Electrónica de potencia

2.3. Leyes y teoremas
2.3.1. Solución de un circuito

Se denomina circuito eléctrico a todo sistema realizado a base de componentes eléctricos. Es decir, de acuerdo con lo expuesto en los apartados anteriores, un circuito está formado por fuentes, por elementos resistivos lineales y no lineales, y por elementos reactivos.

Se denomina solución de un circuito a la determinación de todas las magnitudes que intervienen en el mismo. Debido a la facilidad de medida, éstas acostumbran a ser tensiones y corrientes, consideradas respuestas a unas señales conocidas que actúan de entradas.

En general, un circuito eléctrico o electrónico, al igual que cualquier sistema físico, puede ser representado por un sistema de ecuaciones diferenciales que describen su comportamiento dinámico. Estas ecuaciones dinámicas se obtienen a partir de un modelo (representación matemática) del circuito que explica su comportamiento en ciertas condiciones, cuando se contrasta la solución obtenida con la experimentación en el laboratorio.

En ciertas condiciones es posible determinar la solución exacta de un determinado circuito, lo que interpretamos como que las magnitudes previamente desconocidas se han podido expresar mediante expresiones analíticas cerradas, siempre contando con las restricciones implícitas al modelo utilizado.

En otras condiciones, la utilización de modelos finos de los componentes electrónicos hace prácticamente imposible la determinación de una solución exacta, al aumentar notoriamente la complejidad del sistema de ecuaciones del circuito. En este caso se acostumbra a determinar una solución aproximada, generalmente derivada de la utilización de modelos muy simples de los componentes electrónicos.

La determinación de una solución aproximada no ha de ser despreciada en el ámbito de la ingeniería. Efectivamente, por un lado los componentes reales utilizados tienen un comportamiento ciertamente complejo, lo que obliga a utilizar modelos de los mismos también complejos; por otro lado, los componentes empleados tienen tolerancias en sus valores nominales, y finalmente, en la actualidad es factible disponer de ordenadores personales para la utilización de programas de simulación, es decir, de programas que resuelven rápidamente las ecuaciones dinámicas de los circuitos electrónicos en estudio. Por todo ello la obtención de una solución aproximada da una idea bastante correcta del comportamiento de un circuito.

2.3.2. Leyes y teoremas

En este apartado se definen las leyes y teoremas más utilizados en la resolución de circuitos, que serán debidamente comentados en diferentes ejercicios.

Leyes de Kirchhoff

Son dos, y son consecuencia directa del principio de conservación de la energía.

• La ley de corrientes, enunciada como sigue:

Para cualquier circuito plano, para cualquier superficie gaussiana, para cualquier instante de tiempo, la suma algebraica de las corrientes incidentes a esa superficie es nula.2

Así, en un caso particular se tiene que la suma de corrientes entrantes a un nodo es igual a la suma de sus corrientes salientes del mismo.

• La ley de tensiones, enunciada como sigue:

Para cualquier circuito plano, para cualquier camino cerrado (malla), para cualquier instante de tiempo, la suma algebraica de las diferencias de potencial a lo largo de ese camino es nula.

Es decir, que en cualquier malla, la suma de fuerzas electromotrices debe ser igual a la suma de las caídas de tensión.

Ejercicio E2.2

La aplicación de las leyes de Kirchhoff a la conexión de fuentes de la misma naturaleza permite imponer restricciones a dichas conexiones, derivándose las reglas básicas de interconexión de fuentes.

Considérese, por ejemplo, la interconexión directa de dos fuentes de tensión, según se indica en la figura E2.2.1.

Figura E2.2.1

La aplicación de la ley de tensiones impone, en este circuito, que E₁ - E₂ = 0 lo que es un imposible físico, por lo que la conclusión es que no está permitida la interconexión directa de fuentes de tensión. Incluso, en la práctica, no es conveniente asociar dos fuentes de tensión de idéntico valor, ya que aunque conceptualmente pudiesen respetar la ley de tensiones de Kirchhoff, cualquier desequilibrio en alguno de sus parámetros, como su resistencia interna, equivaldría a un cortocircuito de las fuentes (piénsese en lo que sucede cuando se conectan en paralelo dos baterías secas...).

