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Capítulo

1 Distribuciones muestrales

Por lo general, el análisis estadístico de datos se realiza con el propósito de obtener conclusiones válidas para una población con base en la información proporcionada por la muestra. De ahí que el conocimiento de las diferentes técnicas de muestreo y cómo se distribuyen los estadísticos muestrales resulta fundamental para obtener los resultados deseados.

Conocimientos previos

Estadística descriptiva, cálculo de probabilidades, distribuciones de probabilidad

Secciones

1. Conceptos básicos

2. Muestra aleatoria

3. Tipos de muestreo

4. Principales estadígrafos

5. Distribución de la media muestral

6. Teorema central del límite

7. Distribuciones de muestras pequeñas

8. Distribuciones muestrales de un estadígrafo

9. Distribuciones muestrales de dos muestras

Sabes

Capacidades adquiridas

Identificar y diferenciar los estadígrafos de posición y de dispersión

Construir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria

Calcular e interpretar el valor esperado y la varianza de una variable aleatoria

Hacer uso de la distribución normal con el software Minitab

Piensas

Competencias por lograr

Seleccionar muestras aleatorias con el software Minitab

Reconocer la importancia del teorema central del límite en el análisis estadístico

Haces

Habilidades por desarrollar

Determinar la técnica muestral adecuada para un caso real

Hacer uso apropiado de las distintas distribuciones muestrales

Las poblaciones suelen ser demasiado grandes para estudiarlas en su totalidad; se puede estar interesado, por ejemplo, en determinar el consumo promedio per cápita en una región del país o la proporción de consumidores que prefieren un determinado producto. En estos casos, es preferible elegir una muestra representativa que tenga un tamaño manejable y que permita obtener conclusiones válidas sobre la población objetivo que interesa estudiar. Para el primero de los ejemplos citados, se puede calcular la media aritmética de la muestra de consumidores y utilizarla como una estimación de la media aritmética poblacional μ. Cuando se desea usar una muestra para obtener conclusiones sobre la población, se deben aplicar las técnicas de la estadística inferencial.

En la estadística inferencial se desarrollan dos puntos importantes: el problema de estimación de los parámetros y el de la dócima o prueba de hipótesis, que serán desarrollados en los capítulos posteriores.

1. CONCEPTOS BÁSICOS

a. Unidad de análisis.- Se define como el elemento que se observa en una población y del que se busca información de características o variables de interés.

b. Población.- Se entiende por población o universo a la totalidad de elementos o unidades de análisis, ya sean empresas, personas, objetos, etcétera, que presentan una o más características observables.

c. Población objetivo.- Es la población completamente caracterizada; por ejemplo, en una encuesta sobre la aceptación de un nuevo producto de belleza de una empresa que produce cosméticos, la población objetivo estará conformada por todas las mujeres que son usuarias de los productos de la empresa, con edades entre 20 y 39 años, pertenecientes al nivel socioeconómico medio alto; a partir de esta población se selecciona una muestra de mujeres para la investigación.

d. Marco muestral.- Se define como el listado de elementos, unidades de análisis, a partir del cual se seleccionará la muestra.

e. Unidad de muestreo.- Son aquellas que contienen las unidades de análisis de la población y que se utilizarán para seleccionar la muestra. En general, la unidad de muestreo se encuentra asociada a la selección de los conjuntos de unidades de análisis que serán tomados en cuenta para conformar la muestra final en la investigación.

f. Error muestral.- Es la diferencia entre el resultado obtenido a partir de una muestra y el que se obtendría de la población; por ejemplo, la diferencia existente entre la media muestral y la media poblacional. También se le denomina error de estimación, y en resumen es el error que se origina debido a que se trabaja sobre una muestra en lugar de la población completa.

2. MUESTRA ALEATORIA

La estimación de parámetros y las pruebas de hipótesis se basan en la información proporcionada por las unidades de análisis, sobre una característica de estudio X, mediante sus valores x₁, x₂,…, x_n. Estas unidades de análisis se eligen de manera independiente y deben tener la misma probabilidad de ser seleccionadas. El conjunto de estas unidades seleccionadas recibe el nombre de muestra aleatoria.

Cuando se trata de poblaciones finitas de N elementos se seleccionarán muestras diferentes sin reemplazamiento, donde ; si el muestreo es con reemplazamiento se seleccionarán k = Nⁿ muestras diferentes.

Definición. Se dice que los valores x₁, x₂,…, x_n de la variable de interés X con función de probabilidad f (x) constituyen una muestra aleatoria de tamaño n, si son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.

Es decir, si se sabe que la ley de probabilidad es la misma para cada una de las observaciones, esto es:

f (x₁) = f (x₂) = … = f (x_n)

La función de probabilidad de las observaciones muestrales está dada por:

La expresión (1) se conoce como función de probabilidad conjunta.

3. TIPOS DE MUESTREO

Se dispone de dos métodos para seleccionar las muestras de poblaciones: muestreo probabilístico y muestreo no probabilístico.

3.1 Muestreo probabilístico

En este tipo de muestreo se tiene información de las probabilidades de las unidades de análisis seleccionadas en la muestra. El muestreo probabilístico permite calcular el grado hasta el cual el valor obtenido de la muestra puede diferir del valor correspondiente a la población de interés, esta diferencia recibe el nombre de error muestral. Existen varios tipos de muestreo probabilístico, los cuales se detallan a continuación:

3.1.1 Muestreo aleatorio simple

En este tipo de muestreo cada unidad de la población tiene igual probabilidad de ser seleccionada, se recomienda cuando la variable en estudio es homogénea.

Ejemplo 1

Suponga que se desea seleccionar una muestra aleatoria simple de 20 asistentes, de entre los 100 asistentes de una charla sobre marketing digital. A cada asistente se le asignó un número del 1 al 100.

Con Minitab. Para la obtención de la muestra aleatoria mediante el uso del software Minitab se realiza el siguiente procedimiento:

• Se disponen en una columna los 100 números, un número asignado a cada asistente, tal como se muestra en la figura 1.

• Con el comando Calc / Random Data / Sample From Columns…

• Colocar el tamaño de la muestra que se desea extraer: 20.

• Seleccionar el marco muestral: Columnas C1 (‘N.° Asistente’).

• Indicar la columna donde se almacenarán los resultados del muestreo: C3. Lo anteriormente expuesto se aprecia en la figura 2.

Los resultados se almacenarán en la columna C3, tal como se indicó, entonces se procede a etiquetar la columna, por ejemplo: “M. Aleatorio Simple”. De acuerdo con el resultado (figura 3), la muestra estará conformada por los asistentes cuyos números asignados sean: 27, 25, 75…

Nota: Cada vez que se realice el muestreo se obtendrán resultados diferentes, ya que son resultados aleatorios.

Si se desea los resultados del muestreo se pueden ordenar, para una mejor visualización, mediante el siguiente procedimiento:

• Data / Sort …

• Sort column(s): ‘M. Aleatorio Simple’.

• Señalar el criterio de ordenamiento. By column: ‘M. Aleatorio Simple’.

• Seleccionar la opción ‘Original column(s)’.

Lo anteriormente expuesto se aprecia en la figura 4.

Luego, la muestra aparecerá ordenada en forma ascendente.

3.1.2 Muestreo sistemático

Es un tipo de muestreo que simplifica el proceso de selección de las unidades de análisis, las cuales se seleccionan en un intervalo constante, denominado salto sistemático, que se mide en el tiempo, en el orden o en el espacio. El método requiere la determinación del valor del salto sistemático (k) y elegir un valor de arranque aleatorio (A).

Determinación del salto sistemático: , donde N es el tamaño de la población y n es el tamaño de la muestra.

Elección del arranque aleatorio: se elige un número aleatorio A entre 1 y k, es decir, el valor A se encuentra acotado de la siguiente forma: 1 ≤ A ≤ k.

Ejemplo 2

De acuerdo con el ejemplo anterior, relacionado con la charla sobre marketing digital:

Sean: N = 100 y n = 20, entonces se calcula el salto sistemático .

Por lo tanto, el arranque aleatorio se selecciona entre los cinco primeros asistentes registrados (1 ≤ A ≤ 5). Por ejemplo, si A = 2, los demás asistentes serán seleccionados mediante un salto sistemático de k = 5, obteniéndose: 2, 7, 12, 17, 22, …, 97; números relacionados a la numeración asignada a los asistentes.

Software Minitab. Para la obtención de la muestra sistemática mediante el uso del software Minitab se debe proceder como sigue:

• Calc / Make Patterned Data / Simple Set of Numbers…

• Store patterned data in: C5.

• Arranque aleatorio: 2. Último valor de la numeración asignada en el marco muestral: 100. Tamaño del salto sistemático: 5.

Lo anteriormente expuesto se aprecia en la figura 5.

Los resultados se almacenan en la columna C5, luego se procede a etiquetar la columna; por ejemplo: ‘M. Sistemático’. La figura 6 presenta el resultado obtenido.

3.1.3 Muestreo estratificado

En este tipo de muestreo la población se divide en grupos o estratos. El principio básico radica en que los estratos tengan una gran homogeneidad o similitud interna, y heterogeneidad de estrato a estrato. Una vez determinado el número de estratos L y las unidades pertenecientes a cada uno de ellos, el siguiente paso es definir el número de las unidades muestrales por seleccionarse dentro de cada estrato. Este proceso es conocido como Asignación o Afijación de la muestra.

Asignación proporcional de la muestra.- Es un tipo de asignación que consiste en la distribución de la muestra entre los L estratos, de tal manera que el tamaño de cada muestra sea proporcional al tamaño de cada estrato que la origina. Sea N el tamaño de la población y n el tamaño de la muestra, entonces N_h es el tamaño del estrato h, y n_h es el tamaño de la muestra en dicho estrato. Se sabe que:

Por consiguiente, n_h = (n)W_h, donde , llamado también ponderación del estrato h.

Ejemplo 3

Inka Móvil es una empresa de transporte interprovincial, cuyo gerente desea realizar un estudio de satisfacción de los clientes que residen en las nueve provincias del departamento de Lima, sin considerar Lima provincia, en relación con el servicio de encomiendas. Para la investigación se seleccionará una muestra de hogares de las mencionadas provincias.

a. Indicar, en forma detallada, la población objetivo del estudio.

b. Para el estudio descrito proponga, y justifique, el uso de un tipo de muestreo probabilístico.

c. Si se utiliza un muestreo estratificado, indique cómo se distribuiría el tamaño de muestra entre los estratos, explique.

Solución

a. La población objetivo está constituida por todos los hogares de las nueve provincias del departamento de Lima.

b. Sería adecuado utilizar el muestreo estratificado debido a que la selección se realizará de acuerdo al número de viviendas que tiene cada provincia, los cuales son agrupados en estratos homogéneos (cada provincia).

c. La distribución del tamaño de muestra se realizará mediante la asignación proporcional según el número de viviendas de cada una de las nueve provincias consideradas. Por ejemplo,

– El tamaño de la población lo constituyen todas las viviendas de las nueve provincias.

