Кубик Рубика. За гранями головоломки, или Природа творческой мысли

Когда мне было лет пять или шесть, я получил в подарок головоломку «15». Думаю, первоначальная цель подарка заключалась в том, чтобы занять меня на несколько часов в поезде по дороге из Будапешта до озера Балатон, где отец построил коттедж и где мы проводили лето.

Оригинальные пятнашки представляют собой плоскую коробку с квадратами, пронумерованными от 1 до 15 и расположенными рядами, по четыре штуки в каждом ряду, кроме последнего: так остается свободное место, благодаря чему квадратики можно передвигать.

Задача игрока состоит в том, чтобы, не вынимая квадраты, придумать варианты их перестановки внутри коробки и расставить по порядку от 1 до 15. Вы можете только передвигать костяшки одну за другой, занимая пустой квадрат. Таким образом, это игра в закрытой системе. Сегодня можно купить пластмассовые пятнашки с пазогребневым соединением, которые не вываливаются из коробки. Мне по душе старая модель, которая была у меня тогда. Я мог вынуть детали из коробки и вставить их обратно в произвольном порядке. Особенно мне нравился металлический звук, который издавали эти пятнашки во время игры.

Итак, элементы, расположенные случайным образом, нужно было уложить в правильной последовательности. Сложность вопроса заключалась в порядке и правилах их перемещения. Для меня же это был легкий процесс. Если у вас есть последовательность чисел, каждое из которых уникально и не повторяется, их можно разместить от наименьшего к наибольшему. Важно не перемещать отдельные элементы, а понять систему движения целого. Мои родители надеялись, что это занятие займет у меня в поезде несколько часов, но были разочарованы. Мне быстро удалось найти нужное решение.

Несомненно, я учился на классических играх, таких как танграм и пятнашки, а еще сильнее на меня повлияла игра под названием «пентамино», идея которой принадлежит американскому математику Соломону Голомбу. Пентамино – это фигура из пяти квадратов, соединенных общими гранями. Есть 12 способов соединить пять квадратов. В чем суть игры? Основная цель – уложить фигуры в прямоугольник, который может иметь различные размеры. Поскольку один элемент состоит из пяти квадратов, площадь 12 различных пентамино составляет 60 квадратов (60 = 3 × 4 × 5, поэтому вы можете сложить прямоугольники 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 или 6 × 10, используя имеющийся набор фигур, причем для каждого прямоугольника существует более одного решения). Из пентамино можно составлять и другие формы. Вы можете сложить большой квадрат 8 × 8 с четырьмя пустыми маленькими квадратами в центре либо по углам большого квадрата или множеством разных фигур, и все это новые задачи, для которых нужно искать решения.

Составление различных форм таит в себе как огромный потенциал, так и большие сложности. Математики называют это «тайлингом», что означает заполнение формы фигурами, которые не перекрывают друг друга. Сложной задачей, которая может показаться неразрешимой, является заполнение прямоугольника квадратами разного размера. Чрезвычайно трудной работой становится создание «простого совершенного квадрированного квадрата».

Пентамино было моим первым шагом в мир занимательной математики и решения интересных геометрических задач. Геометрия очень эвристична, очень наглядна. Для меня визуальный аспект мира был и остается самым важным, самым формирующим опытом.

В пентамино скрыты и другие возможности: можно сделать трехмерную версию, используя кубики, а не квадраты. Они называются пентакубами и применяются в качестве строительных блоков для более сложных структур или конструкций. Один из базовых вариантов игры – выбрать один элемент из двенадцати и увеличить его размер вдвое или втрое относительно остальных элементов. Еще одна прекрасная задача – заполнить элементами коробку 3 × 4 × 5 для их хранения.

С помощью этой головоломки я узнал, например, какими способами можно сложить соединенные кубики. Пентамино отличается прекрасной наглядностью!