¿Sabría el lector justificar la imposibilidad física de la interconexión directa de fuentes de corriente?

Ejercicio E2.3

Considérese un sistema electrónico alimentado mediante dos fuentes de tensión constante de valores respectivos E y E , según se esquematiza en la figura E2.3.1. En este sistema genérico, representativo de muchas aplicaciones electrónicas, se ha indicado como GND el nodo de referencia de tensiones, también denominado masa del circuito.

Figura E2.3.1

Supóngase que el sistema está generando, como un cierto procesador de las tensiones externas de alimentación E₁ y -E₂, una tensión de salida e_O, y que internamente está formado, únicamente, por elementos pasivos (característica u-i en primer y tercer cuadrantes).

Aplicar a este sistema las leyes de Kirchhoff.

Solución

Primera ley (de corrientes)

Considerando la superficie gaussiana SG₁, y al estar el sistema en vacío (corriente nula por la rama de e₀), debe cumplirse que i₁ = i₂.

Segunda ley (de tensiones)

En la malla superior (e₀-e₁-E₁) se cumple que E₁ = e₁ + e₀. Así, se observa que si e₀ crece hacia valores más positivos, e₁ debe decrecer para mantener esta igualdad.

En la malla inferior (e₀-e₂-E₂) se cumple que E₂ = e₂ - e₀. Así, se observa que si e₀ decrece hacia valores negativos, e₂ debe crecer hacia valores más positivos para mantener esta igualdad.

De la segunda ley de Kirchhoff así aplicada, se desprende que el máximo valor positivo para e₀ es, precisamente E₁, obtenido cuando e₁ = 0, mientras que su mínimo valor (el más negativo) es -E2, obtenido cuando e₂ = 0, de donde resulta que -E₂ ≤ e₀ ≤ + E₁.

Así, como consecuencia de esta forma peculiar de aplicar el principio de conservación de la energía, se desprende que la tensión de salida de un sistema electrónico está acotada por los límites que imponen sus tensiones de alimentación. A la diferencia entre las tensiones de alimentación, E₁ - (-E₂) = E1 + E₂ se le denomina máxima excursión de la tensión de salida del sistema en cuestión, y si dicho sistema tiende a generar una tensión de salida que exceda a los límites impuestos por esta (-E₂ ≤ e₀ ≤ + E₁) se dice que el sistema está saturado.

• Principio de la superposición.

Es aplicable únicamente a circuitos lineales, como consecuencia de esa propiedad. Puede ser enunciado como sigue:

La respuesta de un circuito lineal a dos o más excitaciones, puede ser obtenida como superposición (suma) de las respuestas individuales del sistema dadas por cada una de las excitaciones cuando las otras no actúan.

Ejercicio E2.4

Como aplicación del principio de la superposición considérese el circuito indicado en la figura E2.4.1 y calcúlese el valor de la tensión U en bornes de la resistencia R1, siendo: E = 20 V, J = 8 A, R₁ = 2 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 5 Ω.

Figura E2.4.1

Solución

En primer lugar se calculará la tensión U₁ en bornes de la resistencia R₁ considerando únicamente la fuente de tensión E, dejando en circuito abierto la fuente de corriente J, según se indica en la figura E2.4.2.

Figura E2.4.2

Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones resulta:

Por tanto: U1 = R1I = 2 · 2 = 4 V

A continuación se calculará la tensión U₂ en bornes de la resistencia R₁ considerando únicamente la fuente de corriente J, dejando en cortocircuito la fuente de tensión E, según se indica en la figura E2.4.3.

Figura E2.4.3

Por tanto:

Y, en aplicación del principio de superposición:

Ejercicio E2.5

Como aplicación del principio de la superposición considérese el circuito indicado en la figura E2.5.1 y calcular el valor de la tensión U_A en el nodo A, siendo: E = 10 V, J = 2 A, I = 0,1 U_A A, R = 20 Ω, R₂ = 4 Ω.

Figura E2.5.1

Solución

En este caso, en el circuito hay una fuente de corriente controlada por la tensión que debe siempre tenerse en cuenta sin alteración alguna.

Así, en primer lugar se calculará la tensión UA1 en el nodo A, considerando únicamente la fuente de corriente J, cortocircuitando la fuente de tensión E, según se indica en la figura E2.5.2. que cortocircuita.

Figura E2.5.2

Si se aplica la ley de Kirchhoff de corrientes en el nodo A, resulta:

A continuación se calculará la tensión UA2 en el nodo A, considerando únicamente la fuente de tensión E, dejando en circuito abierto la fuente de corriente J, según se indica en la figura E2.5.3.

Figura E2.5.3

Así pues, la tensión U_A solicitada en el nodo A será:

• Equivalente de Thévenin

Este teorema, aplicable únicamente a circuitos lineales, indica que:

Cualquier subcircuito eléctrico lineal, visto por dos terminales cualesquiera, es equivalente a una fuente de tensión en serie con una resistencia.

Esta tensión (tensión equivalente de Thévenin) se corresponde con la tensión de vacío obtenida en esos terminales, mientras que la resistencia (equivalente de Thévenin) se obtiene dividiendo la tensión de Thévenin por la corriente de cortocircuito entre esos dos terminales.

• Equivalente de Norton

Este teorema, aplicable únicamente a circuitos lineales, indica que:

Cualquier subcircuito eléctrico lineal, visto por dos terminales cualesquiera, es equivalente a una fuente de corriente en paralelo con una resistencia³.

Esta corriente (corriente equivalente de Norton) se corresponde con la corriente de cortocircuito obtenida en esos terminales, mientras que la resistencia (equivalente de Norton) se obtiene dividiendo la corriente de Norton por la tensión de vacío entre esos dos terminales.

Los equivalentes de Norton y de Thévenin son duales (véase el apartado 2.3.4).

• Teorema de Téllegen

Este teorema, consecuencia directa de las leyes de Kirchhoff, indica que:

Si un circuito eléctrico tiene r ramas, cada una de las cuales sometidas a la tensión uk y recorridas por la corriente ik, resulta que

O dicho de otra forma, en todo circuito eléctrico la suma de las potencias generadas es igual a la suma de las potencias disipadas.

Ejercicio E2.6.

La figura E2.6.1 representa un convertidor continua-continua que enlaza una fuente de tensión E con una fuente de corriente I. Hallar la relación entre las magnitudes de entrada (E, J) y las de salida (U, I), supuesto el convertidor ideal.

Figura E2.6.1

Solución

En aplicación del teorema de Téllegen, considerando el convertidor ideal, se puede escribir:

Véase, también, el ejercicio propuesto 2.8.7.

2.3.3. Concepto de recta de carga

Considérese el sistema de la figura 2.33.a, formado por un subsistema lineal, SL, y un resistor no lineal, RNL, por ejemplo, el resistor cuya característica estática, i = f(u), está representada en la figura 2.33.b

Figura 2.33. Resistor no lineal en un sistema lineal

Como se ha indicado en el apartado anterior, el subsistema de la figura 2.34.a, visto desde los puntos A y B, se puede sustituir por su equivalente de Thévenin, es decir, por una tensión equivalente en serie (U_eq) con una resistencia equivalente (R_eq), resultando el circuito de la figura 2.34.a.

Figura 2.34. Recta de carga

Para resolver este circuito, bastará con escribir la ecuación de Kirchhoff de la malla resultante:

y resolver el sistema de ecuaciones:

Dado que se dispone del comportamiento del resistor no lineal representado en el plano (u,i), si se representa la expresión (2.54) en el mismo plano, la solución se encontrará en la intersección de ambas características. Como resulta evidente la ecuación (2.54) en el plano (u,i), es la recta que pasa por los puntos (0, U_eq) y (0, U_eq/R_eq), según se indica en la figura 2.34.b. Dicha solución Q(u,i) = (U_Q, I_Q) es el denominado punto de trabajo del resistor RNL.

La ecuación (2.54) se denomina recta de carga de este circuito. De hecho la denominada recta de carga es un segmento de recta confinado en un cuadrante del plano (i, u), de puntos extremos la tensión de vacío, U_eq, es decir la máxima tensión que se puede obtener entre los terminales A y B (figura 2.34.a) cuando éstos están abiertos, y la corriente de cortocircuito, U eq /Req es decir la máxima corriente circulante cuando los terminales A y B están cortocircuitados.

2.3.4. Dualidad

Definición

Dos circuitos se dicen duales cuando constituyen dos representaciones físicas diferentes de un mismo sistema de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones de nodos de uno de los circuitos son las ecuaciones de mallas del otro, su dual.

Considérense los circuitos de la figura 2.35.

Figura 2.35. Circuitos duales.

La ecuación que caracteriza el circuito de la figura 2.35.a es:

mientras que la ecuación que caracteriza el circuito de la figura 2.35.b es:

Se trata, efectivamente, de dos circuitos duales. Las dos ecuaciones (2.56) y (2.57) son la misma ecuación y, en consecuencia, tienen la misma solución. Se puede pasar de una a otra sin más que sustituir tensión por corriente, corriente por tensión, resistencia por conductancia, inductancia por capacitancia y capacitancia por inductancia. A los pares de elementos que se corresponden en dos circuitos duales se denominan elementos duales. En la tabla 2.4 se indica un conjunto de pares de elementos duales.

Tabla 2.4. Elementos duales.

Búsqueda del circuito dual de un circuito dado

En primer lugar, debe indicarse que no a todo circuito dado le corresponde un circuito dual. Para ello, es necesario que el circuito del que se quiere hallar su dual sea un circuito representable en un plano, sin ramas imbricadas. Para hallar el circuito dual de un circuito dado se puede utilizar la técnica gráfica que se describe (véase la figura 2.36):

a)Poner un punto (nodo) en el centro de cada malla y un punto (nodo de referencia) en el exterior del circuito, que se corresponderá a la malla externa.

b)Dibujar tantas líneas, ramas duales entre dos nodos, como elementos haya en la rama común a las dos mallas en que se encuentran estos nodos. Ver figura 2.36.a.

c)Situar en cada rama dual el elemento dual del situado en la rama común a las dos mallas en el circuito inicial. Ver figura 2.36.b.

d)Por último, una vez hallada la estructura dual, deben definirse los signos de las magnitudes duales, la polaridad de las fuentes de tensión y la dirección de las fuentes de corriente. Por ejemplo, en el caso de la figura 2.36.b, el signo de la fuente de corriente I’. Para ello, se deberán orientar las ramas del circuito inicial y deducir la orientación del circuito dual. Con la orientación elegida, la ley de mallas para el circuito de la figura 2.36.a permite escribir:

siendo V_i la tensión de la rama i.

Por dualidad, estas ecuaciones son coincidentes con las ecuaciones de nodo del circuito dual. Así en los nudos A, B, C y D se cumplirá que:

De estas últimas ecuaciones se deducen directamente la orientación de las ramas del circuito de la figura 2.36.b. Conocer la orientación de estas ramas es fundamental en el caso de la presencia de componentes unidireccionales como el diodo, como es el caso presentado en la figura 2.36.

Figura 2.36. Búsqueda del circuito dual.

Sin necesidad de plantear la ecuaciones de malla, se puede determinar la polaridad de las fuentes de tensión y la dirección de las fuentes de corriente, aplicando la siguiente regla: una fuente de tensión que produce una corriente de malla positiva (en el sentido del movimiento de las agujas del reloj) tiene como su dual una fuente de corriente cuya dirección es del nodo de referencia al nodo de no referencia.

2.4. Regímenes transitorios
2.4.1. Introducción

En los circuitos en tiempo continuo disipativos excitados por magnitudes periódicas o constantes a partir de un determinado instante t = t₀, con el paso de un tiempo finito o infinito T_RT, el sistema alcanza el denominado régimen permanente (o estado estacionario), caracterizado porque a partir del instante t = t₀+T_RT todas las magnitudes son periódicas, es decir que presentan el mismo valor al inicio y al final de cada período. Esto no sucede durante el intervalo t0 ≤ t ≤ t0 + TRT, constituyendo el denominado régimen transitorio del circuito. Si TRT= 0, caso propio de los circuitos resistivos, se dice que el circuito no tiene dinámica, denominándose circuito con dinámica en el caso contrario.

Siendo un convertidor estático un sistema formado básicamente por interruptores, su funcionamiento en régimen permanente estará formado por una sucesión de regímenes transitorios, debido a que el sistema presentará diferentes topologías con el paso del tiempo, cada uno de ellos provocado por la abertura o cierre de un interruptor, por lo que a este régimen particular se le denomina régimen permanente estático, un caso específico de los convertidores estáticos.

En apartados sucesivos se analizarán los transitorios que se producen en la carga y descarga de circuitos lineales de primer y segundo orden.

2.4.2. Circuitos de primer orden

Carga del circuito RC

Sea el circuito de la figura 2.37.a, cuyo condensador se está descargando a través de la resistencia R y el interruptor S₂. En el instante t = 0, se cierra el interruptor S1 al mismo tiempo que se abre el interruptor S₂ Se inicia la carga del condensador C.

Para t > 0, en que el interruptor S₁ está cerrado y S₂ abierto, aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones a la malla resultante, se puede escribir:

Siendo la tensión en el condensador en el instante inicial t = 0 y τ = RC la constante de tiempo del circuito, la solución de la ecuación (2.60) es:

Figura 2.37. Transitorio en la carga de un circuito de primer orden RC.

La tensión en el condensador se obtiene de la siguiente forma:

En la figura 2.37.b, se muestra la evolución de la tensión y la corriente en el condensador, observando la variación exponencial desde el valor inicial hasta el final.

Descarga del circuito RC

Sea el circuito de la figura 2.38.a, cuyo condensador se está cargando a través de la resistencia R y el interruptor S₁. En el instante t = 0, se cierra el interruptor S₂ al mismo tiempo que se abre el interruptor S₁. Se inicia la descarga del condensador C.

Para t > 0, en que el interruptor S₂ está cerrado y S₁ abierto, aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones a la malla resultante, se puede escribir:

Siendo UCO la tensión en el condensador en el instante inicial t = 0 y τ = RC la constante de tiempo del circuito, la solución de la ecuación (2.63) es:

La tensión en el condensador será:

En la figura 2.38.b se muestra la evolución de la tensión y la corriente en el condensador.

Figura 2.38. Transitorio en la descarga de un circuito de primer orden RC.

Carga del circuito RL

Sea el circuito de la figura 2.39.a, cuyo inductor se está descargando a través de la resistencia R y el interruptor S2. En el instante t = 0, se cierra el interruptor S₁ al mismo tiempo que se abre el interruptor S₂. Se inicia la carga del inductor L.

Figura 2.39. Transitorio en la carga de un circuito de primer orden RL.

Para t > 0, en que el interruptor Sl· está cerrado y S2 abierto, aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones a la malla resultante, se puede escribir:

Siendo I_L(0) = I_LO la corriente en el inductor en el instante inicial t = 0 y la constante de tiempo del circuito, la solución de la ecuación (2.66) es:

La tensión en el inductor será:

En la figura 2.39.b se muestra la evolución de la corriente y la tensión en el inductor, observando la variación exponencial desde el valor inicial hasta el final.

Descarga del circuito RL

Sea el circuito de la figura 2.40.a, cuyo inductor se está cargando a través de la resistencia R y el interruptor S₁ En el instante t = 0, se cierra el interruptor S2 al mismo tiempo que se abre el interruptor S₁ Se inicia la descarga del inductor L.

Figura 2.40. Transitorio en la descarga de un circuito de primer orden RL.

Para t > 0, en que el interruptor S2 está cerrado y Sl· abierto, aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones a la malla resultante, se puede escribir:

Siendo I,LO la tensión en el condensador en el instante inicial la constante de tiempo del circuito, la solución de la ecuación (2.69) es:

La tensión en el inductor será:

En la figura 2.40.b se muestra la evolución de la corriente y la tensión en el inductor.