– Al dividir el número de viviendas de cada una de las provincias entre el total, se obtiene la proporción de viviendas para cada provincia.

– De acuerdo a la proporción de viviendas por cada provincia se distribuirá proporcionalmente la muestra en cada estrato (provincia).

3.1.4 Muestreo por conglomerados

A diferencia de las otras técnicas donde se seleccionan unidades de muestreo, el muestreo por conglomerados divide a la población en grupos o conglomerados, y luego se selecciona una muestra aleatoria de ellos. Por ejemplo, si la unidad de muestreo es la vivienda, el conglomerado puede ser la manzana constituida por viviendas.

La característica del muestreo por conglomerados es que estos son internamente heterogéneos, y homogéneos de conglomerado a conglomerado. Por ejemplo, si se desea muestrear a los empleados de una gran empresa con el propósito de averiguar su percepción con respecto al clima laboral, un primer paso consiste en seleccionar una muestra de las diversas áreas de la empresa, posteriormente se realizaría una selección aleatoria de los empleados dentro de cada una de las áreas que resulten seleccionadas.

3.2 Muestreo no probabilístico

Los métodos de muestreo no probabilísticos, a diferencia de los probabilísticos, no permiten determinar el error de muestreo, no es posible determinar el nivel de confianza sobre la representatividad de la muestra, y no permiten realizar inferencias sobre la población. Existen varios tipos de muestreo no probabilístico, de los cuales los más usados son los siguientes:

3.2.1 Muestreo por cuotas

Es una técnica de uso frecuente en la investigación de mercados, sobre todo en encuestas de opinión. Se basa en el conocimiento de los estratos de una población y de los individuos más representativos de esta; en este tipo de muestreo se seleccionan cuotas de individuos que reúnen ciertas condiciones; por ejemplo, cincuenta clientes de un banco que reciben su estado de cuenta vía un servicio de mensajería. Una vez especificada la cuota, se eligen los primeros clientes que cumplan con estas características.

3.2.2 Muestreo por conveniencia

En este caso, como su nombre lo indica, las unidades que conformarán la muestra se seleccionan de acuerdo a la conveniencia del investigador. Por ejemplo, se puede solicitar a algunos asistentes a un centro comercial que colaboren voluntariamente para probar ciertos productos, y después realizar un proceso de monitoreo con las mismas unidades. También se puede solicitar la opinión de personas que transitan en un punto de alta afluencia peatonal. En cada caso, la unidad de muestreo se selecciona sobre la base de su fácil disponibilidad.

3.2.3 Muestreo de juicio

Este tipo de muestreo consiste en seleccionar las unidades muestrales a juicio del investigador, quien determina a los que representan a la población. Una importante diferencia radica en que la muestra no es típica, sino que el investigador la considera como tal. Como se observa, entonces, la eficacia del muestreo de juicio depende de la opinión del investigador o experto que selecciona las unidades por entrevistar.

4. PRINCIPALES ESTADÍSTICOS

La media y la varianza muestral son los principales estadísticos y se caracterizan porque sus valores varían de muestra a muestra, mientras que la media y la varianza poblacional son valores fijos y en general desconocidos. La media muestral y la varianza muestral están dadas por:

Si se tiene una población conformada por N unidades con parámetros μ y σ², la representación esquemática de la obtención de k muestras de tamaño n con su propia media y varianza, como se presenta en la figura 7:

5. DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL

La distribución de la media muestral se determina a partir de sus valores característicos: esperanza y varianza de la media muestral, es decir, si la distribución de la variable X es X ~ (μ; σ²), entonces se sabe que la esperanza de la media muestral es igual a la media poblacional, y que la varianza de la media muestral es igual a la varianza poblacional dividida entre el tamaño de la muestra, es decir:

Se observa que mientras mayor sea el tamaño de la muestra menor será la variabilidad de la media. Por consiguiente,

6. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

Sea X una variable aleatoria con cualquier tipo de distribución, con media μ y varianza σ². Si se toma una muestra aleatoria de tamaño n, entonces

Lo que implica que cuando el tamaño de la muestra aumenta, la media muestral estandarizada converge a una distribución normal estándar con media μ = 0 y varianza σ² = 1

Ejemplo 4

El gasto anual, en soles, en el que incurre una empresa para el mantenimiento de cada equipo de cómputo presenta una distribución normal con una media y desviación estándar de S/. 120 y S/. 15, respectivamente. La empresa seleccionó 36 equipos de cómputo para realizarles un seguimiento de sus costos de mantenimiento. Con la media muestral que se obtenga se emitirá una opinión sobre los gastos incurridos, de acuerdo a los siguientes criterios:

• Reducido: si la media muestral es como máximo S/. 117.

• Moderado: si la media muestral es mayor a S/. 117 y menor de S/. 124.

• Excesivo: si la media muestral es por lo menos S/. 124.

a. Luego del seguimiento realizado, ¿cuál es la probabilidad de que se concluya que se ha incurrido en un gasto reducido en relación al mantenimiento de los equipos de cómputo?

b. Luego del seguimiento realizado, ¿cuál es la probabilidad de que se concluya que se ha incurrido en un gasto excesivo en relación al mantenimiento de los equipos de cómputo?

c. Calcule la probabilidad de que luego del seguimiento se señale que la empresa presentó gastos moderados para el mantenimiento de los equipos de cómputo.

d. ¿Cuántos equipos de cómputo se deberían seleccionar para un próximo seguimiento, de tal forma que se tenga una probabilidad de 0.96 de que se concluya que en promedio se han presentado gastos entre S/. 115 y S/. 125?

Solución

a. Se define X: gasto anual, en soles (S/.), de mantenimiento del equipo de cómputo.

X ∼ N (120;15²), n = 36

Como S/. 2.5, entonces ∼ N (120;2.5²)

Luego, la probabilidad solicitada es: P(Gasto reducido) = P( ≤ 117)

Al hacer uso del software Minitab se tiene:

• Graph / Probability Distribution Plot …

• Seleccionar View Probability.

• Distribution: Normal. Mean: 120. Standard deviation: 2.5

• Shaded Area: Seleccionar X value y Left Tail. X value: 117

Lo anteriormente expuesto se aprecia en la figura 8.

La probabilidad resultante se aprecia en la figura 9.

Luego: P(Gasto reducido) = P( ≤ 117) = 0.1151

Interpretación: la probabilidad de que se incurra en un gasto reducido es de 0.1151.

b. Del ítem anterior: ~ N(120;2.5²)

Luego, la probabilidad solicitada es: P(Gasto excesivo) = P( ≥ 124)

Haciendo uso del software Minitab:

• Graph / Probability Distribution Plot …, seleccionar View Probability.

• Distribution: Normal. Mean: 120. Standard deviation: 2.5

• Shaded Area: Seleccionar X value y Right Tail. X value: 124

Lo anteriormente expuesto se aprecia en la figura 10.

La probabilidad resultante se aprecia en la figura 11.

Luego: P(Gasto excesivo) = P( ≥ 124) = 0.0548

Interpretación: la probabilidad de que se incurra en un gasto excesivo es de 0.0548.

c. Del ítem (a): ∼ N(120;2.5²)

Luego, la probabilidad solicitada es: P(Gasto moderado) = P(117 ≤ ≤ 124)

Al usar el software Minitab:

• Graph / Probability Distribution Plot …, seleccionar View Probability.

• Distribution: Normal. Mean: 120. Standard deviation: 2.5

• Shaded Area: Seleccionar X value y Middle. X value 1: 117, X value 2 = 124

Lo anteriormente expuesto se aprecia en la figura 12.

La probabilidad resultante se aprecia en la figura 13.

Luego: P(Gasto moderado) = P(117 ≤ ≤ 124) = 0.8301

Interpretación: existe una probabilidad de 0.8301 de que la empresa presente gastos moderados.

d. Hallar el valor del tamaño de muestra n, tal que P(115 < < 125) = 0.96

Como la distribución normal estándar es simétrica respecto del origen de coordenadas, se tiene que las probabilidades idénticas de ambos extremos de la gráfica (colas) deben sumar 0.04, es decir, la diferencia con respecto a la unidad.

Al hacer uso del software Minitab:

• Graph / Probability Distribution Plot …, seleccionar View Probability.

• Distribution: Normal. Mean: 120. Standard deviation: 2.5

• Shaded Area: Seleccionar Probability y Both Tails. Probability: 0.04

Lo anteriormente expuesto se aprecia en la figura 14.

El valor de la abscisa resultante se aprecia en la figura 15.

Se debe igualar el valor de la abscisa correspondiente:

Entonces:

Interpretación: se deberían seleccionar 38 equipos de cómputo.

6.1 Aplicación del teorema central del límite a diferentes distribuciones

El teorema central del límite es útil para aproximar la distribución de la media muestral () a una distribución normal, cuando la muestra aleatoria es obtenida de diferentes distribuciones de probabilidad para valores grandes del tamaño n de la muestra.

6.1.1 Distribución de Poisson

Sea la variable aleatoria X ~ P(λ), con E(X) = λ, y V(X = λ

Si se seleccionan muestras de tamaño n, con n suficientemente grande, la distribución de la media muestral es:

. Es decir:

y por el teorema central del límite se tiene

Ejemplo 5

M-Design es una empresa que brinda el servicio de pintura personalizada de motos y cuatrimotores. Luego del estudio se determinó que el número de personas interesadas en el servicio ofrecido, clientes que se apersonan o realizan llamadas para consultar por dicho servicio, presenta una distribución de Poisson con una media de 16 personas por día. Suponga que se seleccionan al azar 64 días y se registra el número diario de personas interesadas, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral de personas interesadas difiera de la media poblacional en a lo más 1 persona?

Solución

Se define:

X: Número diario de personas interesadas en el servicio ofrecido.

X ~ Poisson(λ = 16)

Como , por el teorema central del límite: ~ N(16;0.5²)

Luego, la probabilidad solicitada es:

Interpretación: la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional, en a lo más 1 persona es de 0.9545.

6.1.2 Distribución uniforme

Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme U(α; β), entonces

Si se toma una muestra de tamaño n la distribución de la media muestral es

, es decir

y por el teorema central del límite, resulta

Ejemplo 6

Se sabe que el espesor de unas placas de acero es una variable aleatoria con distribución uniforme entre 12.52 y 12.88 milímetros.

a. Si se seleccionan 48 placas de acero, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral del espesor de las placas sea de por lo menos 12.68 mm?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que 108 placas apiladas tengan una altura de a lo más 1.37 metros?

Solución

a. Sea X : Espesor, en milímetros, de una placa de acero, entonces

X ~ U(12.52;12.88), n = 48

Luego:

Por consiguiente, la probabilidad solicitada es

b. Sea X : Espesor, en milímetros, de una placa de acero, n = 108. Entonces,

Luego, la probabilidad solicitada es:

Como el valor de la variable se encuentra expresado en milímetros y la altura de las placas apiladas en metros; para calcular la probabilidad solicitada se realiza una conversión a metros, por lo tanto:

Nota. 1 metro = 1000 milímetros.