Я, разумеется, был не первым, кто оценил богатые возможности кубической формы. Нельзя не упомянуть двух предшественников моего Куба. Первый из них – Кубики со́ма, которые создал датский ученый и поэт Пит Хейн. Он стал героем Второй мировой войны, участвовал в датском движении Сопротивления, прожил долгую жизнь, получив известность как писатель, а также как изобретатель головоломок. Я считаю изобретение Хейна, как и многие головоломки, произведением искусства. Интересно, что сам он определял свое восприятие искусства как «решение задач, которые невозможно сформулировать до их решения, где формулировка вопроса – это часть ответа».

Кубики сома напоминают трехмерную версию пентамино. Головоломка включает семь частей: шесть состоят из четырех маленьких кубиков каждая, а одна – из трех. Но все они разной формы: есть прямоугольные и Г-образные. Маленькие кубики соединены между собой общей гранью. Из этих семи частей можно собрать куб 3 × 3 × 3. Существует 1 105 920 решений головоломки.

То, что седьмая часть составлена из трех маленьких кубиков, а не из четырех, как все другие, означает, на мой взгляд, что игре не хватает однородности. Эта трехмерная форма, заполняющая пространство 3 × 3 × 3, выглядит как куб, вы можете сделать ее сами. Кубики сома – это не открытая головоломка, как танграм или пентамино, где есть набор элементов, а что делать дальше, вы решаете сами. Кубики сома – это классическая головоломка, суть которой – ответить на вопрос, поставленный ее создателем. Это трехмерная задача.

Я создал собственную версию задолго до того, как начал задумываться о своем Кубе. Используя только элементы, содержащие три одинаковых маленьких кубика, я пытался собрать большой куб 3 × 3 × 3. В нем было девять элементов, в которых количество маленьких кубиков одинаково, но способы их соединения – разные. Я использовал все возможные комбинации, чтобы соединить три кубика, которые могли соприкасаться гранями и/или ребрами. Два элемента соединялись только гранями, пять – только ребрами. И два имели оба типа соединений. Для головоломки нашлось 880 решений. (Эта версия появилась на рынке примерно в 1990 году под названием Rubik’s Bricks.)

Другой важный предшественник моего Куба известен как куб Мак-Магона, состоящий из кубиков, очень похожих на детские цветные строительные блоки, у которых все грани имеют разные цвета и ни одна не повторяется. Но расположение цветов на кубиках разное, и существует тридцать вариантов куба с шестью разноцветными гранями. Эта головоломка не так широко известна, как другие, но все же представляет собой интересную математическую задачу. Есть тридцать кубов с гранями шести цветов во всевозможных комбинациях. Суть задачи заключается в том, чтобы взять один маленький куб, а затем, используя восемь других, создать из них большой куб 2 × 2 × 2, который имел бы такое же расположение цветов, как у первого куба. При этом каждая большая грань должна быть одного цвета и маленькие кубики также должны соприкасаться внутри гранями одного цвета. Наибольший размер куба, который можно создать, придерживаясь того же правила, – 3 × 3 × 3. С точки зрения комбинаторики существует тридцать возможных способов расположить цвета на шести гранях куба.

Улавливается очевидное сходство с Кубом, но есть и очень важное отличие: все эти кубики разделены. Их элементы не связаны физически. И опять это комбинаторная задача, которая состоит в том, чтобы выяснить, сколько существует способов собрать их вместе. Природа задачи заключается в том, чтобы в определенном смысле распознать образ, силой воображения найти нужные элементы и соединить их между собой.

Как ни странно, иногда человек становится предтечей своих же предшественников.

Я имею в виду, что иногда мы интерпретируем произошедшее в прошлом так, как если бы оно было следствием чего-то, что случилось позже. Это так по-человечески.

Есть забавная поговорка, которую приписывают одному венгерскому композитору: «Шуберт многому научился у Шёнберга»^[2].

В наши дни, увидев старую головоломку или геометрические задачи, напоминающие Куб, человек нередко задается вопросом: почему изобретатель не шагнул чуть дальше и не придумал кубик Рубика?

