Read the book: «Квадратные уравнения. Часть 1», page 3

§5. Всегда ищи первопричину!
или Как решить квадратное уравнение?

Всё начинается просто и безоблачно, это потом возникают объективные и надуманные проблемы. Вот и мы пойдём от самого простого к чуть более сложному, но всё равно простому.

Прежде всего, нам надо вспомнить, что такое корень уравнения?

Корнем уравнения называется всякое значение неизвестной, при котором равенство становится истинным. То есть, корнем квадратного уравнения ax²+bx+c=0 будет такое число x, которое при подстановке в левую часть даст нам значение квадратного трёхчлена ax² + bx + c равное нулю.

Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет.

В связи с этим возникает два вопроса:

– сколько корней имеет квадратное уравнение (то есть до каких пор их искать),

– каким образом их находить (или доказывать, что их нет)?

А вот для этого нам надо знать, что такое квадратный корень из числа. Приступим.

Квадратным корнем из числа называется число, квадрат которого равен данному числу. Из этого определения непосредственно следует, во-первых, что на множестве действительных⁶ чисел квадратные корни можно извлекать только из неотрицательных чисел, во-вторых, из положительного числа существует два квадратных корня.

То есть нахождение квадратных корней числа m может дать нам три варианта результата:

– если число m положительное, то квадратных корней два⁷,

– если число m равно нулю, то и квадратный корень из нуля один (сам же ноль),

– если число m отрицательное, то действительных квадратных корней мы не получим.

Тогда при решении уравнения вида t² = m (по сути это нахождение квадратных корней из числа m), можем получить три варианта ответа (смотри далее в таблице):

То есть, уравнение t² = m имеет или два противоположных корня, или единственный, равный нулю, либо не имеет корней.

В качестве числа t можно взять линейный двучлен kx + n

(k ≠ 0). Тогда для m> 0 корни уравнения (kx + n) ² = m будут равны соответственно:

Проверьте!

С другой стороны, уравнение (kx + n) ² = m после нескольких равносильных преобразований будет выглядеть так: k²x² +2knx + n² – m = 0 (тоже проверьте!).

То есть оно является квадратным!

А можно ли из квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 получить что-нибудь похожее на (kx + n) ² = m?

Оказывается, можно.

Этот процесс называется выделением полного квадрата.

Напомним классический⁸ его вариант.

Рассмотрим квадратное уравнение ax² + bx + c = 0.

Сначала разделим обе части уравнения на a (по определению a ≠ 0); это преобразование сохраняет равносильность уравнений, то есть, корни не изменятся. Получаем

Далее преобразования идут в такой последовательности:

Обозначим выражение (b² – 4ac) через D.

Тогда полученное равенство примет вид

Знак правой части зависит от числителя, так как знаменатель может быть только положительным (обоснуйте – почему?). Тогда возможны три случая.

Как видим, знак числа D определяет наличие и количество корней квадратного уравнения. Поэтому его назвали дискриминантом (от лат. discriminans, род. падеж discriminantis – разделяющий, различающий) квадратного уравнения.

Кстати, выделить полный квадрат в левой части квадратного уравнения можно ещё одним способом.

Он не столь очевиден, но существенно легче.

Смотрите:

 
ax² + bx + c = 0
4a²x² +4abx +4ac = 0
4a²x² +2 · 2ax · b + b² – b² +4ac = 0
(2ax + b) ² = b² – 4ac
 

Далее всё очевидно: выражаем сначала 2ax + b, потом x.

§6. Важный математический аспект,
или Количество…

Вернёмся к общим формулам, но посмотрим на них с других позиций. Не с точки зрения чему могут быть равны корни квадратного уравнения. Сейчас нас будет интересовать количественный аспект.

Итак, мы имеем алгоритм:

1 шаг – вычисляем дискриминант;

2 шаг – делаем вывод о наличии корней;

3 шаг – вычисляем корни по формулам.

Две ситуации, когда дискриминант имеет определённый знак, трактуются вполне однозначно:

если дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение корней не имеет⁹;

если дискриминант положительный, то можно найти два различных корня квадратного уравнения.

Кстати, а может ли квадратное уравнение иметь более двух различных корней¹⁰?

Давайте разберём случай с нулевым дискриминантом.

С одной стороны мы выяснили, что при D = 0 квадратное уравнение имеет один корень (из смысла квадратного корня из нуля)

Но если в общих формулах положить D = 0, то получим, что квадратное уравнение имеет два равных корня:

Так как же всё-таки: один корень или два равных?!

С точки зрения высшей алгебры (теории уравнений), то правильной надо признать трактовку «два равных корня», так как количество корней целого рационального уравнения совпадает со степенью этого уравнения. Поскольку квадратное уравнение имеет вторую степень, то и корней у него должно быть два. Но тогда как быть с тем, что при отрицательном дискриминанте корней вроде бы нет?

Оставим на время высшую математику и вернёмся к элементарной. С точки зрения последней оба варианта – «единственный корень» и «два равных корня» – признаются законными.

Существенное значение количество корней приобретает при решении специфических задач, как правило, с параметрами. Двоякое толкование ситуации при D = 0 привносит в математическую жизнь неординарность и бодрость, так как требует внимания и логики.

Для неполных квадратных уравнений всё ещё проще.

1. Уравнение вида ax² = 0.

Так как первый коэффициент не равен нулю по определению, то равенство может быть истинным только при x = 0 и ни при каких других условиях. В этом случае мы также имеем два равных корня, так как всегда можем записать x · x = 0, то есть оба множителя равны нулю.

2. Уравнение вида ax² + bx = 0 (b ≠ 0) всегда имеет два различных корня, один из которых всегда равен нулю, а другой отличен от нуля.

Действительно,

 
       ax² + bx = 0
     x (ax + b) = 0
       x = 0   или   ax + b = 0.
 

3. Уравнение ax² + с = 0 может иметь действительные корни (и тогда они будут либо рациональными противоположными, либо иррациональными сопряжёнными числами), а может и не иметь таковых. Например, уравнение 4x² – 9 = 0 имеет корни ±1,5; уравнение x² – 5 = 0 имеет корни плюс-минус квадратный корень из пяти; уравнение 7x² +5 = 0 действительных корней не имеет.

Для того, чтобы такое неполное квадратное уравнение имело корни необходимо и достаточно, чтобы первый и третий коэффициенты были разного знака.

Докажите этот факт самостоятельно.

§7. …и качество, или Теорема Виета

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого,

Умножишь ты корни – и дробь уж готова:

В числителе с, в знаменателе а.

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда —

В числителе b, в знаменателе а.

В. Литцман

Как видно из процесса вывода корней квадратного уравнения наличие последних зависит от знака дискриминанта, значение которого в свою очередь зависит от значений коэффициентов конкретного квадратного уравнения. Да и значение корней, конечно, зависит от этих коэффициентов.

Достаточно посмотреть на формулы¹¹

Однако между корнями и коэффициентами квадратного уравнения существует и другая, не столь очевидная связь!

Обнаружил её французский математик Франсуа Виет (1540‒1603) для коэффициентов и корней алгебраических уравнений до пятой степени включительно. «Школьная» теорема Виета является лишь частным случаем классической формулировки¹².

Напомним школьную формулировку теоремы Виета.

Если квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет корни, то их сумма равна минус второму коэффициенту, делённому на первый, а произведение равно третьему коэффициенту, делённому на первый.

Доказательство этого утверждения достаточно лёгкое. Действительно, если корни уравнения существуют, то их можно выразить известным образом (см. выше известные всем формулы). Далее достаточно сложить и умножить два выражения, чтобы получить необходимые равенства. Сделайте это самостоятельно.

Обратим внимание на то, что УСЛОВИЕМ теоремы является существование корней уравнения, а вот справедливость равенств, связывающих коэффициенты и корни, – это ЗАКЛЮЧЕНИЕ теоремы, то есть факт, который требует доказательства.

К условию и заключению теоремы Виета мы ещё вернёмся. А пока опять о количестве корней квадратного уравнения.

Если мы решили, что при D = 0 корень один, то как может выполняться теорема Виета? Ведь и слагаемых, и множителей должно быть два! Всё-таки – два равных.

Хороший компромисс – введение термина «корень кратности два». То есть корень вроде бы и один, но его кратность (встречаемость) говорит о том, что в конкретных ситуациях учитывать его надо дважды.

С функционально-графической точки зрения удобна ситуация «один корень». Она соответствует тому, что парабола (график квадратичной функции, заданной одним и тем же квадратным трёхчленом что и конкретное квадратное уравнение) имеет с осью абсцисс одну общую точку.

А с позиции разложения на множители квадратного трёхчлена целесообразно говорить о двух равных корнях, так как для одного корня и линейный множитель должен быть один, а у нас их два – уравнение то второй степени!¹³

Вот такой казус: и «один корень», и «два равных» – оба правомерны и необходимы в своих уникальных ситуациях.

В случае отрицательного дискриминанта всё значительно проще: действительных корней у квадратного уравнения нет, на множители квадратный трёхчлен не раскладывается, парабола общих точек с осью абсцисс не имеет. Ну и, конечно, раз условие теоремы Виета не выполняется (помните? «… если корни существуют…»), то и говорить о связи с коэффициентами несуществующих корней, смысла нет.