7. DISTRIBUCIONES DE MUESTRAS PEQUEÑAS

Se dice que una muestra es pequeña cuando el muestreo se realiza con un número no mayor de 30 observaciones. Si la muestra es grande, se aproxima a una distribución normal. En esta sección se estudiarán las distribuciones Ji cuadrado, t de Student y F de Fisher.

7.1 Distribución Ji cuadrado

Sea x₁, x₂,...,x_n una muestra aleatoria seleccionada de una población N(μ; σ²)

Así, se tiene . Luego

Propiedad: sea x₁, x₂,…,x_n una muestra aleatoria seleccionada de una población la varianza muestral. Entonces, se tiene

Esto es, la variable aleatoria V tiene una distribución χ² con (n - 1) grados de libertad.

Características: si X es una variable aleatoria con distribución Ji cuadrado, con m grados de libertad, entonces:

E(X) = m y V(X) = 2m

El parámetro m de la distribución se conoce con el nombre de grados de libertad y es considerado como el número de valores que la variable puede tomar libremente con la condición de que la suma debe ser igual a un valor fijo, este valor se encuentra asociado con el tamaño de la muestra.

Ejemplo 7

El entrenador de un gimnasio realizó un estudio en relación con la distancia recorrida (en km) por los usuarios del gimnasio durante media hora de ejercicio en la caminadora mecánica. Como resultado del estudio se determinó que las distancias recorridas presentan una distribución normal con media de 5.2 km y una desviación estándar de 0.4 km. Determine la probabilidad de que la desviación estándar muestral de la distancia recorrida durante media hora de ejercicio por parte de 28 usuarios del gimnasio seleccionados al azar se encuentre entre 0.36 y 0.44 km.

Solución

Sea X: Distancia recorrida, en km, durante media hora de ejercicio en la caminadora mecánica, por parte del usuario del gimnasio. Luego, se tiene:

Por consiguiente,

Interpretación: la probabilidad de que la desviación estándar muestral de la distancia recorrida se encuentre entre 0.36 y 0.44 km es de 0.5358.

7.2 Distribución t de Student

Sean Z ~ N(0;1) e variables aleatorias independientes. Luego, la distribución de la variable aleatoria T es,

Así, la variable T tiene distribución t con k grados de libertad.

Características:

Si X ∼ t_(k), entonces

E(X) = 0; para k > 1

La distribución t de Student es muy similar a la distribución normal, ya que ambas varían en el conjunto de los números reales, aunque la distribución t presenta una mayor dispersión. Sin embargo, la varianza de la distribución t se aproxima a la unidad (1) cuando k es un número muy grande.

Propiedad: sea x₁, x₂,…,x_n una muestra aleatoria seleccionada de una población N(μ; σ²). Entonces se tiene:

La variable T tiene entonces una distribución t con (n – 1) grados de libertad.

Ejemplo 8

El administrador de Karaoke Live, un local de karaoke en vivo, ha determinado que el tiempo que permanecen los grupos de amigos que concurren durante los fines de semana es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con una media poblacional de 3.5 horas, y una varianza poblacional desconocida, la cual se ha estimado en 0.25 horas², ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio de permanencia, por parte de 16 grupos de amigos, sea de 3 horas 15 minutos como máximo?

Solución

Sea X: Tiempo de permanencia (en horas) por parte de los grupos de amigos que acuden a Karaoke Live durante el fin de semana. X ~ N(3.5; σ²), n = 16, s² = (0.5 h)²

Dado que

Esta variable tiene una distribución t con (n – 1) grados de libertad.

Nota. 3 horas y cuarto = 3 horas y 15 minutos = 3.25 horas

Al calcular la probabilidad solicitada, se obtiene

Interpretación: la probabilidad de que el tiempo promedio de permanencia por parte de 16 grupos de amigos sea de 3 horas y 15 minutos como máximo es de 0.03197.

7.3 Distribución F de Fisher

Definición. Sean variables aleatorias independientes.

La variable aleatoria dada por

tiene una distribución F con parámetros m y n y se denota F_(m;n).

Las características de la variable aleatoria W son:

Propiedad: sean x₁, x₂,…,x_n una muestra aleatoria seleccionada con reemplazo de una población y y₁, y₂,…,y_n una muestra aleatoria seleccionada con reemplazo de una población . Entonces, se tiene

Ejemplo 9

En un estudio realizado por una cadena de cafeterías de Lima metropolitana se seleccionó una muestra de 21 grupos de clientes en reunión de negocios que acudieron al local de La Molina y 24 grupos de clientes al local de San Miguel. Determine la probabilidad de que la varianza muestral del consumo realizado por los grupos de clientes que acudieron al local de La Molina sea menor que 2.5 veces la varianza muestral del consumo realizado por los grupos de clientes en San Miguel. Suponga que las varianzas poblacionales del consumo realizado por los grupos de clientes en ambos locales son similares.

Solución

X₁: Consumo realizado (en S/.) por los grupos de clientes de la cadena de cafeterías en el local de La Molina.

X₂: Consumo realizado (S/.) por los grupos de clientes de la cadena de cafeterías en el local de San Miguel.

Dado que:

Como la varianza poblacional del consumo realizado por los grupos de clientes en ambos locales son similares. Entonces,

Luego, la probabilidad solicitada es

Interpretación: la probabilidad de que la varianza muestral del consumo realizado por los grupos de clientes en La Molina sea menor que 2.5 veces la varianza muestral en San Miguel es 0.9818.

8. DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE UN ESTADÍGRAFO

Se denomina distribución muestral de un estadígrafo a su distribución de probabilidad, la cual se genera por la extracción de un número muy grande de muestras. Las principales distribuciones muestrales de un estadígrafo se presentan a continuación:

8.1 Distribución de la media muestral con varianza poblacional conocida

Sea x₁, x₂,…,x_n una muestra aleatoria seleccionada, con reemplazo, de una población con distribución normal: N(μ; σ²). Si es la media muestral, entonces:

Nota. Téngase en cuenta la diferencia entre la estandarización de la variable y la estandarización de la media muestral de la variable .

Ejemplo 10

El tiempo semanal de acceso a las redes sociales en Internet por parte de los escolares de nivel secundario presenta una distribución normal con una media poblacional de 250 minutos y una varianza poblacional de 900 minutos².

a. En un colegio se seleccionarán a 36 escolares de secundaria, y si el tiempo promedio semanal de acceso a las redes sociales supera los 260 minutos se realizará una charla informativa dirigida a los padres de familia, ¿cuál es la probabilidad de que se realice dicha charla?

b. En una muestra de 64 escolares de secundaria se determinó una probabilidad de 0.91 de que el tiempo promedio semanal de acceso a las redes sociales sea de a lo más k minutos, ¿cuál es el valor de k?

Solución

a. Sea : Media muestral del tiempo semanal de acceso a redes sociales.

n = 36.

De acuerdo a los datos del problema, se tiene

Luego, la probabilidad solicitada es

P( > 260) = 0.02275

Interpretación: la probabilidad de que se realice la charla, es decir, que la media muestral sea mayor a 260 minutos, es de 0.02275 aproximadamente.

b. Sea : Media muestral del tiempo semanal de acceso a redes sociales. n = 64.

De los datos del problema, se tiene

El valor de k solicitado verifica la siguiente relación: P( < h) = 0.91

Al estandarizar, resulta

Por consiguiente:

Interpretación: El valor de k es de 255 minutos aproximadamente.

8.2 Distribución de la media muestral con varianza poblacional desconocida

Sea una muestra aleatoria seleccionada, con reemplazo, de una población con distribución normal: N(μ; σ²), donde la varianza poblacional σ² es desconocida. Luego, la variable aleatoria

tiene una distribución t de Student con (n - 1) grados de libertad.

Nota. Téngase presente que la distribución de la variable X debe ser normal, de otro modo este resultado es inaplicable.

Ejemplo 11

Si el uso de almacenamiento (tamaño en disco) de las fotografías capturadas durante un mes por parte de los jóvenes universitarios, mediante su smartphone, presenta una distribución normal con media 570 megabytes (MB), y con una varianza poblacional desconocida pero que se ha estimado en (60 MB)², calcule la probabilidad de que la cantidad total de fotografías capturadas durante un mes por parte de 40 jóvenes universitarios tengan un tamaño de por lo menos 23 000 MB.

Solución

Sea : Media muestral del tamaño (en MB) de las fotografías capturadas durante un mes por parte de los jóvenes universitarios. n = 40.

Dado que:

Luego, la probabilidad solicitada es

Interpretación: la probabilidad de que la cantidad total de fotografías capturadas por parte de 40 jóvenes universitarios tengan un tamaño de por lo menos 23 000 MB es de 0.3, aproximadamente.

8.3 Distribución de una proporción muestral

Sea x₁, x₂,…,x_n una muestra aleatoria seleccionada, con reemplazo, de una población de Bernoulli: Be (1;π), donde π es la proporción de éxitos en la población. La proporción de éxitos en la muestra se encuentra definida como:

, donde Y es el número de éxitos en la muestra.

Nota. Una variable aleatoria Bernoulli asume únicamente los valores 0 y 1. Las características de la distribución de la proporción muestral son:

Si n es suficientemente grande, se tiene:

Nota. La desviación estándar de una distribución muestral se denomina también error estándar. Para la distribución de la proporción muestral el error estándar es:

Ejemplo 12

Una reconocida marca de dispositivos móviles asegura que en Lima metropolitana, 3 de cada 10 tabletas adquiridas en un centro comercial ubicado en Santiago de Surco son de dicha marca.

a. Para una muestra conformada por las próximas 60 tabletas vendidas en el centro comercial ubicado en Santiago de Surco, calcular la probabilidad de que la proporción de tabletas de dicha marca sea mayor que 0.35.

b. ¿Cuántas tabletas deben ser seleccionadas para que la proporción de tabletas de la marca en estudio difiera de su proporción poblacional en a lo más 0.08, con una probabilidad de 0.90?

Solución

a. Sea X una variable dicotómica:

Para la muestra de tabletas seleccionadas, se tiene

proporción muestral de tabletas de marca en análisis.

Luego, la probabilidad solicitada es: P(p > 0.35) = 0.1992

Interpretación: la probabilidad de que la proporción de tabletas de dicha marca sea mayor que 0.35 es de 0.1992 aproximadamente.

b. Dado que: , entonces, para calcular el valor de n que verifica que

P(|p - π| ≤ 0.08) = 0.90, se tiene

Como Z ~ N(0;1) es simétrica con respecto al origen, entonces la probabilidad de ambas colas es igual a 0.10. Véase figura 16.

Luego:

Interpretación: Se deben seleccionar 89 tabletas.

8.4 Distribución de la varianza muestral

Sea x₁, x₂,…,x_n una muestra aleatoria seleccionada, con reemplazo, de una población con distribución normal: N(μ; σ²), y sea:

Entonces, la variable tiene una distribución Ji cuadrado con (n - 1) grados de libertad.