Не так давно я размышлял над новой головоломкой, на этот раз с 27 маленькими кубиками, которые не были прикреплены друг к другу. Я использовал три цвета для набора и попытался увидеть, смогу ли собрать одноцветный куб 3 × 3 × 3 с любым из цветов. Как оказалось, решить ее было намного проще, чем найти систему нанесения цветов. Главный вопрос заключался в следующем: как раскрасить 27 кубиков, чтобы их можно было собрать тремя разными способами, видя при этом снаружи только цвет, и чтобы соприкасающиеся стороны были одного цвета? Наконец я нашел решение не только для трех, но и для n цветов.

Однажды в радиопрограмме появился Орсон Уэллс^[3]: «Добрый вечер, дамы и господа, меня зовут Орсон Уэллс. Я актер. Я писатель. Я продюсер. Я режиссер. Я волшебник. Я появляюсь на сцене и на радио. Почему меня так много, а вас так мало?» Обожаю эту его формулировку, потому что прекрасно понимаю, что он имел в виду. Меня так много, потому что я все те личности, которые всегда ношу с собой. Все вышеуказанные определения имеют свои ограничивающие рамки, словно множество камер в тюрьме. Мы играем десятки ролей в зависимости от ситуаций и становимся разными персонажами. Вот почему так сложно остановиться на одной из них.

Иногда я появляюсь на телевидении, и меня просят представиться. Я воспринимаю это как вопрос «кто вы?». Мой ответ обычно не вполне устраивает аудиторию. «Я Эрнё Рубик, – говорю я. И добавляю: – Я создал кубик».

Это просто утверждение, а вовсе не ответ на вопрос.

Кто я? Есть много вариантов ответа: изобретатель, профессор, архитектор, дизайнер, скульптор, преподаватель, редактор, муж, отец, дед, бизнесмен, менеджер, писатель (почему бы нет). И так далее… Что выбрать? Я мог бы сказать, что все это одновременно и есть я, всегда я, но с разными акцентами в зависимости от ситуации, задачи или деятельности.

Есть более длинный список – того, кем я не являюсь.

Я не являюсь предметом этой книги. Я не профессионал ни в одной области. Я не совсем писатель. Я не бизнесмен. Я не молод, но и не чувствую себя старым. Я не плотник, но умею делать мебель. Я не служу на флоте, но могу управлять лодкой. Я не садовник, но люблю работать в саду. Можно продолжить. Я любитель во всем, в том числе в изобретательстве. Никто не научил меня учиться, особенно мои учителя.

Когда я думаю о том, что могло бы объединить мои многочисленные личности, всегда возвращаюсь к тому, что я игривый человек, или, скорее, человек, который любит играть, – тот, кого нидерландский ученый Йохан Хёйзинга однажды назвал Homo ludens – человек играющий.

Дети – мастера играть. Игру часто считают их самой важной работой и главной составляющей обучения. В процессе игры они придумывают свои правила и очень строго им следуют («Ты – врач, я – пациент»). Иногда эти правила бывают очень сложными и понятны только самим игрокам. Чем старше дети, тем мудренее становятся правила, даже если игра обретает все больше свободы воображения.

А потом наступает поворотный момент, когда проявление воображения заменяют навязанные извне игры с общепринятыми правилами. К моменту взросления инстинкт спонтанной игры практически утрачен, а сами мы стремимся к тому, чтобы правила ограничивали и определяли наши действия.

Увлекательную творческую игру из детства постепенно сменяют более структурированные и традиционные, в которых есть явные победители и проигравшие. Это настольные игры и командные виды спорта. Соревнование укрепляет дисциплину и добавляет мотивации к приобретению большего опыта, а личные результаты оцениваются и помещаются в иерархию совершенства. К сожалению, соревновательный дух чаще всего вытесняет воображение. (Не то чтобы у меня было что-то не так с конкуренцией. Моя жена часто жалуется, что со мной сложно соревноваться, когда мы играем в скрэббл.)

В школе был небольшой период моего увлечения шахматами. Я нашел настоящих фанатов, с которыми мы играли во время занятий и на переменах, часто «вслепую», то есть без доски. Однако со временем эта страсть трансформировалась в решение шахматных задач, что больше соответствовало моему темпераменту. Мне очень нравились шахматы, но не столько игра, сколько задачи. Используя шахматную доску, я придумывал свои или решал те, которые уже были придуманы кем-то. Особенно мне нравилась «задача о ходе коня». Требовалось пройти конем все поля доски по одному разу и оказаться в месте старта.

Как и над другими любимыми задачами, над этой я мог сидеть часами. Мне было интересно наблюдать, как при передвижении коня на два квадрата в одном направлении, а затем на один в другом на шахматной доске появлялись узоры, пока я наконец не возвращался в отправную точку. Узоры походили на такие сложные фигуры, как снежинки. (Этот интерес сохранялся довольно долго. Я решал задачи из венгерских шахматных журналов, и впервые мое имя появилось в печати именно в таком журнале, в списке правильно решивших задачу.)

Обычно взрослым кажется, что игра лишь развлечение или форма соревнования в нерабочее время. На самом деле это одна из серьезнейших вещей. Часто у нас получается что-то действительно хорошо только тогда, когда мы делаем это играючи. Мы спокойнее относимся к задаче, и она становится не бременем или испытанием, а возможностью свободного самовыражения. Мы можем действовать, не задумываясь и не беспокоясь о том, все ли мы правильно выполнили.

Наши высказывания это подтверждают. Когда мы хотим сказать, что кто-то может решить задачу легко, без усилий, то говорим: «Это для него игрушки». Когда мы называем кого-то игривым, то подразумеваем ауру счастья. Такой человек видит мир с позитивной, прекрасной стороны. Людям повезло, что они, как и некоторые животные, могут позволить себе такую роскошь, как игра. Я уверен, что в каждом из нас живет Homo ludens, и, даже если способность к играм случайно засыпает, рано или поздно она может пробудиться. На том или ином этапе своей жизни каждый из нас играет: художник – с красками, поэт – со словами, и все мы – в театре жизни.

И, конечно же, некоторым нравится играть с Кубом.

Примерно к трем годам ребенок начинает задавать вопросы, и почти всегда первый из них – «почему?». Почему яблоки красные, а небо голубое? Почему мы не умеем летать? Почему мы умираем? Ребенку не нужно напоминать об учении Конфуция: «Тот, кто спрашивает, выглядит дураком всего пять минут. Тот, кто этого не делает, остается дураком на всю жизнь». Для него это естественно. Мы вырастаем, учимся отвечать на вопросы, но незаметно теряем способность их задавать. По мере взросления наше любопытство меняется, и мы познаем мир через вопрос «как?». В некотором смысле гораздо проще находить ответы на вопрос «как?», чем на вопрос «почему?». Возможно, потому, что категория «как» почти содержит в себе решение, а «почему» – нет.

Вопросы определяют нас как вид, а также как индивидуумов. «Какой?» и «где?» – это вопросы, которые интересны не только людям, но и большинству представителей животного мира. Жертва ты или хищник, это вопросы жизни и смерти. И только некоторые виды животных, в числе которых обезьяны, наши ближайшие родственники, могут разделить с людьми интерес к вопросу «как?», который ведет к созданию инструментов для решения различных задач и проблем.

Наше повседневное любопытство кроется в вопросах «как?» или «что, если?». Именно оно может подвергнуть сомнению старые истины и вдохновить на вопросы обо всем, что раньше считалось само собой разумеющимся. Определение атома, данное греческим философом Демокритом, счастливо прожило два с половиной тысячелетия. Но потом возник вопрос: а что, если атом на самом деле не мельчайшая частица и можно разделить неделимое? И как это сделать?

