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TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA
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TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Gonzalo Masjuán T., Fernando Arenas D. y Felipe Villanueva M.
© Inscripción Nº 153.655
Derechos reservados
Junio 2017
ISBN edición impresa Nº 956-14-0870-8
ISBN edición digital Nº 978-956-14-2598-9
Diseño: Francisca Galilea R.
Diagramación digital: ebooks Patagonia
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CIP-Pontificia Universidad Católica de Chile
Trigonometría y geometría analítica / Gonzalo Masjuan Torres, Fernando Arenas Daza, Felipe Villanueva Mansilla, 2a ed.
1. Trigonometría. 2. Geometría Analítica.
I. Arenas Daza, Fernando.
II. Villanueva Mansilla, Felipe.
2006 516.24 dc.21 RCA2
Prólogo
Esta obra se inserta en el esfuerzo común de tres académicos de la Facultad de Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica de Chile para renovar tanto la enseñanza como el interés que posee el educando en el cultivo de la Matemática.
La concepción pedagógica que han tenido los autores cuenta, entre otros, con los siguientes objetivos:
•Unir, en lo posible, la corrección científica con el realismo que proporciona la experiencia adquirida al recibir alumnos que han cursado su enseñanza media en centros de estudio de diversos niveles.
•Presentar una Matemática esencialmente formativa, pensada desde la perspectiva del educador.
•Ofrecer una Matemática realista en la medida en que se relacione con las necesidades tanto de la vida común como con los requerimientos que precisan los alumnos de pregrado.
•Entregar también una Matemática utilitaria que pretende capacitar al alumno para resolver problemas que se le irán planteando a lo largo del desarrollo.
•Tomar en cuenta también a los estudiantes mejor capacitados, puesto que en los ejercicios planteados hay problemas que suponen un mayor grado de dificultad y, en ocasiones, un reto a la inteligencia del educando.
•Presentar una Matemática abierta a la relación con las restantes áreas del conocimiento, lo que permite una globalización realista.
Desde el punto de vista de la proyección metodológica algunos de los rasgos más destacados en este proceso serían:
•La cuidadosa graduación en la presentación de los conceptos, evitando repeticiones y saltos.
•El carácter eminentemente activo. El alumno no puede limitarse a leer, ya que continuamente se requiere una colaboración, por ejemplo, completando ejercicios.
•Presentación de los contenidos de una manera que no será demasiado formalizada.
Este volumen tiene como finalidad tratar, en función de las posibilidades, el contenido de una asignatura inicial que podría llamarse Trigonometría plana y geometría analítica en dos y tres dimensiones. Los autores estiman que desarrollar una adecuada imaginación geométrica es una cualidad indispensable y útil para diversos especialistas y, consecuentemente con ello, muy diversas carreras cuentan en su currículum con cursos que incluyen estas materias, como ser los ciclos básicos de Matemática y Física, el programa de bachillerato en ciencias y las escuelas de ingeniería, construcción civil, arquitectura y pedagogía básica.
Este libro se ha basado en los distintos apuntes, guías y libros de los mismos autores y que se han utilizado durante muchos años en los cursos que la Facultad imparte a distintas carreras de la Universidad, principalmente a la Escuela de Ingeniería.
Este es un texto que incluye muchas materias elementales de Matemática y, por lo tanto, no está estructurado como un libro tradicional de Matemáticas con demostraciones rigurosas, más bien, es un resumen de materias relativas a cada capítulo. Por lo anterior es que se pide al estudiante que recurra a los otros textos, de los autores, y que están editados por la Facultad de Matemáticas, que son más extensos y rigurosos. También se hace énfasis en una buena base geométrica de Geometría Euclideana y, es por eso, que se recomienda leer el libro de Geometría Elemental de los mismos autores y que ha editado Ediciones Universidad Católica de Chile.
En este texto los capítulos uno, dos, tres y cuatro son del tipo estándar en cualquier curso de Trigonometría, aunque en el tercero se presentan algunas ideas novedosas. El capítulo cinco es una introducción a los vectores geométricos. El capítulo seis es una aplicación de los números complejos a la Geometría. El capítulo siete es la introducción a la geometría analítica en ejes oblicuos. El capítulo ocho es una introducción a los espacios euclideanos (producto punto) y al producto vectorial con sus propiedades. El capítulo nueve hace referencia las transformaciones puntuales en dos y tres dimensiones. Los capítulos diez, once, doce y trece hacen ver la geometría analítica métrica plana y espacial llegándose hasta las superficies.