Propiedades: para una muestra aleatoria seleccionada de una población con distribución normal: N(μ; σ²) se tiene:

Ejemplo 13

Los montos de las transacciones realizadas en una agencia de barrio de una reconocida entidad bancaria, presentan una distribución normal con una desviación estándar poblacional de S/. 45.

a. ¿Cuál será la probabilidad de que las 37 próximas transacciones presenten una desviación estándar muestral de a lo más S/. 51?

b. Sobre la base de una muestra de 46 transacciones se ha estimado que existe una probabilidad de 0.15 de que la varianza sea de por lo menos k soles². Determine el valor de k.

Solución

a. Sea X: Monto (en S/.) de la transacción realizada en una agencia de barrio, y X ~ N(μ; 45²), n = 37

Como

Luego, la probabilidad solicitada es

b. En este caso, se tiene:

De acuerdo a los datos del problema se tiene: P(S² ≥ k) = 0.15

De donde:

9. DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE DOS MUESTRAS

Cuando se trata de comparar dos poblaciones de acuerdo a una característica de interés, se comparan las muestras aleatorias tomadas de ambas poblaciones.

9.1 Diferencia de medias muestrales con varianzas poblacionales conocidas

Sean: dos variables aleatorias independientes. Si se seleccionan muestras con reemplazo de tamaño n_x y n_y, y se obtienen las distribuciones de sus medias muestrales, se tiene:

La distribución de la diferencia de las medias muestrales está dada por:

Donde la esperanza y varianza de esta diferencia son:

Nota. La expresión representa a una variable aleatoria.

Ejemplo 14

Los ladrillos para techo producidos en las plantas A y B de la empresa Blokart presentan medias y varianzas poblacionales conocidas: μ₁ = 9.25 kg, = σ₁ = 0.08 kg, y = μ₂ = 9.30 kg y σ₂ = 0.06 kg. Se seleccionan 42 y 40 ladrillos para techo producidos en las plantas A y B, respectivamente; calcule la probabilidad de que la diferencia del peso promedio de los ladrillos obtenidos en las muestras de las plantas A y B difiera en a lo más 30 gramos de la diferencia de medias poblacionales.

Solución

X₁: Peso (en kg) de ladrillos para techo de la planta A. μ₁ = 9.25, σ₁ = 0.08, n₁ = 42.

X₂: Peso (en kg) de ladrillos para techo de la planta A. μ₂ = 9.30, σ₂ = 0.06, n₂ = 40.

La distribución de la diferencia de medias muestrales es:

(₁ - ₂) ~ N(– 0.05;0.01557²)

donde

Luego, la probabilidad solicitada es: P(|₁ - ₂) - (μ₁ - μ₂)|≤ 0.03); 0.03 kg, equivalente a 30 gramos.

P(|₁ - ₂) - (-0.05)| ≤ 0.03) = P(-0.08 ≤ ₁ - ₂ ≤ -0.02) = 0.946

9.2 Diferencia de medias muestrales con varianzas poblacionales desconocidas

En el caso de que las varianzas y sean desconocidas, estas varianzas pueden ser homogéneas o heterogéneas.

9.2.1 Varianzas poblacionales homogéneas

Para este caso, la variable aleatoria tiene la siguiente distribución:

donde es la varianza ponderada de las 2 muestras.

Ejemplo 15

El automóvil modelo Saux se comercializa en 2 modelos: A y B, los que al tener distintos pesos presentan un diferente rendimiento de combustible. El rendimiento tiene distribución normal con media 19.6 y 19.2 kilómetros por litro (en km/l) de combustible para los modelos A y B, respectivamente. Las varianzas poblacionales de los modelos A y B se desconocen pero se ha determinado que son homogéneas y se estimaron en 1.8² y 2.0² (km/l)², respectivamente. Se realizarán pruebas con muestras aleatorias de 37 automóviles modelo A y 34 modelo B. Determine la probabilidad de que la media muestral del rendimiento de combustible de los automóviles modelo A sea menor a la media muestral de los automóviles modelo B.

Solución

X₁: Rendimiento (en km/l) de combustible de los autos Saux modelo A. μ₁ = 19.6, S₁ = 1.8, n₁ = 37.

X₂: Rendimiento (en km/l) de combustible de los autos Saux modelo B. μ₂ = 19.2, S₂ = 2.0, n₂ = 34.

Dado que

donde = μ₁ - μ₂ = 19.6 – 19.2 = 0.4

Luego, la probabilidad solicitada es

9.2.2 Varianzas poblacionales heterogéneas

En este caso la distribución de la variable aleatoria es

Donde V corresponde a los grados de libertad:

Nota. El valor de los grados de libertad (V) se redondea al entero inmediato inferior.

Ejemplo 16

Para llegar a un determinado lugar turístico ubicado en la provincia de Yauyos existen dos rutas. Los automóviles que van desde Lima por la ruta centro presentan un tiempo de viaje que se distribuye como una normal: μ₁ = 8.4 horas, S₁ = 0.30 h, y los automóviles que van por la ruta sur presentan un tiempo de viaje que también se distribuye como una normal: μ₂ = 8.5 h, S₂ = 0.25 h. Si se seleccionan 41 y 44 automóviles que se dirigen al mencionado lugar turístico por las rutas centro y sur, respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral del tiempo de viaje de los automóviles que van por la ruta centro sea mayor, en a lo más 12 minutos, en comparación con los que van por la ruta sur? Suponga varianzas poblacionales desconocidas pero heterogéneas.

Solución

X₁: Tiempo de viaje, en horas, de los automóviles por la ruta centro. μ₁ = 8.4, S₁ = 0.30, n₁ = 41.

X₂: Tiempo de viaje, en horas, de los automóviles por la ruta sur. μ₂ = 8.5, S₂ = 0.25, n₂ = 44.

Dado que

donde = μ₁ - μ₂ = 8.4 - 8.5 = -0.1

Luego, la probabilidad solicitada es P(0 ≤ ₁ - ₂ ≤ 0.2)

9.3 Cociente de varianzas muestrales

Si y son las varianzas muestrales asociadas a dos muestras aleatorias independientes de tamaños n₁ y n₂, seleccionadas con reemplazo de dos poblaciones normales y respectivamente, entonces la variable aleatoria

tiene una distribución F con (n₁ - 1) y (n₂ - 1) grados de libertad.

Ejemplo 17

Los montos registrados en las boletas de venta en una tienda de helados presentan una desviación estándar poblacional de S/. 3.6 en su local de Santa Anita, y una desviación estándar poblacional de S/. 4.5 en su local de Santiago de Surco. Si se seleccionan muestras aleatorias de 33 y 28 clientes de los locales de Santa Anita y Santiago de Surco, respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que la varianza muestral de los montos registrados en las boletas de venta de los clientes del local de Santa Anita sea menor a la de los clientes de Santiago de Surco?

Solución

X₁: Montos (en S/.) registrados en las boletas de venta de los clientes del local de Santa Anita.

X₂: Montos (en S/.) registrados en las boletas de venta de los clientes del local de Santiago de Surco.

Dado que:

Luego, la probabilidad solicitada es

9.4 Diferencia de proporciones muestrales (p₁ - p₂)

Sean x₁, x₂,...,x_n1 e y₁, y₂,...,y_n2 dos muestras aleatorias, con reemplazo, independientes de tamaño n₁ y n₂, respectivamente, seleccionadas de dos poblaciones independientes de Bernoulli Be(1; π₁) y Be(1; π₂), donde π₁ y π₂ son las proporciones poblacionales de éxito, respectivamente. Si:

son las proporciones muestrales respectivas; entonces la variable aleatoria

(p₁ - p₂) tiene distribución:

Propiedades:

a) μ_{(p1 - p2)} = E(p₁ - p₂) = E(p₁) - E(p₂) = π₁ - π₂

b)

c) Para n₁ y n₂ suficientemente grandes, la distribución de la variable aleatoria es:

Ejemplo 18

Un taller mecánico cuenta con dos locales, ubicados en los distritos de Mira-flores y Santiago de Surco.

• En el local de Miraflores se estima que poblacionalmente 1 de cada 4 vehículos atendidos funcionan a gas natural vehicular.

• En el local de Santiago de Surco se estima que poblacionalmente 1 de cada 5 vehículos atendidos funcionan a gas natural vehicular.

Se estima que para el fin de semana se atenderá a 48 vehículos en el local de Miraflores y a 54 vehículos en el local de Santiago de Surco. Determine la probabilidad de que la proporción muestral de vehículos que funcionan a gas natural atendidos en el local de Miraflores supere en por lo menos 0.10 a la proporción muestral de vehículos que funcionan a gas natural atendidos en el local de Santiago de Surco.

Solución

p₁: Proporción muestral de vehículos, atendidos en el local de Miraflores, que funcionan a gas natural.

p₂: Proporción muestral de vehículos, atendidos en el local de Santiago de Surco, que funcionan a gas natural.

Dado que:

donde

Luego, la probabilidad solicitada es P(p₁ - p₂ ≥ 0.10) = 0.2732

PROBLEMAS RESUELTOS

1. En cada uno de los casos que se presentan a continuación, defina y/o identifique adecuadamente, de acuerdo al contexto del caso, según se solicite:

2. El gerente de una empresa constructora ha programado la realización de un estudio dirigido a los propietarios de departamentos del conjunto habitacional El Robledal, el cual fue entregado en su totalidad a sus propietarios hace un poco más de un año. El conjunto habitacional se encuentra compuesto por doce edificios de dos tipos distintos. A continuación se presenta una descripción del conjunto habitacional:

Se encuestó a cuarenta de los propietarios de departamento registrados en el conjunto habitacional El Robledal (se asume un propietario por cada departamento). A los propietarios seleccionados se les consultó sobre diversos aspectos (condición laboral, número de miembros de familia, nivel de satisfacción con el servicio de guardianía y consumo de energía eléctrica en los departamentos de los propietarios), y a partir de las respuestas brindadas se elaboró un informe, del cual se presenta el siguiente extracto:

En base a la muestra se ha determinado que el 80 % de propietarios son trabajadores dependientes, y que los miembros de familia de los propietarios son en promedio 4.25 personas, y el 65 % de los propietarios encuestados se encuentran entre satisfechos y muy satisfechos con el servicio de guardianía del conjunto habitacional. De acuerdo a la inspección de los medidores de energía eléctrica se ha determinado que los departamentos de los propietarios presentan un consumo promedio de 1240 kwh/mes.

a) Defina a la población del presente estudio, e indique cuál es el tamaño de dicha población.

Solución

La población se encuentra conformada por todos los propietarios de departamentos del conjunto habitacional El Robledal.

El tamaño de la población es la suma de propietarios (departamentos) que hay en los edificios A y B que conforman el conjunto habitacional.

N = 144 + 40 = 184 departamentos.

b) Determine la fracción de muestreo del estudio realizado.

