То же можно сказать и о характерном времени τ = 42–45 лет, если считать его системным, т. е. характеризующем систему «растущее население Земли». Но если считать, что оно характеризует лишь носителя цивилизации, человека, тогда масштабная инвариантность закона N = C(to – t)-1, как, по-видимому, полагал С.П. Капица, будет выполняться.
С этим вряд ли можно согласиться. Подобные соображения, вероятно, и стали причиной того, что С.П. Капица так и не связал с характерным временем τ никакого циклического исторического процесса, что является, по нашему мнению, существенным недостатком его модели.
Действительно, историческое время согласно теории Капицы сжимается, т. е. при переходе от цикла к циклу (всего их у него одиннадцать) численность растет все быстрее и быстрее, а исторический процесс, в соответствии с принципом демографического императива Капицы, все более и более ускоряется. Но характерное время τ, усредненное время продолжительности жизни человека по Капице, характеризует лишь представителя цивилизации и никак напрямую не связано с историческим процессом. Что вряд ли можно считать приемлемым.
Как мы показали ранее, точка сингулярности гиперболы Фёрстера отстоит от момента начала демографического перехода как раз на величину характерного времени. Считать, что положение этой точки на оси времени всего лишь дело случая с учетом того, что всякие доказательства устойчивости роста в построениях С.П. Капицы отсутствуют, – представляется ошибочным. Если же взять эту дату ~ 2022 год и постоянную τ = 40 лет, то можно разметить историческое время на циклы обратным отсчетом от точки сингулярности в прошлое. В результате получим (с хорошей точностью на границы) циклы Кондратьева.
Все это говорит о том, что характерное время τ – это не усредненное время жизни человека, как полагал С.П. Капица, а длительность главного цикла экономики, истории и эволюции – Кондратьевского цикла. Время, за которое с системой «все человечество в целом» могут произойти качественные изменения. Его также можно назвать характерным временем исторических изменений.
* * *
Однако как бы то ни было, постоянные τ и К входят в уравнение Капицы и определяют в соответствии с этим уравнением два естественных масштаба: масштаб времени и масштаб численности. Единица исторического времени (его квант) равна постоянной τ, а естественная единица измерения численности населения Земли, в соответствии с уравнением Капицы, – это K.
Если численность измерять в единицах характерной численности Капицы n = N/K, а время – в числе циклов Кондратьева (не обязательно целом) до сингулярности: Т = (to – t)/τ, то закон гиперболического роста приобретает более простой вид: n = K/Т. (Если за масштаб для измерения численности взять M = K2, то этот закон приобретает еще более простой вид: n = 1/Т.)
Постоянные Капицы К и τ – фундаментальные константы эволюции человека
Являются ли постоянные Капицы фундаментальными постоянными эволюции человека? Определяют ли они эволюцию Homo sapiens, или это всего лишь эмпирические константы, входящие в закон гиперболического роста численности населения Земли?
Если говорить о физических постоянных, то, как известно, все они делятся на две основные группы: размерные и безразмерные. Значения безразмерных постоянных таких, как постоянная тонкой структуры, не зависят от систем единиц и должны определяться теоретически. Численные значения размерных постоянных зависят от выбора единиц измерения.
Размерные фундаментальные константы такие, как скорость света или постоянная Планка, могут выступать в виде естественных масштабов соответствующих физических величин. Это подчеркивал еще В. Гейзенберг:
«Универсальные постоянные определяют величины масштабов в природе, они дают нам характеристические величины, к которым можно свести все другие величины в природе» (Гейзенберг, 1959, с. 136.).
Вместе с тем в той же физике существует большое количество прикладных задач, в которых также есть соответствующие естественные масштабы важные именно для этих прикладных задач, но не столь фундаментальные, как постоянные с, h, G. В аэродинамике – это скорость звука, в гидродинамике – вязкость, которые определяют естественный масштаб измеряемой величины. Например, в аэродинамике «мах» – это мера скорости в единицах скорости звука.