Se insiste en que el estudiante necesita un buen nivel de razonamiento y habilidad algebraica. Cada capítulo contiene un buen número de ejercicios resueltos para que el estudiante aprenda métodos de resolución y para que también vaya madurando el proceso de aplicación de los conocimentos que va adquiriendo a medida que avanza. En cada capítulo el lector encontrará problemas propuestos y al final de éstos podrá ubicar sus respuestas.
El nivel de dificultad de los problemas propuestos es gradual, llegándose a ejercicios bastante difíciles para el estudiante; esto lo advertimos para que quien trate de resolverlos en su totalidad no se desanime en el caso de no obtener resultados inmediatos para alguno o algunos. La ejercitación en Matemática es muy importante y la dificultad no puede ser, en general, sencilla. Por tal motivo, en los problemas resueltos presentados se ha pretendido que el alumno pueda visualizar la idea central usada en la resolución y, a su vez, aplicarla en los ejercicios propuestos.
En todo texto que se publica hay errores. Los autores piden ser disculpados por los de éste, ya que por mucho que se revise siempre se deslizan algunos. Los autores agradecerían que se los hicieran saber.
Es deber nuestro, comos autores, agradecer a la Vicerrectoría Académica quien, a través del Fondo de Desarrollo para la Docencia, hizo posible este texto. También agradecemos a la Facultad de Matemáticas tanto por su apoyo como por darnos el tiempo necesario para dedicarnos al libro. A su vez, agradecemos al numeroso alumnado que nos aguantó y nos colaboró con los distintos apuntes y guías que les dimos por muchos años, es por ellos que principalmente se dirige este texto a los futuros alumnos nuestros.
Gonzalo Masjuán Torres, Fernando Arenas Daza, Felipe Villanueva Mansilla
Santiago, enero de 2006.
INDICE GENERAL
Capítulo 1 Trigonometría de un triángulo rectángulo
1.1Breve introducción histórica
1.2Razones trigonométricas
1.3Expresión de cada razón trigonométrica en términos de las restantes
1.4Resolución de triángulos rectángulos
1.5Razones trigonométricas de ángulos compuestos
1.6Problemas resueltos
1.7Problemas propuestos
1.8Respuestas a los problemas propuestos
Capítulo 2 Funciones trigonométricas
2.1La circunferencia goniométrica
2.2Paridad y periodicidad de las funciones circulares
2.3Gráficos de las funciones circulares
2.4Algunas graficaciones
2.5Fórmulas de reducción
2.6Funciones circulares aplicadas a dos ángulos
2.7Funciones circulares aplicadas a múltiplos y submúltiplos de un ángulo
2.8Fórmulas de prostaféresis
2.9Problemas resueltos
2.10Problemas propuestos
2.11Respuestas a los problemas propuestos
Capítulo 3 Funciones trigonométricas inversas
3.1Gráficos de las relaciones circulares inversas
3.2Funciones circulares inversas o valores principales
3.3Identidades con valores principales
3.4Ecuaciones trigonométricas
3.5Problemas resueltos
3.6Problemas propuestos
3.7Respuestas a los problemas propuestos
Capítulo 4 Relaciones en el triángulo
4.1Relaciones elementales
4.1.1Clasificación de los triángulos
4.1.2Otros conceptos y propiedades
4.2Otras identidades útiles
4.3Problemas resueltos
4.4Problemas propuestos
4.5Respuestas a los problemas propuestos
Capítulo 5 Vectores geométricos
5.1Algebra de vectores geométricos
5.1.1Adición de vectores
5.1.2Ponderación de vectores
5.2Acápite
5.3Vector posición y sistemas de referencia
5.4División de un trazo en una razón dada
5.5Variedades lineales
5.5.1Ecuación de la recta
5.5.2Ecuación del plano
5.6Colinealidad y coplanaridad de puntos
5.7Problemas resueltos
5.8Problemas propuestos
Capítulo 6 Números complejos
6.1Introducción
6.2Algebra de complejos
6.2.1(C, +, ·) es campo
6.2.2La unidad imaginaria
6.2.3La conjugación compleja
6.2.4Módulo de un complejo
6.3Forma polar de un número complejo
6.4Raíces de un número complejo
6.4.1Raíces cuadradas de z0
6.4.2Raíces n-ésimas de ω0
6.5Gráficos elementales. Multiplicación de un complejo por un complejo unitario
6.5.1Gráficos elementales
6.5.2Complejo por complejo unitario
6.6La recta y la circunferencia en el plano complejo
6.6.1Ecuación de la recta
6.6.2Ecuación de la circunferencia
6.7Simetral de un trazo. Circunferencia de Apolonio
6.7.1Simetral de un trazo
6.7.2Circunferencia de Apolonio
6.8Argumento de un trazo dirigido y ángulo entre trazos dirigidos
6.8.1Trazo dirigido
6.8.2Angulo entre trazos
6.9Arco capaz de γ con cuerda 
6.10Problemas resueltos
6.11Problemas propuestos
6.12Respuestas a los problemas propuestos
Capítulo 7 Nociones de Geometría analítica
7.1¿Qué es la geometría analítica?