Solución

c) Si se señala que el número de propietarios seleccionados para el estudio se repartirán en forma proporcional por cada edificio, ¿qué tipo de muestreo se estaría trabajando? Justifique.

Solución

Se estaría trabajando un muestreo estratificado, ya que el tamaño de la muestra se reparte en forma proporcional entre cada estrato (edificio).

d) ¿Los valores presentados en el informe son estadísticos o parámetros? Justifique.

Solución

Los valores presentados en el informe son estadísticos, ya que son medidas resumen obtenidas a partir de una muestra.

e) De acuerdo con el informe presentado, identifique las características (variables) involucradas y su respectiva clasificación (tipo de variable). Además, señale el parámetro correspondiente a dichas características.

Solución

Teorema central del límite

3. La empresa Computer System S.A.C. vende baterías externas para dispositivos móviles, el fabricante de las baterías externas ha establecido que el tiempo de descarga total de una batería completamente cargada, cuando es conectada a una ultrabook, es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con media 6 horas. Suponga que se selecciona una muestra de 64 baterías externas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total de descarga de las baterías externas que conforman la muestra se encuentre entre 350 y 400 horas?

Solución

X: Tiempo de descarga, en horas, de las baterías externas.

X ~ Exp(β = 6), donde E(X) = 6 horas, V(X) = (6 horas)²

: Media muestral del tiempo de descarga, en horas, de las baterías externas.

n = 64 baterías externas.

Por el teorema central del límite:

Donde:

Luego, la probabilidad solicitada es:

b) ¿Cuántas baterías externas deberían seleccionarse para que exista una probabilidad de 0.10, de que la media muestral del tiempo de descarga sea mayor a 7.11 horas?

Solución

: Media muestral del tiempo de descarga, en horas, de las baterías externas.

n = ¿?

Por el teorema central del límite:

Estandarizando,

Luego, se solicita determinar el valor de n, tal que: P( ≥ 7.11) = 0.10

Luego:

Se deben seleccionar 48 baterías externas, aproximadamente.

4. La Superintendencia de Banca y Seguros ha determinado que el número de tarjetas de crédito que poseen las personas pertenecientes a la población económicamente activa (PEA) presenta la siguiente distribución de probabilidades:

a) ¿Cuál es la media y la varianza de la distribución del número de tarjetas de crédito?

Solución

Media:

μ = 0(0.11) + 1(0.14) + 2(0.35) + 3(0.24) + 4(0.16)

μ = 0 + 0.14 + 0.70 + 0.72 + 0.64 = 2.2 tarjetas de crédito.

Varianza:

σ² = V(X) = E(X²) - [E(X)]²

σ² = [0²(0.11) + 1² (0.14) + 2² (0.35) + 3² (0.24) + 4² (0.16)] – (2.2)²

σ² = [0 + 0.14 + 1.40 + 2.16 + 2.56] – 4.84 = 6.26 – 4.84

= 1.42 tarjetas de crédito².

b) Si se seleccionan a 32 personas pertenecientes a la PEA, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral del número de tarjetas sea de a lo más 2 unidades?

Solución

Aplicando el teorema central del límite: ~ N(2.2;0.21065²)

Donde:

Luego, la probabilidad solicitada es: P( ≤ 2) = 0.1712

Distribución de la media muestral()
Población normal con σ conocida o con σ desconocida

5. En una sala de cine se realizó un estudio dirigido a todos los tipos de asistentes, cuyo principal interés era analizar el gasto por asistente (S/. asistente) en bocaditos y refrescos. De un estudio anterior se ha determinado que el gasto por asistente, en bocaditos y refrescos, presenta una distribución normal con media S/. 18.9 por asistente y una desviación estándar poblacional de 2.50 (S/. asistente).

a) Se han seleccionado 16 asistentes. Calcule la probabilidad de que la media muestral del gasto, en bocaditos y refrescos, sea de a lo más S/. 20 por asistente.

Solución

X: Gasto por asistente (S/. /asistente) en bocaditos y refrescos.

Luego, la probabilidad solicitada es: P( ≤ 20)

P( ≤ 20) ≈ 0.9608

Conclusión: La probabilidad de que la media muestral del gasto por asistente, en bocaditos y refrescos, sea de a lo más S/. 20 por asistente es de 0.9608, aproximadamente.

b) Se han seleccionado 25 asistentes. Calcule la probabilidad de que el gasto total, en bocaditos y refrescos, de los 25 asistentes se encuentre entre S/. 460 y S/. 490.

Solución

x: Gasto por asistente (S/. /asistente) en bocaditos y refrescos.

Calcular:

P(18.4 ≤ ≤ 19.6) = 0.760588

Conclusión: La probabilidad de que el gasto total conjunto, en bocaditos y refrescos, por parte de los 25 asistentes se encuentre entre S/. 460 y S/. 490 es de 0.7606, aproximadamente.

c) Suponga que la varianza poblacional del gasto por asistente, en bocaditos y refrescos, es: (S/. / asistente)². Determine la cantidad de asistentes que se deberían seleccionar, de tal forma que haya una probabilidad de 0.01 de que la media muestral del gasto por asistente, en bocaditos y refrescos, sea de por lo menos S/. 20.4 por asistente.

Solución

: Media muestral del gasto por asistente en bocaditos y refrescos.

μ = 18.9 (S/. / asistente), σ = 3 (S/. / asistente), n = ¿?

Se solicita calcular n, tal que: (P( ≥ 20.4) = 0.01

Entonces: asistentes.

6. El gerente de una empresa dedicada a la venta de electrodomésticos se encuentra analizando un lote de planchas verticales a vapor marca Sliza. La mencionada plancha vertical presenta las siguientes características:

– Potencia máxima: 2750 W (vatios)

– Caudal de vapor constante: 40 gr/min

– Caudal de súper vapor: 180 gr/min

De acuerdo a las especificaciones del fabricante se sabe lo siguiente:

i. El caudal de vapor constante presenta una distribución normal con media 40 gr/min y una desviación estándar de 0.3 gr/min

ii. El caudal del súper vapor presenta una distribución normal con una desviación estándar de 1.8 gr/min

a) Se selecciona al azar una muestra de 30 planchas verticales para determinar el caudal promedio de vapor constante, si dicho valor promedio difiere de la media poblacional en por lo menos 0.15 gr/min, entonces, no se acepta el lote inspeccionado. ¿Cuál es la probabilidad de que se rechace el lote de planchas verticales?

Solución

X: Caudal (en gr/min) de vapor constante de la plancha vertical a vapor.

Se solicita calcular la probabilidad de rechazar el lote: P(| - μ | ≥ 0.15)

P(| − μ |≥ 0.15) = P( − 40 ≤ −0.15) + P( −40 ≥ 0.15) = P( ≤ 39.85) + P( ≤ 40.15) = 0.0031 + 0.0031 = 0.0062

Conclusión: existe aproximadamente una probabilidad de 0.0062 de que se rechace el lote de planchas verticales a vapor, de acuerdo a la inspección realizada.

b) ¿Cuál es el valor de la media poblacional del caudal de súper vapor, tal que exista una probabilidad de 0.90 de que la media a obtenerse a partir de una muestra de 60 planchas verticales sea de a lo más 178.8?

Solución

X: Caudal (en gr/min) de súper vapor de la plancha vertical

Obtener , tal que: P( ≤ 178.8) = 0.90

Conclusión: la media poblacional del caudal de súper vapor es de aproximadamente 178.5 gr/min.

7. En un conjunto habitacional se determinó que el consumo mensual de electricidad en los departamentos de vivienda se distribuye en forma normal con una media de 1270 kwh/mes, y con una varianza poblacional desconocida pero estimada en 3600 (kwh/mes)². En dicho conjunto habitacional se seleccionó una muestra de 34 departamentos de vivienda.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que presenten una media muestral, asociada al consumo mensual de electricidad, entre 1265 y 1275 kwh/mes?

Solución

X: Consumo mensual de energía eléctrica de los departamentos de vivienda del conjunto habitacional.

n = 34, μ = 1270 kwh/mes,

: Media muestral del consumo mensual de energía eléctrica de los departamentos de vivienda del conjunto habitacional.

Se sabe que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(1265 ≤ ≤ 1275)

b) Se ha señalado que existe una probabilidad de 0.95 de que la media muestral del consumo de energía eléctrica sea de a lo más k kwh/mes; determine el valor de k.

Solución

El valor de k solicitado verifica la siguiente relación: P( ≤ k) = 0.95

Se tiene que:

8. Una pequeña empresa de productos lácteos dispone de camionetas frigoríficas para realizar el reparto de sus productos. Se sabe que la carga (peso) con que se despachan las camionetas frigoríficas se distribuye en forma normal con una media de 1.68 toneladas métricas (TM), y no se conoce el valor de la varianza poblacional pero se ha determinado que esta se estime a partir de los resultados de una muestra compuesta por los últimos 40 despachos realizados. Con estos 40 despachos se determinó lo siguiente:

a) ¿Cuál es el valor de la varianza muestral que se considerará para los análisis por realizar?

Solución

Se calcula la varianza muestral:

Por lo tanto:

b) Si se selecciona una muestra de 16 despachos de las camionetas frigoríficas, determine la probabilidad de que la media muestral de la carga difiera en a lo más 0.07 TM de la media poblacional correspondiente.

Solución

: Media muestral de las cargas (TM) de despacho de las camionetas frigoríficas.

μ = 1.68 TM, S_X = 0.14 TM, n = 16.

Se sabe que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(| − μ |≤ 0.07)

Distribución de la varianza muestral

9. En un estudio destinado a estimar los montos mensuales que pagan los usuarios de tarjetas de crédito, se sabe que la desviación estándar poblacional es de S/. 120. Calcule la probabilidad de que la desviación estándar muestral asociada a los montos de pago que realizan 31 usuarios de tarjetas de crédito sea por lo menos S/. 150.

Solución

S_X : Desviación estándar muestral de los montos de pago de las tarjetas de crédito σ = S/. 120, n = 31

Se sabe que:

Se solicita calcular: P(S ≥ 150)

10. En las cajas rápidas de un supermercado se realizará un análisis de los tiempos de atención. Si sobre la base de una muestra de 37 clientes se ha determinado que existe una probabilidad de 0.983 de que la varianza muestral sea a lo más 2500 segundos², ¿cuál es el valor de la varianza poblacional de los tiempos de atención que permitió el cálculo de dicha probabilidad?

Solución

: Varianza muestral de los tiempos de atención de los clientes en las cajas rápidas σ = ? segundos, n = 37.

Se sabe que:

Se solicita calcular σ², tal que: P(S² ≤ 50²) = 0.983

Entonces: segundos²

Distribución de la proporción muestral (p)

11. Un psicólogo clínico con amplia experiencia profesional ha establecido que el 80 % de los pacientes logran vencer la aerofobia (miedo a volar en aviones).

a) Si selecciona al azar 320 historias clínicas entre sus pacientes tratados de este tipo de fobia para usarlas en una conferencia sobre el tema, ¿cuál es la probabilidad de que a lo más el 75 % haya logrado superar su aerofobia?

Solución

p: Proporción muestral de pacientes que vencen su aerofobia

π = 0.80, n = 320

Se sabe que:

Se tiene que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(p ≤ 0.75)

P(p ≤ 0.75) = 0.01267

b) El psicólogo es contratado por una aerolínea para que atienda a sus clientes potenciales, ya que esta aerolínea ofrece apoyo psicológico gratuito a las personas que lo soliciten. Si al psicólogo se le ha asignado un grupo de 80 personas con aerofobia, y se le ha ofrecido un bono especial si por lo menos 70 de las personas logran vencer su aerofobia, ¿cuál es la probabilidad de que el psicólogo obtenga el mencionado bono?

Solución

X: Número de personas, de las 80 asignadas, que logran vencer su aerofobia

Se tiene que:

Se solicita calcular la probabilidad de obtener el bono: P(x ≥ 70)

12. Un profesor de estadística ha determinado que el tiempo de realización de un examen por parte de los alumnos es una variable aleatoria normal con media 80 minutos y con desviación estándar 6 minutos. Si 50 alumnos van a rendir el examen, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos el 98 % de dichos alumnos logre realizar el examen en a lo más 90 minutos?

Solución

X: Tiempo de realización del examen

X ∼ N(80;6²)

Probabilidad de que el tiempo de realización sea de a lo más 90 min

P(X ≤ 90) = 0.9522

p Proporción muestral de los 50 alumnos que realizarán el examen en a lo más 90 min

Donde: π = P(X ≤ 90) = 0.9522 (proporción real de alumnos que realizan el examen en a lo más 90 minutos), n = 50

Se tiene que

Luego, la probabilidad solicitada es:

P(p ≥ 0.98) = 0.1784

Distribución de la diferencia de medias muestrales
Poblaciones normales con σ conocidas, σ desconocidas (homogéneas o heterogéneas)

13. Fénix Power es una empresa que está construyendo una termoeléctrica en el poblado de Las Salinas, y utilizará el agua de mar para el sistema de enfriamiento. Al borde de Las Salinas está la playa Yaya, lugar donde se realiza pesca artesanal y que presumiblemente será afectada por las operaciones de la termoeléctrica. La empresa encargó un estudio de impacto ambiental, con el que se obtuvo la siguiente información:

i. Tipos de pesca artesanal más importantes: Pinta (A) y Trasmallo (B).

ii. El valor semanal (en miles de nuevos soles) de la pesca tipo A en la playa Yaya tiene una distribución normal con media 40 y desviación estándar 15.

iii. El valor semanal (en miles de nuevos soles) de la pesca tipo B en la playa Yaya tiene una distribución normal con media 60 y desviación estándar 20.

Si se selecciona al azar 36 semanas de la pesca tipo B y 30 semanas de la pesca tipo A, ¿cuál es la probabilidad de que el promedio muestral del tipo B sea mayor que el promedio muestral del tipo A en más de 25 000 nuevos soles?

Solución

_B : Media muestral del valor semanal de la pesca tipo B

μ_B = 60 000 nuevos soles, σ_B = 20 000 nuevos soles, n_B = 36

_A: Media muestral del valor semanal de la pesca tipo A

μ_A = 40 000 nuevos soles, σ_A = 15 000 000 nuevos soles, n_A = 30

Se sabe que:

Se tiene:

Luego, la probabilidad solicitada es:

P(_B − _A > 25) = 0.1232

14. El jefe de producción de una empresa que se dedica a la fabricación de placas de policarbonato ha determinado que el grosor de las placas producidas en la máquina 1 presenta una distribución normal con media μ₁ = 8.12 mm, mientras que las placas de la máquina 2 presentan una distribución normal con μ₂ = 8.10 mm. Para el análisis se deben utilizar las siguientes desviaciones estándar muestrales: S₁ = 0.06 mm y S₂ = 0.05 mm. Se han seleccionado muestras aleatorias de 40 y 35 placas provenientes de las máquinas 1 y 2, respectivamente. Determine la probabilidad de que la media muestral de los grosores de las placas provenientes de la máquina 1 supere a la media muestral del grosor de las placas de la máquina 2. Suponga que las varian-zas poblacionales son homogéneas.

Solución

₁: Media muestral del grosor (en mm) de las placas de policarbonato producidas en la máquina 1.

μ₁ = 8.12, S₁ = 0.06, n₁ = 40

₂: Media muestral del grosor (en mm) de las placas de policarbonato producidas en la máquina 2.

μ₂ = 8.10, S₂ = 0.05, n₂ = 35

Se sabe que:

Entonces:

μ₁ − μ₂ = 8.12 − 8.10 = 0.02

Se tiene que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(₁ − ₂ > 0

15. Glasé es una empresa que produce galletas y dulces, en la planta de producción se ha determinado que la cantidad de masa procesada por hora, en las líneas de producción A y B, presentan distribuciones normales con medias μ_A = 100 kg y μ_A = 99 kg. Las varianzas poblacionales se desconocen pero se han estimado en , y . Se han seleccionado, al azar, los registros de 30 y 32 horas de producción de las líneas A y B. Determine la probabilidad de que la media muestral de la cantidad de masa procesada por hora en la línea A sea mayor que la cantidad procesada en la línea B en a lo más un kilogramo. Suponga varianzas poblacionales homogéneas.

Solución

_A: Media muestral de la cantidad de masa procesada (kg) por hora en la línea A

_B: Media muestral de la cantidad de masa procesada (kg) por hora en la línea B.

Se sabe que:

Entonces:

Se tiene que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(0 ≤ _A − _B ≤ 1)

16. En el área de producción de una compañía industrial de equipos hidráulicos industriales, se prueba el funcionamiento de un tipo de válvulas de alta presión. Se determinó con anterioridad que el tiempo de prueba de dichas válvulas, en las plantas A y B, presentan distribuciones normales con varianzas poblacionales heterogéneas. Las desviaciones estándar se estimaron a partir de muestras aleatorias de tamaño 36 y 32, respectivamente. Los valores resumen de los datos que han sido utilizados para dicha estimación se presentan a continuación:

En muestras de tamaño similar, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia de las medias muestrales, en relación al tiempo de prueba de las válvulas, difiera en a lo más 2 segundos de la diferencia de las medias poblacionales correspondientes?

Solución

Se procede a calcular las varianzas muestrales

Se tiene que:

₁: Media muestral del tiempo de prueba de las válvulas en la Planta A

S₁ = 9, n₁ = 36

₂: Media muestral del tiempo de prueba de las válvulas en la Planta B

S₂ = 10.5, n₂ = 32

Se sabe que:

Los grados de libertad (v) se determinan a partir de la siguiente fórmula:

Además:

Se tiene que:

Luego, la probabilidad solicitada es:

Distribución del cociente de varianzas muestrales

17. En una agencia de seguros se está analizando el tiempo de duración de las entrevistas, en minutos, con los potenciales empleados de una nueva sede. De registros anteriores se sabe que los tiempos de duración de las entrevistas, en minutos, realizadas por los especialistas 1 y 2 presentan las siguientes distribuciones normales: N(18;2.0²) y N(16;2.5²), respectivamente. Se seleccionan dos muestras aleatorias independientes de tamaños 30 y 36 entrevistas realizadas por los especialistas 1 y 2, respectivamente. Calcule la probabilidad de que la varianza muestral de los tiempos de entrevistas realizadas por el Especialista 1 sea inferior a la varianza de los tiempos de entrevista del Especialista 2.

Solución

Se tiene que:

X₁ : Tiempo de duración de las entrevistas realizadas por el Especialista 1.

σ₁ = 2.0 minutos, n₁ = 30

X₂ : Tiempo de duración de las entrevistas realizadas por el Especialista 2.

σ₂ = 2.5 minutos, n₂ = 36

Se sabe que:

Se tiene que:

Luego, la probabilidad solicitada es:

18. Nature es una empresa que se dedica al procesamiento y comercialización de frutos secos. El gerente general se encuentra interesado en analizar diversos aspectos de las actividades de comercialización de la empresa, para lo cual se dispone de la siguiente información relacionada con la cantidad, en kilogramos, de castañas de calidad extra solicitadas en cada pedido por parte de los dos principales clientes de la empresa: Kredy y Zegal.

a) Se seleccionan dos muestras aleatorias conformadas por 12 y 16 pedidos realizados por las empresas Kredy y Zegal, respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que la desviación estándar muestral de la cantidad de castañas extras solicitadas en los pedidos de la empresa Kredy a lo más sea la mitad de la desviación estándar muestral asociada a la empresa Zegal?

Solución

Se tiene que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(S₁ ≤ (0.5) S₂)

b) Sobre la base de los mismos tamaños de muestra del ítem anterior, existe una probabilidad de 0.92 de que la razón de varianzas muestrales no exceda el valor k. Determine el valor de k.

Solución

Se tiene que:

X₁: Cantidad, en kg, de castañas extra solicitadas por la empresa Kredy.

σ₁ = 20 kg, n₁ = 12

X₂: Cantidad, en kg, de castañas extra solicitadas por la empresa Zegal.

σ₂ = 36kg, n₂ = 16

Se sabe que:

El valor de k solicitado verifica la siguiente relación:

Luego: 3.24(k) = 2.185 ⇒ k = 0.67438

Distribución de la diferencia de proporciones muestrales(p₁–p₂)

19. Según un estudio relacionado con el uso de tecnología en los hogares se determinó que el 25 % de los hogares del distrito de Lince poseen al menos un equipo de cómputo portátil (laptop, notebook o ultrabook), mientras que el 40 % de los hogares del distrito de Jesús María poseen al menos un equipo de cómputo portátil. Suponga que se seleccionan 125 y 120 hogares de los distritos de Lince y Jesús María, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de hogares del distrito de Lince que poseen al menos un equipo de cómputo portátil difiera de la proporción muestral del distrito de Jesús María en menos de 0.05?

Solución

Se tiene que:

p₁: Proporción muestral de hogares del distrito de Lince que poseen al menos un equipo de cómputo portátil

π₁ = 0.25, n₁ = 125

p₂: Proporción muestral de hogares del distrito de Jesús María que poseen al menos un equipo de cómputo portátil

π₂ = 0.40, n₂ = 120

Se sabe que:

Entonces:

Se tiene que: (p₁ - p₂) ∼ N(-0.15;0.05916²)

Luego, la probabilidad solicitada es: P(|p₁ - p₂| < 0.05)

P(|p₁ - p₂| < 0.05) = P(- 0.05 < p₁ - p₂ < 0.05) = 0.04512

20. En un estudio sobre el consumo de bebidas energizantes se determinó que el 40 % y 32 % de los jóvenes de los distritos de Santiago de Surco y La Molina, respectivamente, consumen algún tipo de bebida energizante. Suponga que se han seleccionado igual número de jóvenes de ambos distritos para que formen parte de la muestra en estudio. Si se ha calculado que existe una probabilidad de 0.63 de que la proporción muestral de jóvenes que consumen algún tipo de bebida energizante en el distrito de Santiago de Surco supere a la proporción correspondiente al distrito de La Molina en por lo menos 0.05. ¿Cuántos jóvenes fueron seleccionados en dichos distritos?

Solución

Se tiene que:

p₁: Proporción muestral de jóvenes del distrito de Santiago de Surco que consumen algún tipo de bebida energizante.

p₁: Proporción muestral de jóvenes del distrito de La Molina que consumen algún tipo de bebida energizante.

π₂ = 0.32, n₂ = ¿?

Se sabe que:

Entonces:

π₁ − π₂ = 0.40 − 0.32 = 0.08

n₁ = n₂ = n

Se tiene que:

Además:

Se solicita calcular n, tal que: P(p₁ − p₂ ≥ 0.05) = 0.63

Por lo tanto:

MISCELÁNEA DE PROBLEMAS

21. Con el objetivo de realizar un estudio, el Ministerio de la Producción revisó resultados anteriores donde se apreciaba lo siguiente: el tamaño de las truchas pescadas para consumo humano por parte de la pesca formal en el departamento de Junín presenta una distribución normal con una media de 26 cm y una desviación estándar de 2 cm.

a) Defina la variable de análisis asociada al presente caso.

X: Tamaño, en cm, de las truchas pescadas para consumo humano por parte de la pesca formal en el departamento de Junín.

b) Se desea analizar una muestra conformada por 26 truchas obtenidas por los pescadores formales, determine la probabilidad de que la desviación estándar de la muestra sea menor que 2.4 cm.

σ = 2 cm, n = 26

Se sabe que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(S ≤ 2.4)

c) Se desea analizar otra muestra conformada por 32 truchas, determine la probabilidad de que el promedio muestral difiera de la media poblacional en menos de 0.5 cm.

μ = 26 cm, S = 2 cm, n = 32

Se sabe que:

Luego, la probabilidad solicitada es:

d) Escenario A. Uno de los resultados obtenidos en un estudio anterior se encontraba relacionado al número de infracciones leves que se han detectado a los pescadores formales durante inspecciones sorpresa en un determinado mes. Sobre la base de dichos resultados se elaboró la siguiente tabla de probabilidades:

Para el siguiente mes se han programado inspecciones sorpresa dirigidas a 44 pescadores formales seleccionados al azar. Determine la probabilidad de que la media muestral del número de infracciones leves sea menor que 1.5.

Media:

μ = 0(0.04) + 1(0.60) + 2(0.30) + 3(0.06) = 1.38 infracciones

Varianza: σ² = E(X²) - [E(X)]²

σ² = [0²(0.04) + 1²(0.60) + 2²(0.30) + 3²(0.06)] - (1.38)²

σ² = 0.4356 infracciones²

Aplicando el teorema central del límite: ∼ N(1.38;0.0995²)

Luego, la probabilidad solicitada es: P( ≤ 1.5) = 0.8861

e) Escenario B. Otro resultado señalaba que el tiempo diario que los pescadores formales dedican a realizar sus actividades de pesca presenta una distribución uniforme de entre 240 y 320 minutos. Si se seleccionan al azar a 48 pescadores, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo total acumulado a las labores de pesca sea de por lo menos 230 horas?

X: Tiempo dedicado a las actividades de pesca por parte de los pescadores formales

X ∼ Uniforme (240;320)

Media:

Varianza:

Aplicando el teorema central del límite: ∼ N(280;3.333²) Luego, la probabilidad solicitada es:

f) Escenario C. Se ha determinado que el 70 % de las ocasiones, los pescadores tienen una demanda que supera la pesca realizada. Para los próximos días se seleccionarán a 84 ocasiones de venta de los pescadores, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción muestral difiera en por lo menos 0.08 de la proporción poblacional?

Solución

X: Número de ocasiones de venta, de las 84 seleccionadas, en que la demanda supera la pesca realizada.

Se tiene que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(p − π |≥ 0.08)

P(|p − π |≥ 0.08) = P(|p − 0.7|≥ 0.08) = P(|p − 0.7 ≤ -0.08) + P(|p − 0.7 ≥ 0.08) = P(p ≤ 0.62) + P(p ≥ 0.78) = 0.0548 + 0.0548 = 0.1096

22. Un regidor del distrito de Santiago de Surco se encuentra analizando diversos aspectos de la atención en plataforma, para lo cual se debe tener en cuenta lo siguiente:

• El tiempo transcurrido entre las inscripciones de bodas civiles no presenta una distribución normal.

• El tiempo de atención en la sección de tributos prediales presenta una distribución normal con una media 450 segundos y se estimó una varianza muestral S² = 1800 seg².

• De acuerdo a los registros municipales se ha determinado que 2 de cada 5 solicitudes de licencias de funcionamiento son aprobadas en primera instancia.

a) Se ha señalado que el tiempo transcurrido entre inscripciones de bodas civiles presenta una distribución exponencial con media 2.4 horas. En base a una muestra de 36 bodas civiles, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral del tiempo transcurrido entre cada una de dichas inscripciones sea de a lo más 3.2 horas?

Solución

X: Tiempo, en horas, transcurrido entre la inscripción de bodas civiles

X ~ Exp(2.4)

Media: μ = E(X) = α = 2.4 horas

Varianza: σ² = V(X) = 2.4² horas²

Aplicando el teorema central del límite: ∼ N(2.4; 0.4)²)

Luego, la probabilidad solicitada es: P( ≤ 3.2)

P( ≤ 3.2) = 0.9772

b) Se seleccionará una muestra de 50 usuarios atendidos en la sección de tributos prediales, calcule la probabilidad de que la media muestral de los tiempos de atención de los mencionados usuarios difiera a lo más en 10 segundos de su media poblacional.

Solución

: Media muestral del tiempo de atención (seg) de los usuarios en la sección de tributos prediales

μ = 450 seg, S² = 1800 seg², n = 50

Se sabe que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(| − μ| ≤ 10)

c) Después de un proceso de simplificación administrativa se determinó una nueva desviación estándar poblacional para el tiempo de atención en la sección de tributos prediales. Si se seleccionan 25 usuarios que son atendidos en la sección de tributos prediales, calcule la probabilidad de que la varianza muestral sea inferior o por lo menos 1.5 veces mayor a su varianza poblacional.

Solución

X: Tiempo de atención (en seg) de los usuarios en la sección de tributos prediales

n = 25

Se sabe que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(S² < σ²) + P(S² ≥ (1.5)σ²)

d) Se ha determinado que si se selecciona una muestra aleatoria de n solicitudes de licencias de funcionamiento, entonces la probabilidad de que la proporción muestral de las solicitudes aprobadas en primera instancia difiera de la proporción poblacional en a lo más 0.04 es de 0.6827. Determine el valor de n.

Solución

p : Proporción muestral de solicitudes de licencias que son aprobadas en primera instancia

Se sabe que:

Luego,

Se solicita calcular n, tal que: P(| p – π | ≤ 0.04) = 0.6827

Para hallar la probabilidad, mediante el gráfico de probabilidad, se usará la probabilidad de las colas simétricas (1 – 0.6827 = 0.3173) y no la del cuerpo central.

Por lo tanto:

f) Escenario A. De los registros se ha determinado que los tiempos de atención a las solicitudes de licencias de funcionamiento, en horas de procesamiento administrativo, de solicitudes realizadas en la oficina principal (P) o en la oficina descentralizada (D), se distribuyen normalmente con varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales. Se dispone de la siguiente información de interés:

μ_P = 38.4 h, S_P = 4.8h, m_D = 40.0h, s_D = 4.4

Se han seleccionado muestras aleatorias de 40 y 39 solicitudes de licencias de funcionamiento en la oficina principal y en la descentralizada, respectivamente, y se ha calculado una probabilidad de 0.06 de que la media muestral del tiempo de atención a las solicitudes en la oficina principal supere a la media muestral de la oficina descentralizada en por lo menos k horas. ¿Cuál es el valor de k?

Solución

: Media muestral del tiempo (horas) de atención a las solicitudes de licencias de funcionamiento en la oficina principal.

μ_P = 38.4 h, S_P = 4.8 h, n_P = 40

D: Media muestral del tiempo (horas) de atención a las solicitudes de licencias de funcionamiento en la oficina descentralizada.

μ_D = 40.0 h, S_D = 4.4 h, n_D = 39

Se sabe que:

Entonces: = μ_P − μ_D 38.4 – 40.0 = – 1.6

Se tiene que:

El valor de k solicitado verifica la siguiente relación: P(₁ − ₂ ≥ k) = 0.06

f) Escenario B. En la oficina principal se ha determinado que el 20 % de las atenciones en plataforma corresponden a los vecinos de la Zona 01 del distrito, mientras que en la oficina descentralizada el 32 % de las atenciones corresponden a los vecinos de dicha zona. Si se seleccionan al azar muestras de 38 y 42 atenciones realizadas en la oficina principal y la descentralizada, respectivamente, determine la probabilidad de que la proporción muestral de las atenciones correspondientes a los vecinos de la Zona 01 en la oficina principal supere en a lo más 0.05 a la proporción muestral de las atenciones correspondientes a los vecinos de la Zona 01 en la oficina descentralizada.

Solución

p₁: Proporción muestral de las atenciones correspondientes a los vecinos de la Zona 01 del distrito (oficina principal) π₁ = 0.20, n₁ = 38

p₂: Proporción muestral de las atenciones correspondientes a los vecinos de la Zona 01 del distrito (oficina descentralizada). π₂ = 0.32, n₂ = 42

Se sabe que:

Entonces:

π₁ − π₂ = 0.20 − 0.32 = −0.12

Calcular:

P(0 ≤ p₁ − p₂ ≤ 0.05) = 0.06811

23. Una revista orientada al público joven se encuentra realizando un estudio sobre el uso de los smartphones y tablets para conectarse a Internet, por parte de los jóvenes de Lima metropolitana que poseen dichos dispositivos. Se había determinado que el tiempo de uso diario de los smartphones presenta una distribución normal con media μ₁ = 108 min y σ₁ = 16 min, mientras que el tiempo de uso diario de las tablets presenta una distribución normal con μ₂ = 115 min y σ₂ = 21 min.

a) Si se seleccionan dos muestras aleatorias de 32 y 35 jóvenes que poseen smartphones y tablets, respectivamente, calcule la probabilidad de que la media muestral del tiempo de uso diario de los smartphones sea inferior a la media muestral del tiempo de uso diario de las tablets.