С.П. Капица так и не пришел к окончательному выводу о смысле своих постоянных. На протяжении ряда лет он по-разному определял и характерную численность, и характерное время. В последних своих работах характерное время τ он описывает как «эффективную продолжительность жизни человека» или как время близкое к среднему возрасту человека, а постоянную К сравнивает с безразмерным числом Рейнольдса в гидродинамике [21].
В таком случае задача описания роста населения Земли в его модели – не более чем прикладная задача, а его постоянные – не более чем естественные масштабы для этой конкретной прикладной задачи. С этим трудно согласиться, потому что совершенно невозможно поверить в то, что рост населения Земли во все времена определялся, как полагал С.П. Капица, причинным законом квадратичного роста. Если бы это было так – не было бы никакой гиперболы роста и не было бы никаких постоянных роста.
Гиперболический рост населения Земли и связанные с ним константы роста, по нашему глубокому убеждению, был вызван неким неоткрытым и по настоящее время причинным законом с постдетерминацией, управлявшим ростом популяции Homo sapiens. Этот закон и определил постоянные роста, причем не только τ и К, но и to – момент сингулярности гиперболы Фёрстера. В таком случае постоянные Капицы – это постоянные эволюции человека и универсальной эволюции вообще.
Подобно тому как фундаментальные физические постоянные определяют естественные природные масштабы и, прежде всего, масштаб длительности и протяженности в физической картине мира, константы Капицы задают естественный масштаб измерения численности представителей человеческого социума, являющегося авангардной системой эволюции в текущую эпоху и масштаб времени, характеризующий темпы роста этой численности, – масштаб, в котором может быть измерено время эволюции человека.
Константы Капицы позволяют определить не только время начала антропогенеза, но и момент начала неолита, начала и завершения мирового демографического перехода, а также оценить численность населения Земли во все времена. С помощью τ и К можно найти фазу и длительность каждого из сокращающихся по закону прогрессии циклов эволюции и истории, а также полное число когда-либо живших на Земле людей [1]. Причем все это можно сделать как в рамках модели Капицы, так и на основе изоморфной ей сетевой модели.
Таблица 1. Самые важные даты эволюции и истории человечества, рассчитанные теоретически с помощью постоянных Капицы τ и К. Приведены также современные научные данные по численности населения Земли в эти моменты времени.
Результаты расчетов в рамках первой и второй модели в первом приближении совпадают и полностью соответствуют данным демографии, истории и палеоантропологии – таблица 1. Все это говорит о том, что τ и К – фундаментальные постоянные эволюции человека.
Кроме того, об этом же говорит и полученная нами теоретическая зависимость численности от времени, полностью совпадающая с эмпирической гиперболой, описывающей рост населения Земли за последние сорок с лишним тысяч лет:
Рис. 1. Теоретическая гипербола, совпадающая с эмпирической гиперболой демографического роста. Отсчет времени ведется от момента начала неолита. Постоянная Капицы K ≈ K4, весу клаттера сети четвертого ранга (точнее K = √kK4).
Если бы константы τ и К не были постоянными эволюции человека – не было бы и никакой теоретической зависимости, описывающей гиперболический рост населения мира. Если же считать, что квант исторического времени, точнее его цикл (абсолютная разметка исторического времени на периоды постоянной длительности), существует, алгоритм восьми шагов отвечает действительности – такую формулу легко сконструировать.
Длительность исторического цикла τ равна здесь сорока годам, отсчет времени ведется от момента начала неолита. Гиперболический рост занимает 255 циклов; в 1982 году начинается мировой демографический переход и формула на рис. 1 перестает правильно описывать рост. Сингулярность теоретической гиперболы, сингулярность Дьяконова – Капицы, наступает в момент времени t = 256τ.
В физике, как правило, безразмерные постоянные появляются в качестве эмпирических параметров, а затем находят свое объяснение при развитии физической теории. Здесь похожая ситуация: поскольку К – константа безразмерная и не зависит от выбора системы единиц, то ее значение должно, так или иначе, следовать из несуществующей пока теории эволюции человека или даже общей теории универсальной эволюции.
И здесь есть согласие феноменологической теории Капицы и сетевой модели: постоянная K4, равная двойке в шестнадцатой степени в нашей теоретической схеме, возможно, являющейся первым шагом на пути к созданию такой теории эволюции, практически совпадает с безразмерной константой К в теории Капицы.
Постоянная τ – единственная размерная эмпирическая константа, определяющая темпы роста и развития человечества как системы, есть не что иное, как: время цикла сети четвертого ранга в нашей модели, постоянная времени Капицы, длительность Кондратьевского цикла, продолжительность последнего, восьмого исторического периода 1942–1982 гг., половина длительности глобального демографического перехода. Это фундаментальная постоянная эволюции человека и социума, задающая масштаб времени исторических изменений.
Численность населения Земли как функция времени в соответствии с формулой на рис. 1, так же как показатели продвижения человеческой цивилизации по пути исторического развития от начала неолита до 1982 года, зависела только от отношения t/τ, т. е. от числа циклов, пройденных Мир-системой к моменту времени t.
Если отсчет времени вести в циклах от сингулярности Дьяконова – Капицы в прошлое, теоретическая зависимость численности от времени на рис. 1 приобретает наиболее простой вид:
Рис. 2. Наиболее простой вид теоретической гиперболической зависимости численности населения мира от времени. Отсчет времени ведется от сингулярности гиперболы Фёрстера в прошлое.
Например, чтобы подсчитать сколько людей проживало в 1700 году вычисляем количество циклов до сингулярности Дьяконова – Капицы: T = (2022–1700)/40 = 8,05 цикла. Затем 1,14·4,3 миллиарда делим на 8,05 и получаем 610 миллионов человек.
Средняя длительность инновационных циклов, так же как продолжительность глобальных исторических периодов Мир-системы в нашей теории, выражается через фундаментальную константу исторического времени по одной и той же формуле:
Рис. 3. Обобщение гипотезы Шумпетера: длительность периодических инновационных циклов и сокращающихся по закону прогрессии циклов Дьяконова – Капицы от начала неолита до конца ХХ века выражаются через фундаментальную постоянную эволюции, постоянную времени Капицы, по одной и той же формуле.
При этом целые неотрицательные значения n берутся в пределах от нуля до семи. Отрицательные значения параметра n: n = -1,-2,-4 задают среднюю длительность экономических циклов Кузнеца, Жугляра и Китчена.
Вывод: таблица 1, зависимости на рис. 1 и 3 говорят о том, что постоянные Капицы τ и К – фундаментальные константы эволюции человека.
Эволюцию физической картины мира можно рассматривать как переход от физики без фундаментальных констант (классическая физика) к физике с фундаментальными константами (современная физика). Подобно тому, как с каждой новой физической теорией связана фундаментальная физическая постоянная (с, h), с новой теорией эволюции также могут быть связаны фундаментальные постоянные эволюции.
Возможно, что новая теория эволюции в отличие от классической, на основе мутаций и естественного отбора, будет использовать константы τ, К, to или производные от них при описании эволюции человека и универсальной эволюции вообще.
И подобно тому, как фундаментальные физические постоянные не просто фигурируют как коэффициенты в физических законах, а определяют границы применимости физических теорий, константы эволюции определяют границы по времени и по численности, в которых происходит рост населения мира и эволюция человека.
Это в первую очередь касается численности населения Земли в трех главных точках ее роста, жестко закрепленных на оси времени и связанных, согласно нашей гипотезе, с датой to.
Первая точка ~ 1,7 млн лет тому назад – это начало роста, когда появился род Homo и стартовал гиперболический рост численности наших далеких предков; тогда она была ~ 2К. Вторая точка – момент начала неолита, когда она стала порядка К√К. И, наконец, третья точка – это момент начала перехода, когда численность стала порядка К2.
Константы τ, К и to определяют в модели Капицы и в нашей модели границы по времени эволюции человека [-1,7 млн лет, 2062 г. н. э.] и границы по численности на этом интервале времени [~ 2К, ~ 2К2]. При удалении в прошлое на времена большие, чем 1,7 млн лет или в будущее в XXII век и далее, константы τ и К не могут уже считаться постоянными авангардной системы эволюции и присутствовать в законе роста численности ее представителей.
* * *
Даты, отмечающие начало роста, его середину на логарифмической шкале времени и его конец, должны занять, по нашему твердому убеждению, свое место среди фундаментальных постоянных эволюции человека. Для исторического процесса особую важность представляют первая и вторая демографическая революция: моменты начала взрывного роста численности населения мира и взрывной ее стабилизации на предопределенном уровне.
В модели Капицы неолитический период никак не выделен, отмечается лишь [3,4], что неолит приходится точно на середину исторического времени, пересчитанного в логарифмическом масштабе. А ведь именно во время неолита – и это считается наиболее общепризнанным – стартовал тот процесс, который называется ныне историческим.
И если начало истории – это начало неолита, то ее (по крайней мере, в том виде, в каком мы ее знаем) конец – это вторая за всю историю человечества демографическая революция: глобальный демографический переход. Который С.П. Капица справедливо называет периодом коренной ломки всех установившихся в течение тысячелетий способов развития:
«Демографическая революция и переход к постоянному населению, несомненно, самое крупное за всю историю потрясение в развитии человечества» [21].
Демографический переход, внутри которого все мы находимся, начался во второй половине двадцатого столетия и закончится во второй половине двадцать первого. Но существует ли какая-то конкретная дата, точка на оси времени, которую можно было бы связать с этим переходом?
Казалось бы, что может быть естественнее, чем связать с эпохой демографического перехода сингулярность эмпирической гиперболы демографического роста? Это та дата, при приближении к которой численность населения мира устремляется к бесконечности при условии неизменности закона роста.
Если есть гипербола роста, продолжавшегося в течение столетий, то существует и точка ее сингулярности, при подходе к которой этот рост, несомненно, должен претерпеть некие качественные изменения. И у этой точки на оси времени должен быть какой-то смысл.
Как ни странно, в построениях С.П. Капицы эта дата вообще отсутствует. Вместо 2022 (2025) года он вводит какую-то «безликую», ни о чем не говорящую дату – 2007 год, когда согласно первому варианту его модели скорость роста должна была достичь максимума:
«Скорость роста пройдет через максимум при Т1 = 2007 г… Из-за введения τ, значение критической даты максимума Т1 сдвигается от 2025 года к 2007 году. Это сдвиг, который следовало ожидать, и который в физике связывают с перенормировкой» [1].
Когда выяснилось, что максимум скорости роста населения мира был достигнут в 2000 году, С.П. Капица передвинул этот бессмысленный «полюс» на 1995 год. [21]
Смысл этой сингулярности, как нам представляется, не связан с какими-то конкретными событиями истории, экономики или демографии, которые непременно должно произойти в двадцатых годах текущего столетия. А в том, что эта дата, так же как и дата начала неолита, представляет своеобразную отметку на оси времени, которая позволяет разметить историю человечества на восемь сокращающихся по закону прогрессии исторических периодов.
Алгоритм такого разбиения – алгоритм восьми шагов – очень прост: делим отрезок времени от начала неолита до сингулярности гиперболы Фёрстера пополам, затем делим пополам оставшуюся половинку, ту, что у сингулярности. И так восемь раз. В итоге получаем восемь сокращающихся по закону прогрессии исторических периодов.
* * *
Можно по-разному относиться к феноменологической теории Капицы, но одно несомненно: введенные им постоянные позволяют рассчитать с прекрасной точностью важные даты и циклы как истории, так и эволюции, а также численность населения мира во все времена.
С.П. Капица и сам с некоторой растерянностью отмечал этот удивительный и непонятный феномен. Феномен, который становится еще более удивительным, если учесть, что наша модель, идейно никак не связанная с моделью Капицы, оказывается полностью ей изоморфной. Т. е. использует (без всякой подгонки) те же самые константы, но в совершенно иной их интерпретации и выдает практически такие же результаты.
Ясно, что могут быть построены новые модели, могут быть уточнены старые. Может быть предложена иная, отличная от существующих интерпретация постоянных Капицы. В одном только нет сомнения: постоянные Капицы К и τ – фундаментальные постоянные эволюции человека.
Может оказаться так, что постоянные Капицы имеют очень простой смысл. Так, константа К – это примерно 216 в нашей модели (K = √kK4), а константа τ, возможно, будет выражена через планковскую постоянную. Так это или не так – покажет только время. Действительный смысл постоянных К и τ сможет прояснить лишь новая теория эволюции. Сам факт существования этих констант эволюции и развития – факт удивительный, неожиданный, никем не предсказанный:
«Мы знаем, что нетривиальный научный прогноз будущего невозможен хотя бы уже потому, что в сфере социальных наук (в отличие от физики) нет фундаментальных констант, остающихся неизменными во времени. Нет их в психологии и биологии. Отсутствие фундаментальных постоянных свидетельствует о том, что в Мире живого нет существенно устойчивых систем. В этом мире действует спонтанность, не схватываемая рационально ориентированной наукой» В.В. Налимов «В поисках иных смыслов».
Факт существования констант К и τ говорит нам о том, что в Мире живого есть пример устойчиво развивающейся системы. Такой системой является растущее по гиперболическому закону население Земли, причем рост ее, если исходить из нашей гипотезы, далеко не случаен и направлен к четко обозначенной цели. Следовательно, нетривиальный научный прогноз будущего и даже отдаленного будущего – возможен.
К вопросу о точности, с которой определены постоянные гиперболического роста C, p, τ, К, to
Здесь мы попытаемся ответить на три важных вопроса, касающихся постоянных роста:
1. С какой точностью известна постоянная Фёрстера С?
2. Действительно ли показатель степенной функции p в законе Фёрстера в точности равен единице?
3. Можно ли было определить константы τ и К с большей точностью, чем та, с которой их вычислил С.П. Капица?
Прежде всего, необходимо обратить внимание на разницу, существующую между теоретической и эмпирической зависимостью. Невозможно оспаривать результаты эмпирического исследования Фёрстера и его коллег и, в частности, значение осредненного за двадцать столетий показателя p = 0.99.
Утверждение о том, что значение показателя степенной функции p в законе Фёрстера должно быть в точности равно единице относится к теоретической зависимости численности населения мира от времени, отражением которой и являются результаты эмпирического исследования Фёрстера: N = C/(t0– t)p; C = 179 ± 14 млрд лет; t0= 2027 ± 5 г.; p = 0.99 ± 0.009.
Зависимости, которая является выражением неоткрытого и по настоящее время динамического причинного закона. В рамках нашей модели такая теоретическая зависимость найдена, но ею нельзя в полной мере воспользоваться, т. к. неизвестен с достаточной точностью усредненный зомби-коэффициент k и момент начала неолита.
В дальнейшем будем считать, что говоря о законе роста, законе Фёрстера, мы имеем в виду теоретический закон гиперболического роста.
* * *
Гиперболической зависимостью называется любая степенная зависимость вида Y = C/Xp, где показатель p > 0 и необязательно целый. Является ли этот показатель в законе Фёрстера целочисленным или же он может быть равен какому-то нецелому, близкому к единице значению? Это очень важный вопрос, т. к. точность, с которой Фёрстер определил его в своей работе, некоторыми авторами ставится под сомнение.
Такое искажение исследования Фёрстера и его коллег позволяет им говорить не о законе гиперболического роста, а о гиперболическом тренде, предлагать модели роста, способные объяснить лишь такой гиперболический тренд, но никак не закон, и называть гиперболический рост населения Земли «надэкспоненциальным».
Что гораздо лучше отвечает их редукционистским теориям, неспособным объяснить парадоксальную системность растущего человечества. Так, С.В. Цирель в своей тяжелой для восприятия, наукообразной статье «Скорость эволюции: пульсирующая, замедляющаяся, ускоряющаяся», пишет (авторская орфография сохранена):
«Дальнейшие исследования (Kremer 1993; Коротаев 2006; Цирель 2008) показали, что сама пропорциональность выполняется не столь жестко, что показатель степени в знаменателе не обязательно равен единице и не обязательно неизменен в течение всей истории человечества, поэтому предопределенность, заданная уравнением (1), (эмпирической гиперболой Фёрстера [А.М.]) существенно преувеличена» [44].
