos que a = 3, b = – 6 y c = 3. Halle el vértice de la parábola (gráfico de f):

Luego, el vértice es el punto (1; 0). Además, como a = 3 > 0, resulta que la gráfica es una parábola que se abre hacia arriba.

La gráfica de la función f es:

Figura 1.13

1.2.4 Función raíz cuadrada

La función raíz cuadrada se define como:

Observación 1.1

Recordemos que, para calcular la raíz cuadrada de un número real, es necesario que este sea no negativo; es decir, mayor o igual que cero. Por tal razón, exigimos que x ≥ 0 en la definición de esta función.

Observación 1.2

También debemos recordar que la raíz cuadrada de un número es siempre mayor o igual que cero. Es decir:

Como son números reales no negativos, su gráfico se encuentra en el primer cuadrante y es dado por:

Figura 1.14

1.2.5 Función valor absoluto

La función valor absoluto se define como:

Recordemos que el valor absoluto de un número real se define como:

La gráfica de esta función es:

Figura 1.15

1.3. Operaciones con funciones

En esta sección encontraremos el dominio de ciertas funciones combinadas. Llamamos funciones combinadas a aquellas que se definen como suma, diferencia, producto, cociente o composición de las funciones elementales que revisamos en la sección anterior.

Antes de comenzar con los ejemplos, vale la pena hacer algunas observaciones.

Observación 1.3

Dadas las funciones f y g, las funciones suma f + g, diferencia f – g y producto f g se definen como:

Por lo tanto, estas funciones estarán definidas en aquellos puntos x en los que ambas funciones estén definidas. Es decir, el dominio de f + g, f – g y f g se obtiene como la intersección de los dominios de las funciones f y g.

Veamos dos ejemplos:

Ejemplo 1.6

Considere las funciones:

Sabemos que Dom (g) = y Dom (h) = [0; +∞〉. Si definimos la función:

vemos que esta es la suma de g y h. Luego, su dominio será:

Ejemplo 1.7

Ahora, considere la función:

Notemos que f está definida como la suma de las funciones:

Veamos cuál es el dominio de f. Para que las funciones g y h existan, debemos exigir que:

Es decir,

Entonces,

Como f = g + h, entonces:

Observación 1.4

Dadas las funciones f y g, la función cociente se define como:

Por lo tanto, esta función está definida en aquellos puntos x en los que ambas funciones f y g están definidas y además g (x) ≠ 0.

Ejemplo 1.8

Considere la función:

Notemos que h es el cociente de las funciones f (x) = x² + 3x + 1 y g (x) = x² – 9. Ya que f y g son funciones cuadráticas, sus dominios son iguales a . Luego, solo debemos preocuparnos de que la función g del denominador sea distinta de cero. Por lo tanto:

1.4. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.1

Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

Solución

Para hallar el dominio de cada una de estas funciones, aplicaremos algunas propiedades y definiciones que se estudiaron en el curso Matemática Básica.

a) Siendo el dominio de las funciones del numerador y denominador de f, basta exigir que el denominador sea distinto de cero. Pero:

Por lo tanto,

b) Notemos que la función

contiene una raíz cúbica en el numerador y que la raíz cúbica, así como cualquier raíz impar, está definida para cualquier número real, por lo que no hay ninguna restricción en el numerador de f.

En el denominador, debemos exigir que x³ – x² – 2x ≠ 0.

Factorizando, tenemos:

Es decir, x ≠ 0, x ≠ –1 y x ≠ 2. Por lo tanto:

Ejercicio 1.2

Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

Solución

Veamos:

a) Para que la función esté definida, debemos exigir que 9 – x² ≥ 0. Cambiando de signo, podemos escribir x² – 9 ≤ 0. Es decir,

Aplicando el método de los puntos críticos, obtenemos:

Figura 1.16

Luego, Dom (f) = [– 3; 3]

b) La función está compuesta por una raíz cuadrada y un polinomio en el denominador que no puede anularse.

Entonces,

O lo que es lo mismo:

Si resolvemos la inecuación anterior por el método de los puntos críticos, obtenemos:

Figura 1.17

Por lo tanto,

Note que no fue necesario extraer el punto – 4 del dominio, pues este no pertenece a ninguno de los intervalos componentes.

c) En la función , hay dos sumandos. La única exigencia sobre el primer sumando es que x ≠ 0. En cuanto al segundo sumando, debemos exigir que:

Pero x² + 4 es siempre positivo, independientemente del valor que asuma x. Por lo tanto, si el numerador de la expresión anterior es positivo, su denominador deberá ser positivo para que el cociente exista y sea no negativo. Luego, debemos tener 1 – x > 0, es decir x < 1.

Por lo tanto,

Propiedades del valor absoluto Desigualdad Forma equivalente

Ejercicio 1.3

Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones:

Solución

a) Los elementos x en el dominio de deben satisfacer la condición 2 |x| – 1 > 0. Es decir, |x| > . Por lo tanto, el dominio de f es:

b) Los elementos del dominio de deben satisfacer:

Es decir,

Así, los puntos críticos en el numerador son – 1 y 2. Los puntos críticos en el denominador son – 1 y 1. Es decir, el punto crítico – 1 se repite dos veces. Usando el método de puntos críticos, obtenemos:

Figura 1.18

Por lo tanto, el dominio de la función f es:

Ejercicio 1.4

Grafique las siguientes funciones:

a)

b)

Solución

Veamos:

a) La función f (x) = x² – 6x + 10 es cuadrática y su gráfica es una parábola que se abre hacia arriba, pues el coeficiente de x² es positivo. Su vértice es:

Ya que nos piden graficar para 1 < x ≤ 5, su gráfico será:

Figura 1.19

b) Hallemos el dominio de la función Por definición de la raíz cuadrada, debemos considerar que 4 – x ≥ 0; es decir, x ≤ 4. Así, el dominio de f es el intervalo 〈–∞; 4].

Luego, su gráfico es:

Figura 1.20

Ejercicio 1.5

Grafique las siguientes funciones:

a) f (x) = 2 |x| + 3

b) f (x) = 2x – |x|

Solución

Veamos:

a) Para graficar la función f (x) = 2 |x| + 3, aplicaremos la definición de valor absoluto para hallar la regla de correspondencia de f: