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CAPÍTULO 1
Preliminares
1.1 Introducción

El Álgebra, hablando en términos rudimentarios pero modernos, es la disciplina matemática dedicada al estudio de las denominadas estructuras algebraicas. Una estructura así está formada básicamente por un conjunto no vacío y una o más operaciones definidas sobre ese conjunto. El Álgebra Lineal, tambíen en términos generales, tiene como objeto de estudio principal cierto tipo de estructura conocida como espacio lineal o espacio vectorial. En esta primera sección presentamos las definiciones de operación (especialmente las denominadas binarias) y de las estructuras algebraicas básicas: semigrupos, monoides, grupos, anillos y campos. En el capítulo dos, en particular, se hace una primera presentación de la estructura de espacio vectorial en un ejemplo específico. Tal definición se hará desde la perspectiva matemática o algebraica y en un capítulo posterior se relacionará con la noción física o geométrica de vector con la cual seguramente los lectores, aún los principiantes, tendrán alguna familiaridad. Iniciamos justamente con el concepto de estructura algebraica.

1.2 El concepto de estructura algebraica

Existe cierta familiaridad con la noción de operación, específicamente con la de operación binaria. Así, por ejemplo, la adición, la multiplicación y sus operaciones “inversas” (sustracción y división) en conjuntos numéricos constituyen ejemplos de operaciones binarias. Para ir abriendo paso a una generalización¹ de tales operaciones “familiares”, consideremos inicialmente la adición de números enteros.

En la adición de enteros, partimos tomando dos números enteros, por ejemplo 3 y 4, y al hacer la operación obtenemos el entero 7 = 3 + 4, denominado la suma de 3 y 4. Más generalmente, si tomamos dos enteros, notados x e y, la adición produce un entero z = x + y. Técnicamente hablando, hemos tomado un par (x, y) de enteros y le hemos asignado un entero x + y, la suma de las componentes del par (x, y). En el lenguaje de la teoría de conjuntos lo que se tiene es una función

cuyo dominio es el producto cartesiano del conjunto de los enteros, , consigo mismo y las imágenes –o resultados de la acción de la función– pertenecen al mismo conjunto . Un análisis similar puede hacerse para la multiplicación de enteros, la cual es una función

Estos son dos ejemplos particulares de lo que denominaremos una ley de composición interna definida sobre un conjunto. El hecho de que los elementos operados (sumados o multiplicados) se consideren formando pares ordenados parecería no ser importante en estos ejemplos ya que el resultado obtenido –la suma o el producto, respectivamente– es el mismo independientemente de si el par considerado es (x, y) o (y, x). Esto es debido, en este caso, a que las dos operaciones consideradas gozan de la denominada propiedad conmutativa según la cual “el orden de los sumandos (o factores) no altera la suma (el producto)”. Sin embargo, basta con pensar en la sustracción de enteros para convencerse de que si queremos generalizar nuestras particulares observaciones a conjuntos (y operaciones) arbitrarios el “orden” de las componentes es importante. Así, la sustracción en el conjunto de los enteros es una función

Como tal, es una ley de composición interna pero, por ejemplo, la imagen de la pareja (2, 3), esto es 2 − 3 = −1, no es la misma que la de (3, 2), la cual es 3 − 2 = 1. Esto, por supuesto, significará que la sustracción no es una operación conmutativa.

Algunas preguntas son pertinentes en este momento. ¿Podemos operar solo elementos del mismo conjunto? o ¿estarán siempre los “resultados” de las operaciones en el mismo conjunto al cual pertenecen los elementos operados? Si pensamos, por ejemplo, en la división de enteros, es claro que solo podemos dividir un entero cualquiera entre un entero diferente de cero y que los resultados no necesariamente son enteros. Así, la división a la que estamos haciendo referencia es entonces una función

Aquí el dominio de nuestra función es el producto cartesiano de dos conjuntos distintos y las imágenes (cocientes) pertenecen al conjunto de los números racionales , del cual los conjuntos cuyo producto cartesiano es el dominio son subconjuntos propios.

Generalizando lo anterior, dados conjuntos no vacíos A, B y C, una función

es denominada una operación binaria. Note que la imagen del par (x, y) bajo la función ∗ se denota por x ∗ y. Si A = B = C decimos que ∗ es una ley de composición interna en el conjunto A o, simplemente, una operación binaria definida sobre A. Como dijimos antes, una estructura algebraica es un conjunto con una o más operaciones binarias definidas sobre tal conjunto. La notación para una estructura algebraica generalmente involucra al conjunto (y, posiblemente, a otros con cuyos elementos se opera o al cual pertenecen los resultados) y a los símbolos de las operaciones. En particular, si A es un conjunto no vacío y ∗ es una ley de composición interna en A se acostumbra notar por (A, ∗) a la estructura algebraica resultante. Se debe resaltar que dicha notación hace referencia no solo a los elementos del conjunto A sino, principalmente, al comportamiento de los mismos con relación a la operación ∗. Así, por ejemplo, cuando nos referimos a la estructura “aditiva” (, +), estamos hablando de una estructura distinta a la “multiplicativa” (, ·). En ambos casos los elementos del conjunto “soporte” de la estructura son los mismos, pero el comportamiento algebraico no es igual. Por ejemplo, mientras que la estructura aditiva goza de la propiedad de existencia de inversos para cada elemento de , esta propiedad no es válida, en general, en la estructura multiplicativa, en la cual solo 1 y −1 tienen inversos (multiplicativos).

Propiedades, seguramente familiares para el lector, como la conmutatividad, la asociatividad, entre otras, de la adición y la multiplicación en los enteros, pueden ser definidas también para leyes de composición interna. Estas se presentan a continuación.

Definición 1.2.1 Sean A y B conjuntos no vacíos con B ⊆ A. Si ∗ y son leyes de composición interna definidas en A. Entonces:

1. B es cerrado bajo ∗ si y solo si para todo x, y ∈ B se cumple que x ∗ y ∈ B.

Trivialmente, el conjunto A es, por ser ∗ una ley de composición interna en A, cerrado para ∗.

2. ∗ es:

(a) Conmutativa si y solo si para todo x, y ∈ A se satisface:

(b) Asociativa si y solo si para todo x, y, z ∈ A se cumple:

(c) Modulativa si y solo si existe e ∈ A tal que para todo x ∈ A se tiene:

El elemento e, el cual puede probarse que es único, se denomina elemento neutro para ∗ en A. En ese sentido, la propiedad modulativa también se denomina de existencia de elemento neutro.

(d) Invertiva si y solo si es modulativa, con neutro e, y para todo elemento x ∈ A existe un elemento y ∈ A tal que:

Para una operación invertiva y asociativa, para cada x ∈ A el elemento y de la ecuación (1.4) es único (ejercicio). Tal elemento es denominado el inverso, bajo ∗, de x. En una estructura (A, ∗) asociativa y modulativa puede suceder que la condición de existencia de inverso no se cumpla para todos los elementos de A; si se cumple para algún elemento particular x, diremos que x es invertible (o regular o no singular) bajo ∗ y, consecuentemente, que y es el inverso de x.

(e) Distributiva con relación a si y solo si para todo x, y, z ∈ A se tienen:

La propiedad dada por (1.5) se denomina usualmente distributiva (de ∗ con relación a ) por la derecha, mientras que la dada por (1.6) lo será por la izquierda.

Algunas de las definiciones dadas pueden extenderse a operaciones binarias que no sean necesariamente leyes de composición interna. Por ejemplo, para una operación binaria ∗: A × B → B, decimos que es modulativa a izquierda si y solo si existe e ∈ A tal que para todo x ∈ B se tiene e ∗ x = x. En este caso e es denominado un neutro a izquierda. De manera similar se puede definir elemento neutro a derecha para operaciones del tipo ∗ : A × B → A. Nótese así que para leyes de composición interna el neutro, si existe, lo es tanto a izquierda como a derecha. También es costumbre, para una operación ∗ : A × B → B, decir que un conjunto no vacío D ⊆ B es cerrado para ∗ si y solo si, siempre que se tengan x ∈ A, y ∈ D, se tiene también que (x ∗ y) ∈ D. Se dejan al lector otras posibles extensiones de las definiciones dadas. Diremos también que una estructura (A, ∗) es asociativa (o conmutativa, modulativa, etc.) si lo es la operación ∗.

Si ∗ es una ley de composición interna en el conjunto A y B es un subconjunto de A, cerrado bajo ∗, entonces la restricción de ∗ a B, usualmente notada ∗|_B,

es también una ley de composición interna en B. Algunas de las propiedades ya definidas (conmutativa, asociativa, distributivas) claramente son válidas también para la restricción de ∗ a B, en caso de que se cumplan en A, diremos en tal caso que son hereditarias.² Las propiedades (1.3) y (1.4), por su parte, se satisfacen –si se cumplen en A– para todo x ∈ B, pero no se garantiza la pertenencia del neutro e, o el inverso de x al conjunto B.

Ejemplo 1.2.1

1. La conocida estructura aditiva de los enteros (, +) es, como recordará el lector, asociativa, conmutativa, modulativa e invertiva. Una estructura tal, como se definirá después, es denominada un grupo abeliano. Aquí el elemento neutro (aditivo) es cero, 0, y cada entero x tiene un inverso aditivo −x. Por su parte la estructura multiplicativa (, ·) es asociativa, conmutativa y modulativa, pero no es invertiva. Solamente, como ya se mencionó, son invertibles el 1 y el −1 y, en cada caso, el inverso es el mismo elemento. Para enteros distintos de cero y de 1 y −1, por ejemplo 2, el inverso multiplicativo existe si se consideran como parte del conjunto de los racionales, es decir de la estructura (, ·), pero no es un entero. En el ejemplo considerado, el inverso de 2 es 0.5 = . Este ejemplo resalta la importancia de que una estructura depende tanto del conjunto como de la o las operaciones consideradas.

Grupos abelianos, como el caso de (, +), son también (, +), (, +), ( − {0}, ·) y ( − {0}, ·).

2. Consideremos el conjunto A = {a, b, c}. Una ley de composición interna sobre A debe asignar a cada par (x, y) ∈ A × A, es decir, a cada par de elementos de A, un elemento único del mismo conjunto. Se puede elegir arbitariamente tales “resultados” de la operación. En este caso, la operación puede definirse mediante una tabla; por ejemplo, las que se muestran a continuación.

En la primera fila y la primera columna de cualquiera de las tablas se muestran el símbolo de la operación y los elementos del conjunto A. El resultado de operar un elemento de una columna con uno de una fila es el elemento en la intersección de dichas fila y columna. Así, por ejemplo:

Nótese que en (A, ∗), a es un neutro a izquierda pero no a derecha (b ∗ a = c), mientras que en (A, ) es neutro tanto a derecha como a izquierda; es decir, es modulativa. Puesto que a ∗ b = b ≠ c se sigue que ∗ no es conmutativa. ¿Es asociativa? Puede verificarse que es asociativa, modulativa, invertiva y conmutativa; es decir, (A, ) es un grupo abeliano. Nótese que el inverso de b, bajo , es c y el de c es b. a, por su parte, es su propio inverso bajo .

3. Para un entero n ≥ 2 sea _n = {0, 1, 2, . . ., n − 1}, el conjunto de los enteros no negativos menores que n. Por ejemplo:

Así, _n es, en principio, un subconjunto del conjunto de los enteros. Es claro, sin embargo, que no es cerrado bajo la adición “usual” de enteros. Así, por ejemplo 1 + (n − 1) = n, pero n ∈ _n. Para la multiplicación, si n > 2, tampoco el conjunto considerado es cerrado. Sin embargo, es un hecho conocido que el cociente de un entero no negativo entre n ≥ 2 tiene residuo menor que n. Así, podemos definir unas “nuevas” adición y multiplicación en _n, tomando como resultados los residuos de la división entre n de la adición y multiplicación “usuales” de los elementos considerados, garantizando así la cerradura del conjunto bajo tales operaciones (adición y multiplicación módulo n).

Por ejemplo, si consideramos ₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, entonces como “suma” de 3 y 4 tomamos el residuo de dividir 7 (la suma usual) entre 6. Así, en este caso, tenemos 3 + 4 = 1. Por su parte, 3(4) = 0 dado que el residuo de dividir 12 (producto usual de 3 por 4) entre 6 es 0. Las tablas de estas adición y multiplicación (módulo 6) se muestran abajo.

Nótese que ambas operaciones son conmutativas y que 0 y 1 siguen siendo los neutros aditivo y multiplicativo, respectivamente, en ₆ (y, en general, en _n) y que cada elemento tiene un inverso aditivo. Específicamente, el inverso aditivo de un elemento x ∈ _n − {0} es n − x, dado que (n − x) + x = x + (n − x) = 0. Si siguiendo la notación familiar en los enteros, se denota por −x al inverso aditivo de x, tenemos entonces³:

−0 = 0, −1 = 5, −2 = 4

−3 = 3, −4 = 2, −5 = 1

Tal como en el caso de los enteros, y siguiendo la notación anterior, los únicos elementos invertibles (multiplicativamente) en ₆ son 1 y −1 = 5 y si, nuevamente tomando “prestada” la notación multiplicativa para inversos en los números reales, para un elemento invertible x, notamos por x⁻¹ su inverso en ₆, tenemos:

1⁻¹ = 1

5⁻¹ = 5

Es decir, al igual que en , cada uno es su propio inverso. Puede mostrarse fácilmente que para cualquier valor de n ≥ 2, en (_n, ·) efectivamente 1 y n − 1 (el inverso aditivo de 1) son invertibles y cada uno es su propio inverso. Para n = 6, como muestra la tabla, son los únicos elementos invertibles, pero podrían, para otros valores de n, existir otros elementos invertibles. Como ejemplo considere en (₉, ·) los elementos 1, 2, 4, 5, 7 y 8. Como se esperaba, por lo dicho antes, 1 y 8 son invertibles y cada uno es su propio inverso. Sin embargo, los otros elementos considerados también son invertibles. En efecto se tiene:

2(5) = 1

4(7) = 1

Por lo que 2⁻¹ = 5, 5⁻¹ = 2, 4⁻¹ = 7, 7⁻¹ = 4. Al lector puede parecerle sorprendente que bajo la multiplicación módulo n (en este caso n = 9), enteros no invertibles bajo la multiplicación usual lo sean en la estructura modular.

Dado un conjunto no vacío G, y una ley de composición interna ∗ en G, la estructura (G, ∗) es denominada un grupoide. Si la operación es asociativa se denominará un semigrupo. Un semigrupo tal que la operación sea además modulativa se denomina un monoide. Un monoide con la propiedad invertiva es un grupo. Si, además, la operación es conmutativa la estructura se denomina grupo conmutativo o grupo abeliano. En general, para grupoides, usaremos notación multiplicativa escribiendo xy en lugar de x ∗ y, así como 1_G para referirnos al neutro de ∗, en caso de existir, y también x⁻¹ para referirnos al inverso de x en caso de existir. Por supuesto, en estructuras particulares aditivas escribiremos 0_G y −x, respectivamente, para el neutro y el inverso de x ∈ G. Así, tenemos