Таким же образом всегда считалось, что твердые тела сохраняют свою форму и ломаются при скручивании. Но как создать объект, который представляет собой обычное платоново твердое тело и при этом может крутиться и вращаться, не разваливаясь на части?

Вопрос «как?» является определяющим для бо́льшей части моей взрослой жизни и в некоторой степени остается таковым по сей день.

Как, например, написать книгу, непохожую на книгу? Или лучше: как написать книгу, не написав ее?

И, наконец, есть вопрос «зачем?», который касается непосредственно человека (по крайней мере так мы думаем сегодня). «Зачем?» – всегда абстракция, теория, которая требует проверки. Этот вопрос может касаться намерений. Или законов природы, которые требуют изучения. А может являться попыткой понять свои собственные действия и желания («Зачем писать книгу?» – ответить сложно).

С возрастом меня все больше занимают вечный вопрос «зачем?» и размышления о жизни и смерти.

Я обнаружил, что глубокие знания тяжелы – настолько тяжелы, что могут тормозить творческий процесс. Чем больше вы узнаёте, тем труднее сохранять любопытство. Наверняка у каждого была ситуация, когда так называемый эксперт сталкивается с умным дилетантом. Легко полагаться на компетентного человека – в нем столько уверенности и знаний – и недооценивать неожиданно здравые вопросы неспециалиста. Вопросы любителя часто бывают очень оригинальными, становясь катализаторами новых, творческих решений. Практически в каждом аспекте нашей жизни самой важной и сложной задачей может стать поиск правильных вопросов.

Есть два способа что-то изменить: либо найти новый ответ на старый вопрос, либо найти новый вопрос, который никогда ранее не задавался. Трудно сказать, что сложнее. Очевидно, что искусство задавать вопросы – один из самых важных навыков в нашей жизни, но ему не учат в школе.

Помню, читал роман Дугласа Адамса «Детективное агентство Дирка Джентли», где главный герой сказал: «Как вы не поймете – чтобы во всем разобраться, нам надо быть наивными. Только ребенок видит вещи ясно, потому что у детей нет фильтров, которые мешают нам рассмотреть то, чего мы не ожидаем увидеть». Нет лучших слов, чтобы выразить то, во что я верил всю свою жизнь. Нам всем нужно вернуть детскую наивность, чтобы видеть и понимать больше. Ведь чем старше мы становимся, тем больше обрастаем фильтрами, похожими на плотные сплетения лозы и плюща на фасадах прекрасных зданий. Расчистка этой «растительности» – особая задача.

Обучение заключается не только в накоплении знаний, это совершенно иной процесс. В некотором смысле знания частично состоят из данных, а обучение – навык, который вы приобретаете, если усердно практикуетесь. С практикой приходит навык делать что-либо быстрее и грамотнее. В процессе обучения вы и собираете данные, и вырабатываете навыки для овладения этими данными, и получаете конечный продукт – знания. Знание – нечто более сложное, чем только факты, – это их соотношения и взаимосвязи. Важно понимать, как использовать знания, которые накапливаются в процессе обучения. Фактически это еще один слой процесса обучения, который можно сравнить с поиском в интернете: чтобы найти в сети нужную информацию, требуются определенные навыки, способность отделять полезную информацию от мусора. Знание – это достижение наших целей через серию успехов и неудач. Если нам повезет, наша память впитает и то и другое.

Процесс получения знаний продолжается всю жизнь, но наиболее интенсивно он протекает в детстве. Было бы замечательно, если бы методы обучения опирались на лучшее средство познания – игру! Есть старая карикатура, на которой изображен класс и учитель, выливающий знания на голову каждого ученика, – идеальное представление процесса, который не является ни обучением, ни познанием.

Хёйзинга отмечал, что слово «школа», имеющее греческие корни, изначально ассоциировалось с местом досуга и праздности, но время наделило его прямо противоположным смыслом: «Сегодня оно означает систематическую работу и учебу, поскольку цивилизация стремится ограничивать свободу молодых людей распоряжаться собой и регулярно увеличивает время их пребывания в классах, чем превращает детство в суровую повседневную жизнь». Именно это испытывал на себе и я.