7.2Coordenadas cartesianas
7.2.1En el plano
7.2.2En el espacio
7.3División de un trazo en una razón dada
7.4La recta
7.4.1Continuando con la recta en el plano
7.4.2La funcional lineal ℓ(x, y) en el plano
7.4.3Haces y concurrencia de rectas en el plano
7.5El plano
7.5.1La funcional lineal Π(x, y, z) en el espacio
7.5.2Haces de planos
7.6Problemas resueltos
7.7Problemas propuestos
7.8Respuestas a los problemas propuestos
Capítulo 8 Productos
8.1Introducción
8.1.1Espacio vectorial Rn
8.1.2Referencial cartesiano ortogonal para R2
8.2Rn es un espacio euclídeo
8.2.1El producto punto
8.2.2Norma o medida de un vector
8.2.3Vectores ortogonales
8.2.4Proyección ortogonal de un vector en otro
8.2.5Proceso de Gramm-Schmidt
8.2.6Angulos y cosenos directores
8.2.7Vector ortogonal a dos vectores
8.2.8Orientación del espacio
8.3El producto vectorial en R3
8.3.1Problema fundamental
8.3.2El producto mixto
8.3.3El doble producto vectorial
8.3.4Producto punto de productos vectoriales
8.3.5Producto vectorial de productos vectoriales
8.3.6Producto de productos mixtos
8.3.7Bases recíprocas
8.4Problemas resueltos
8.5Problemas propuestos
8.6Respuestas a los problemas propuestos
Capítulo 9 Transformación de coordenadas
9.1Transformaciones en el plano R2
9.1.1Traslación paralela de los ejes
9.1.2Rotación solidaria de los ejes
9.1.3Coordenadas polares
9.2Transformaciones en el espacio R3
9.2.1Traslación paralela de los ejes
9.2.2Rotación con respecto a un eje
9.2.3Coordenadas cilíndricas
9.2.4Coordenadas esféricas
9.3Ecuaciones paramétricas
9.4Problemas resueltos
9.5Problemas propuestos
9.6Respuestas a los problemas propuestos
Capítulo 10 Rectas y planos
10.1El plano en R3 y la recta en R2
10.1.1Tratamiento conjunto
10.1.2Ecuaciones normales de la recta y del plano
10.1.3Ditancia entre plano y punto. Distancia entre recta y punto
10.1.4Rectas bisectrices y planos bisectores
10.1.5Area de un triángulo
10.1.6Angulo entre rectas en el plano o entre planos
10.2La recta en R3
10.2.1Ecuaciones de la recta
10.2.2Distancia entre punto y recta. Proyección ortogonal de un punto sobre ella
10.2.3Posiciones relativas
10.2.4Distancia y perpendicular común a dos rectas que se cruzan
10.3Problemas resueltos
10.4Problemas propuestos
10.5Respuestas a los problemas propuestos
Capítulo 11 Esfera y circunferencia
11.1Ecuaciones básicas
11.2Ecuaciones especiales
11.2.1Circunferencia o esfera conocidos los extremos de un diámetro
11.2.2Circunferencia por tres puntos en R2. Esfera por cuatro puntos en R3
11.3Puntos y rectas relativos a circunferencia y esfera
11.3.1Esfera y punto en ella. Circunferencia y punto en ella
11.3.2Esfera y recta. Circunferencia y recta
11.4Plano polar de P0 con respecto a E. Recta polar de P0 con respecto a C
11.4.1Punto de vista dual
11.5Esfera y plano. Esfera y esfera. Circunferencia y circunferencia
11.6Angulo entre esferas. Angulo entre circunferencias
11.7Problemas resueltos
11.8Problemas propuestos
11.9Respuestas a los problemas propuestos
Capítulo 12 Las cónicas
12.1Secciones cónicas
12.2La parábola
12.3La elipse
12.4La hipérbola
12.5Ecuación directriz, foco, excentricidad
12.5.1Dos rectas fijas y las cónicas
12.6La ecuación de segundo grado en dos variables
12.6.1El caso b = 0
12.6.2El caso b ≠ 0
12.6.3El caso σ ≠ 0
12.7Problemas resueltos
12.8Problemas propuestos
12.9Respuestas a los problemas propuestos
Capítulo 13 Superficies
13.1Superficies regladas
13.2Superficie cilíndrica
13.3Superficie cónica
13.4Superficie de revolución
13.5Cuádricas canónicas propias
13.5.1El elipsoide
13.5.2El hiperboloide de un manto
13.5.3El hiperboloide de dos mantos
13.5.4El paraboloide elíptico
13.5.5El paraboloide hiperbólico
13.6La ecuación de segundo grado en tres variables
13.6.1Plano tangente a una cuádrica en un punto de ella
13.6.2Plano polar de un punto con respecto a una cuádrica
13.7Problemas resueltos
13.8Problemas propuestos
13.9Respuestas a los problemas propuestos
Bibliografía
Indice temático
Capítulo 1
TRIGONOMETRIA DEL TRIANGULO RECTANGULO
1.1Breve introducción histórica
Según sabemos, el origen de la Trigonometría debe buscarse en el tiempo en que se hacía el estudio de la esfera celeste, en la cual se suponía que se desplazaban el sol, la luna y las estrellas y cuya posición se calculaba mediante la medición de ángulos. Los dos personajes famosos y más importantes que se interesaron por estos estudios fueron los astrónomos griegos Hiparco de Nicea (siglo II a.C.) y Claudio Ptolomeo (siglo II d.C.). Como consecuencia de lo que hemos mencionado, es fácil creer que la principal, si no única, aplicación de la Trigonometría es la resolución de triángulos y, por tanto, sus campos de aplicación deberían ser la Astronomía, la Navegación y la Agrimensura. Esto no es así, pues su aplicación en el Cálculo y otras ramas de la Matemática es amplia en nuestros días.
Pues bien, la Trigonometría desde los inicios, como hemos dicho, se sustenta básicamente en los triángulos rectángulos y, por ende, en el famoso Teorema de Pitágoras. Por tal motivo es pertinente entregar una pequeña biografía de:
Pitágoras
Pythágoras, ya que el nombre griego original es Πυθαγo′ραζ (570 a.C. / 480 a.C.). Nació en Samos en fecha muy incierta. No sólo su cronología es dudosa, sino que también lo son casi todos los datos de su vida que nos han entregado todos sus biógrafos principales: Theano (obra perdida), Diógenes Laercio, Jamblico y Porfirio, que se caracterizan por lo visiblemente fantasiosos que son sus relatos en general.
Dejando debida constancia de ello, declaramos que nosotros continuaremos fieles al sano principio metodológico de atenernos a las fuentes existentes, por muy indirectas que sean e inseguras que nos parezcan.
Fue contemporáneo de Thales y, como él, jonio, ya que, como hemos dicho, nació en Samos entre los años 580 a.C. (L olimpíada) y 568 a.C. (LII olimpiada). Su padre era el comerciante Mnesarco, quien traficaba en diversos puntos del extranjero, haciéndose muchas veces acompañar por su hijo.
Hacia 550 a.C. Pythágoras abandona Samos, siguiendo en Lesbos lecciones de filosofía con Ferécides y en Mileto con Thales y Anaximandro. Recorrió luego Fenicia, Arabia, Palestina y Egipto, donde pasó alrededor de veinticinco años en medio de los sacerdotes y sabios de Menfis y Tebas; el colegio sacerdotal de esta última ciudad lo admitió como miembro, iniciándolo en los misterios y cultos de la religión egipcia.
Luego de la conquista de Egipto por Cambises, es llevado a Babilonia, donde estudió la ciencia de los caldeos, hasta que en 512 a.C. obtuvo su libertad y pudo regresar a su patria donde aún vivían sus padres. Visitó enseguida la isla de Creta, Esparta y Delfos, volviendo después a Samos para fundar una escuela que no tuvo acogida.
Disgustado por la opresión del tirano Polícrates, decidió emigrar a Italia, llegando a fundar en Crotona su célebre Escuela Pitagórica. En cierto modo esta Escuela era un instituto filosófico, preocupado de inculcar en sus adeptos no sólo normas morales de vida, sino también determinada concepción del mundo. Platón -y especialmente Aristóteles- se hicieron cargo de analizar y divulgar estos aspectos del llamado “Pitagorismo”. Para nosotros es importante destacar que de todos modos tales concepciones filosóficas y cosmogónicas tenían una evidenciada génesis matemática -se dice que hasta la palabra µαθηµατικη′: lo que es aprendido habría sido introducida por Pythágoras- en que los números y las configuraciones geométricas eran ingredientes básicos.
Hacia 509 a.C. se habría casado con una joven llamada Theano, hija, al parecer, de su anfitrión Milón; esa niña habría escrito una biografía del sabio, la cual no ha llegado hasta nosotros.
Pythágoras ejerció una gran influencia sobre sus nuevos conciudadanos, favoreciendo políticamente a la clase aristocrática, motivado tal vez por su formación teocrática en Egipto. Cuando en la ciudad vecina de Sybaris estalló una revolución democrática, los tiranos fueron a refugiarse en Crotona. Pythágoras incitó entonces a los habitantes de ésta contra los sibaritas, los que fueron derrotados e invadidos (510 a.C.). Obtuvo el sabio de ese modo en la ciudad conquistada grandes comodidades para instalar una sección de su Escuela. Sin embargo, hacia 490 a.C. surgió en Crotona un levantamiento popular que llegó a destruir materialmente esa Escuela; su establecimiento en casa de Milón fue incendiado y sus discípulos -muchos de los cuales claudicaron de los principios del maestro en favor de la plebe triunfante- fueron muertos o dispersados.
Pythágoras fue a refugiarse en Tarento, donde languideció y murió oscuramente.
La proposición E.I.47 es conocida en todo el mundo y a través de todas las épocas como el Teorema de Pythágoras por excelencia. Se cree que este sabio y su Escuela hayan conseguido el enunciado clásico:
“En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.
Sin embargo, no hay al respecto una prueba histórica concluyente de tal descubrimiento, tampoco de que el teorema haya sido debidamente demostrado antes de Euclides (el nombre griego original es Eυ’κλEι′δηζ ).
El testimonio de DIOGENES LAERCIO (historiador griego que vivió entre los siglos II y III d.C.) en su obra “Vidas, opiniones y sentencias de los filósofos más ilustres, en diez libros” descansa en APOLODORO, apodado el computista, con la consabida inmolación de una hecatombe (cien bueyes) en acción de gracias a los dioses... Nada se nos dice, en cambio, acerca de si los pitagóricos demostraron correctamente el teorema (es posible que hubieran tomado en cuenta la situación presentada en la figura 1).
Fig. 1
Bastante más prudente y acertada parece la consideración que de este histórico acontecimiento matemático hace PROCLO (historiador griego que vivió en el siglo V d.C.) en su obra “Comentarios al primer libro de los elementos de Euclides”:
“Si hacemos caso de quienes gustan relatar la historia antigua, encontraremos a algunos de ellos refiriendo este teorema de Pythágoras y diciendo que él sacrificó un buey (no habla de hecatombes) en honor de su descubrimiento. Pero, por mi parte, admiro a aquellos que primero observaron la verdad de este teorema (el oriente antiguo). Y más me maravilla el autor de los Elementos no sólo porque lo valorizó con una lúcida demostración, sino además porque llevó a considerar el teorema aún más general (E.VI.31) por irrefutables argumentos científicos en el libro sexto”.
Por lo demás, es claro que no debemos olvidar los importantes aportes que hicieron en los inicios de la Trigonometría tanto los babilonios, egipcios, griegos, indios y árabes.
Avanzando en la Historia, para resumir, tenemos que en el siglo XV d.C. John Muller, conocido como Regiomontano, escribe un tratado completo de trigonometría, llamado “Tratado del triángulo”. Con posterioridad los astrónomos Tycho Brae, Nicolás Copérnico y el geómetra Fran¸cois Vi`ete desarrollaron la trigonometría prácticamente hasta el estado actual, aunque a comienzos del siglo XVII Bartolomé Pitiscus, profesor de la Universidad de Heidelberg, escribió el primer texto que llevó el título de “Trigonometría” y la idea del autor era exactamente exponer lo que el nombre implica: medición de triángulos. Faltaría nombrar a Werner, quien encontró las “fórmulas de prostaféresis”, éstas son las identidades conocidas sobre las sumas y diferencias de senos y cosenos.