В 2006 году Цирель писал мне о том, что они с Коротаевым чрезвычайно озабочены слишком высокой, по их мнению, точностью, с которой определена гипербола Фёрстера. Так и не найдя этому никакого объяснения, они решили сей факт проигнорировать и считать, что его как бы нет. А для того, чтобы их редукционистские модели выглядели правдоподобно, они, без всякого на то основания, стали называть закон гиперболического роста – гиперболическим трендом.
И даже С.П. Капица выражает сомнение в точности, полученной Фёрстером для показателя степенной функции:
«Заметим, что точность определения показателя n представляется несколько преувеличенной» [1].
Здесь мы приведем аргументы, говорящие о том, что показатель p в формуле степенного закона роста численности населения мира от времени должен быть в точности равен единице.
Иначе говоря, получив для показателя степенной функции при обработке данных по методу наименьших квадратов столь точный и столь близкий к единице результат, можно было сразу же прийти к утверждению о том, что в формуле закона, вызывающего такой рост, показатель p должен быть в точности равен единице и не может быть равен, скажем, 0.99 по принципиальным соображениям.
Мы докажем, что целочисленное значение показателя p = 1 занимает выделенное по сравнению со всеми другими, близкими к единице значениями, его соседями на числовой оси.
Действительно, если считать, что в формуле закона роста численности населения мира от времени показатель p ≠ 1, а равен, скажем, 0.99, то размерность постоянной Фёрстера С не будет уже иметь размерность времени, а будет иметь какую-то непонятную размерность: год или секунда в степени 0.99.
Что вряд ли может считаться приемлемым, т. к. эта константа определяла рост населения Земли на протяжении многих столетий и, несомненно, является фундаментальной постоянной роста и развития человечества как системы.
И, подобно тому как все фундаментальные физические постоянные имеют размерность, выражающуюся в целых или полуцелых степенях основных единиц измерения, постоянная Фёрстера С не может иметь размерность T0.99. Она должна иметь размерность времени. Об этом же говорит связь постоянной Фёрстера с возрастом Вселенной, рассмотренная ранее. Поэтому в законе роста недопустимо даже небольшое отклонение p от единицы[99].
Если бы в результате вычислений, которые провел Фёрстер, показатель p оказался нецелым и далеким от единицы и/или если бы точность его оказалось не столь высока, то, учитывая большой объем используемых данных, можно было бы сделать вывод о том, что аппроксимация закона роста степенной функцией не может считаться удовлетворительной. В таком случае не было бы никакого степенного закона роста населения Земли, не было бы никакой постоянной роста и не возникало бы никакого вопроса о ее размерности. Закон роста в таком случае мог быть каким-то иным, возможно, экспоненциальным или даже описываться на языке теории случайных процессов.
Но даже если бы Фёрстер и его коллеги в результате своего исследования получили, что численность населения Земли с начала новой эры до 1960 года росла с хорошей точностью по закону экспоненты, то этот результат был бы не менее парадоксален, чем установленный ими факт гиперболического роста. Действительно, на историческом этапе своего роста, особенно последние два столетия, человечество не было «однородной популяцией», а представляло скорее конгломерат, образованный различными как по численности, так и по естественному приросту популяциями (коэффициент естественного прироста в разные времена, для разных народов мог различаться в разы, поэтому простое усреднение его по всей массе человечества не может считаться допустимым). А значит, по закону Мальтуса могли расти лишь отдельные страны или народы такие, как например Америка в период освоения территорий.
Следовательно, даже если предположить, что численность каждого народа, этноса росла экспоненциально – из этого вовсе не следует, по изложенным выше соображениям, что численность человечества также росла экспоненциально. Вывод здесь был бы точно таким же, как и в случае гиперболического роста: учитывая чрезвычайную простоту полученного закона и единую на всем историческом этапе постоянную роста – время удвоения численности – его нельзя было бы считать причинным законом, а сам рост – автокаталитическим, самоускоряющимся процессом.
Но вернемся к гиперболе. Если бы получилось так, что показатель p оказался близок к единице, но не равен ей (p ≠ 1); близок в том смысле, что в результате обработки большого объема данных доверительный интервал для него оказался небольшим и включающим целочисленное значение, в данном случае единицу, то соображения размерности позволили бы сразу же считать, что p = 1.
Иначе пришлось бы вводить фундаментальную константу с непонятной и изменяющейся по мере поступления новых данных размерностью. У Фёрстера p принадлежит интервалу [0.981, 0.999] и этот интервал немного, на одну тысячную, «не дотягивает» до единицы, но все равно нужно положить p = 1, т. к. его границы выбираются по предзаданной вероятности.
Вывод здесь простой: закон роста населения Земли не мог быть «примерно» гиперболическим с нецелым, близким к единице показателем p и говорить о гиперболическом тренде, гиперболической тенденции и «надэкспоненциальном» росте в применении к мировому демографическому процессу – неверно в принципе.
И еще один важный момент. Что означает утверждение о том, что в течение всей эпохи гиперболического роста показатель p в формуле закона роста был равен единице?
Оно не означает, конечно, что рост всегда шел в точности по гиперболе Фёрстера, что естественный прирост населения мира причинно определялся численностью и был в любой момент времени пропорционален квадрату численности. Даже если бы это было так – рост все равно не был бы гиперболическим по причине его неустойчивости.
По нашему мнению, такой рост может быть представлен как нестационарный случайный процесс похожий на случайное блуждание по вертикали, направленное на гиперболу роста, с постоянным дрейфом по горизонтали в координатах время-численность на графике гиперболы демографического роста.
Показатель p в таком случае в точности равен единице лишь в том смысле, что это случайное блуждание во все времена каким-то непонятным образом направлялось на теоретическую гиперболу демографического роста, у которой p = 1. Именно поэтому при обработке данных по методу наименьших квадратов усредненный показатель p и оказался столь близок к единице. Итак, почему p = 1? Тому есть две причины:
1. Работа Фёрстера и его коллег, результаты которой считаются общепризнанными и из которой следует, что p = 1 с точностью до одного процента.
2. Соображения размерности: постоянная Фёрстера должна иметь размерность времени, а это возможно лишь при p = 1.
Теперь о потере точности при определении С.П. Капицей постоянных τ и К. По нашему мнению, такая потеря произошла при замене p = 0.99 (усредненный показатель по Фёрстеру) на целочисленный показатель p = 1.
«Как же так!» – возможно, удивится читатель. Только что доказали, что показатель p в законе Фёрстера должен быть в точности равен единице, а теперь утверждаем обратное?
Противоречия здесь нет, т. к. причинный динамический закон, благодаря которому эмпирический закон роста численности от времени оказался столь близок к гиперболическому с p = 1, предполагает существование теоретической гиперболы, показатель которой в точности равен единице.
Говоря о законе Фёрстера, мы и имеем в виду эту теоретическую, «идеальную» гиперболу. Однако при подсчете постоянных τ и К нужно пользоваться не теоретическим, а эмпирическим законом, т. е. гиперболической зависимостью с показателем p = 0.99, вычисленным по методу наименьших квадратов, и сейчас мы это докажем.
Существует семейство гипербол, почти столь же хорошо отвечающих демографическим данным за последние двадцать столетий, как и гипербола Фёрстера, каждую из которых можно полностью определить с помощью трех параметров [C, p, to][100].
Точность переменной численность населения Земли N(t) при ее вычислении по формуле Фёрстера менее всего зависит от даты сингулярности to, т. к. она определена Фёрстером и его коллегами с очень хорошей (в несколько лет) точностью.
Следовательно, даже в первой половине ХХ века любая вариация to в пределах доверительного интервала практически не влияет на результат. Здесь еще нужно учесть то, что динамика изменения численности населения мира даже в ХХ веке известна лишь с точностью до нескольких процентов, а также и то, что во второй половине ХХ века начался демографический переход и формула Фёрстера перестала правильно описывать рост.