Я часто думаю, что, если бы у меня было другое образование, я мог бы быть более способным. Что имеется в виду под словом «более»? Попытка количественно оценить то, что не поддается подобной оценке? Нет, речь идет не о традиционных критериях успеха. Я хочу сказать, что мог бы знать больше. Мои познания были бы шире. Может быть, я мог бы по-разному общаться. Может быть, у меня бы не было ненависти к писательству, потому что меня вдохновили бы писать на самые разные темы разными способами.

Школа не смогла увлечь меня. Но у меня было достаточно времени, чтобы рисовать во время урока, да и часы, когда я занимался своими делами, тоже пошли на пользу. А в основном мне было просто скучно. Я концентрировался лишь на том, что вызывало интерес, и забывал обо всем остальном. Тогда в Венгрии ученики должны были проводить очень много времени в школе: шесть дней в неделю, восемь – десять часов каждый день. В последнем классе начальной школы я умудрялся находить массу причин, чтобы моя добродушная мать разрешала мне оставаться дома, и в итоге пропустил столько уроков, что для перехода в следующий класс мне пришлось пройти серию тестов по пройденному материалу.

Это был единственный случай, когда я получил отличные оценки.

Как побудить детей совместить самообразование и традиционное обучение? По окончании школы мы обычно не понимаем, кто мы, что действительно знаем, что нам интересно и на что мы способны. Школа не дает представления о том, насколько красочен и разнообразен мир. Возможно, настоящее образование должно стать для детей зеркалом, в котором они могли бы по-настоящему увидеть себя.

Астроном Карл Саган определил понимание как «своего рода экстаз». Думаю, каждый, кто смог достичь окончательного понимания чего-то, что представлялось сложным, согласится с такой дефиницией. Соединить вместе, казалось бы, разрозненные крупицы данных, увидеть причинно-следственные связи, понять проблему и найти ее решение – вот то, что я называю знанием.

Часто способность решать задачи не имеет ничего общего с уровнем интеллекта. Я много раз убеждался в этом, наблюдая за теми, кто собирает Куб. Мне никогда не нравилась идея количественной оценки интеллекта с помощью чего-то вроде теста IQ, и я нахожусь в рядах тех, кто считает, что этот тест измеряет только способность хорошо выполнять его задания. Такой способ тестирования не позволяет нам проникнуть в тайны настоящего интеллекта, которые, по сути, кроются в способности устанавливать связи.

Возможно ли измерить уровень интеллекта с помощью стандартизированного теста? Очевидно, нет. Воображение – вот что приводит к творческому решению задач. У меня сохранилась газетная вырезка начала 1980-х годов о помешательстве на моем Кубе. В лондонской Daily Express было опубликовано письмо матери о ее четырнадцатилетней дочери-инвалиде, которая научилась собирать Куб. «Это первое, что она смогла сделать, – писала женщина, – из того, чего не могут многие обычные дети».

Не забуду эти слова, они прекрасно иллюстрируют мысль, что мы, вероятно, никогда не сможем полностью понять, какими неожиданными способами способен проявиться интеллект. Все это интригующие подсказки, которые не дают окончательных ответов на пути к разгадке тайн разума.

Иногда сомнительное измерение IQ по-прежнему используется в качестве надежного показателя уровня интеллекта, и часто мы забываем о другом важном его аспекте – эмоциях. Следуя современным трендам, мы можем поговорить об эмоциональном коэффициенте – EQ, который помогает понять человеческое поведение. Именно он позволяет почувствовать и декодировать знаки, транслируемые людьми, а не просто расшифровывать значение слов, которые они произносят, или же распознавать концепцию любого рационального подхода. Но для этого потребуется гораздо более сложный и тонкий аналитический талант. Недостаточно сказать человеку, почему важно делать определенные вещи. Вы должны суметь вызвать в нем какой-то эмоциональный отклик.