Solución

₁: Media muestral del tiempo (min) de uso diario de los smartphones para conectarse a Internet. μ₁ = 108 min, σ₁ = 16 min, n₁ = 32

₂: Media muestral del tiempo (min) de uso diario de las tablets para conectarse a Internet. μ₂ = 115 min, σ₂ = 21 min, n₂ = 35

Se sabe que:

Se tiene que

Luego, la probabilidad solicitada es: P(₁ − ₂ ≤ 0) = 0.9385

b) Escenario A. La cantidad de música, en gigabytes (GB), almacenada en los smartphones por parte de los jóvenes de 15 a 19 años, y de los jóvenes de 20 a 24 años, presentan distribuciones normales con medias μ₁ = 3.60 y μ₂ = 3.35, respectivamente. Las varianzas poblacionales se desconocen pero se han estimado: y . Si se selecciona 2 muestras aleatorias de 42 y 38 jóvenes de 15 a 19, y de 20 a 24 años, respectivamente, calcule la probabilidad de que la media muestral de la cantidad de música almacenada en los smartphones por parte de los jóvenes de 15 a 19 años supere entre 0.50 y 0.75 GB la música almacenada por los jóvenes de 20 a 24 años. Suponga varianzas poblacionales homogéneas.

Solución

₁: Media muestral de la cantidad (GB) de música almacenada en smartphones por parte de los jóvenes de 15–19 años μ₁ = 3.60 GB, S₁ = 0.8 GB, n₁ = 42

₂: Media muestral de la cantidad (GB) de música almacenada en smartphones por parte de los jóvenes de 20–24 años μ₂ = 3.35 GB, S₂ = 0.6 GB, n₂ = 38

Se sabe que:

Entonces:

Se tiene que:

Luego, la probabilidad solicitada es:

c) Escenario B. Se ha determinado que de los jóvenes de 20 a 24 años el 32 % poseen smartphones de última generación; mientras que de los jóvenes de 15 a 19 años el 25 % poseen smartphones de última generación. Si se selecciona 2 muestras aleatorias de 37 y 32 jóvenes de 20 a 24 y 15 a 19 años, respectivamente, calcule la probabilidad de que la diferencia de proporciones muestrales de jóvenes de 20 a 24 años y de 15 a 19 años que poseen smartphones de última generación difiera en a lo más 0.10 de la correspondiente diferencia de proporciones poblacionales.

Solución

p₁ : Proporción muestral de jóvenes de 20 a 24 años que poseen smartphones de última generación π₁ = 0.32, n₁ = 37

p₂: Proporción muestral de jóvenes de 15 a 19 años que poseen smartphones de última generación π₂ = 0.25, n₂ = 32

Se sabe que:

Entonces:

Se tiene que: (p₁ − p₂) ∼ N(0.07;0.10835²)

Luego, la probabilidad solicitada es: P(|(p₁ − p₂) – (π₁ – π₁) |≤ 0.1)

24. El Departamento de Sistemas de una empresa consultora desea comparar dos paquetes de software para el procesamiento de proyectos de Data Mining. Estos proyectos requieren del manejo de un gran volumen de datos, cuyo procesamiento consume gran cantidad de tiempo, dependiendo del volumen de los datos. Suponga que el tiempo de procesamiento de un proyecto de Data Mining estándar empleado por el software A es una variable aleatoria normal con media 54 minutos y desviación estándar 3 minutos, mientras que con el software B el tiempo de procesamiento tiene una distribución normal con media 52 minutos y desviación estándar 4 minutos. El ingeniero encargado de la evaluación de los paquetes de software ejecutará 21 veces el software A y 13 veces el software B.

a) Calcule la probabilidad de que la desviación estándar muestral de los tiempos de procesamiento obtenidos con el software A sea menor que la desviación estándar muestral obtenida con el software B.

Solución

X₁: Tiempo de procesamiento, minutos, aplicando el software A

μ₁ = 54 min, S₁ = 3 min, n₁ = 21

X₁: Tiempo de procesamiento, minutos, aplicando el software B.

μ₂ = 52 min, S₂ = 4 min, n₂ = 13

Se sabe que:

Se tiene que:

Se solicita calcular: P(S₁ < S₂)

b) Escenario A. Otro de los aspectos de evaluación se refiere al tiempo necesario para la adecuación de los datos al formato de ingreso en los mencionados paquetes de software. Para esta evaluación se ha decidido adecuar bases de datos de por lo menos 5000 registros y 20 columnas. Se sabe lo siguiente: el tiempo de adecuación de los datos para el ingreso en el software A presenta una distribución normal con media 172 seg y con una varianza desconocida pero estimada en 64 seg²; mientras que el tiempo de adecuación de los datos para el ingreso en el software B presenta una distribución normal con media 175 seg y con una varianza desconocida pero estimada en 100 seg². Si se realizan pruebas con 32 y 35 bases de datos para el software A y B, respectivamente, determine la probabilidad de que la media muestral del tiempo de adecuación de datos para el software A supere a la media muestral del software B en a lo más 1 segundo. Suponga que las varianzas poblacionales son homogéneas.

Solución

₁ : Media muestral del tiempo (en seg) de adecuación de datos para software A μ₁ = 172 seg, S₁ = 8 seg, n₁ = 32

₂ : Media muestral del tiempo (en seg) de adecuación de datos para software B

μ₂ = 175 seg, S₂ = 10 seg, n₂ = 35

Se sabe que:

Entonces:

Se tiene que:

Luego, la probabilidad solicitada es:

c) Escenario B. Uno de los encargados del manejo de bases de datos ha determinado que las principales inconsistencias registradas en las bases de datos son:

• A: categorías de los atributos escritas de distinta forma y por lo tanto reconocidas como categorías diferentes.

• B: unidades de medida registradas en diferentes unidades a la establecida, lo cual genera errores en las proyecciones de venta.

Se determinó que el 2 % y 3 % de los registros presentan la inconsistencia tipo A y tipo B, respectivamente. Se realizará una revisión automatizada de 200 y 240 registros para la búsqueda de inconsistencias tipo A y tipo B, respectivamente. Determine la probabilidad de que la diferencia de las proporciones muestrales de registros con inconsistencias tipo A y B difiera en a lo más el 0.5 % con respecto a la diferencia de las proporciones poblacionales correspondientes.

Solución

p₁: Proporción muestral de registros que presentan la inconsistencia tipo A

π₁ = 0.02, n₁ = 200

p₂: Proporción muestral de registros que presentan la inconsistencia tipo B

π₂ = 0.03, n₂ = 240

Se sabe que:

μ_{(p1 − p2)} = π₁ - π₂ = 0.02 – 0.03 = – 0.01

Luego, la probabilidad solicitada es: P(|(p₁ − p₂) − (π₁ − π₂) |≤ 0.005)

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. En un distrito del cono este de Lima se viene desarrollando con mucho éxito la Escuela Municipal de Fútbol (EMF). Dicha escuela brinda entrenamiento a niños y adolescentes en 3 rangos de edades (categorías) en 2 turnos. En cada categoría y en cada turno se encuentran inscritos 40 participantes. El regidor encargado de las actividades deportivas y culturales ha pedido a uno de los practicantes de su despacho que realice una encuesta piloto para conocer diversos aspectos de los participantes y la percepción de estos sobre el desarrollo de los entrenamientos. A continuación se presenta un extracto del informe:

En base a una muestra piloto de los niños y adolescentes participantes de la Escuela Municipal de Fútbol, donde se encuestó a 1 de cada 8 participantes y se seleccionaron igual cantidad de participantes por cada una de las categorías, se obtuvieron los siguientes resultados:

i. El 75 % de los participantes se encuentra entre satisfecho y muy satisfecho con el entrenamiento recibido.

ii. El 40 % de los participantes de la categoría C (los de más edad) se encuentran preparándose o recién han ingresado a institutos o universidades.

iii. Los hogares de más del 80 % de los participantes se encuentran compuestos por 5 a más miembros.

De acuerdo a lo descrito en el presente caso, responda a las siguientes preguntas:

a) Defina y clasifique cada una de las características que se aprecian en el informe.

b) ¿Sería correcto señalar que 15 participantes formaron parte de la encuesta piloto?

c) ¿Qué tipo de muestreo se ha realizado? Justifique.

d) ¿Cuántos participantes de la categoría C se encuentran preparándose o recién han ingresado a institutos o universidades?

2. En un coliseo donde se desarrolla un evento deportivo se realizará una encuesta. Dicho coliseo posee 4 tribunas (2 tribunas pequeñas y 2 tribunas grandes) y cada tribuna tiene una zona baja y una zona alta; en cada tribuna pequeña se seleccionarán a 12 y 20 espectadores en la zona baja y la zona alta, respectivamente, mientras que en cada tribuna grande se seleccionará al doble de espectadores por cada zona.

a) ¿Cuántos espectadores serán seleccionados en total en las tribunas grandes?

b) Si se ha señalado que de cada 75 espectadores se seleccionarán a 3 para que formen parte del estudio, ¿cuántos espectadores habrán asistido al coliseo?

c) Si en cada zona de cada tribuna se seleccionará al primer espectador, y luego de determinada cantidad de espectadores que hayan ingresado se seleccionará al segundo, y así hasta completar la muestra, ¿qué tipo de muestreo se está realizando? Justifique.

d) Escenario: En base al estudio se desea determinar el motivo de asistencia al evento deportivo, el número de personas con las que ha asistido y el grado de afición por los eventos deportivos. Por ejemplo, un espectador encuestado ha señalado lo siguiente: ha asistido para acompañar a un amigo/familiar; ha asistido acompañado de 5 personas y tiene un grado medio de afición. Defina detallada y adecuadamente cada una de las características del estudio e indique el tipo de variable.

3. Un karaoke dispone de dos áreas de atención al público: área general y área privada; en base a registros se ha determinado que el monto de consumo grupal en cada una de las áreas presenta distribución normal, tal como se especifica a continuación:

• Los montos de consumo grupal en el área general presenta una media de S/. 200 y una desviación estándar poblacional de S/. 33.

• Los montos de consumo grupal en el área privada presentan una media de S/. 240 y una desviación estándar poblacional desconocida pero estimada en S/. 40.

a) Suponga que se extrae una muestra de 32 grupos atendidos en el área general, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral del monto de consumo de los 32 grupos supere a la media poblacional en a lo más S/. 10?

b) Si se ha obtenido una probabilidad de 0.05 de que la media muestral de una determinada cantidad de grupos (n) atendidos en el área general sea de por lo menos S/. 209, ¿cuál fue la cantidad de grupos seleccionados?

c) Se ha seleccionado a 45 grupos atendidos en el área privada, ¿cuál es la probabilidad de que en total los 45 grupos hayan presentado un consumo de por lo menos S/. 11 000?

d) Se extrae una muestra de 60 grupos atendidos en el área privada, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral del monto de consumo difiera de la media poblacional en a lo más S/. 10?

4. En una tienda de helados se ha determinado que el tiempo entre llegadas de los clientes que adquieren un helado especial (oferta exclusiva de la tienda) es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con media 9 min. Suponga que se selecciona una muestra de 36 clientes que adquirirán un helado especial.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total (acumulado) de los tiempos entre llegadas de los 36 clientes supere los 420 min?

b) En base a la misma muestra de 36 clientes que han adquirido un helado especial, se ha calculado una probabilidad de 0.85 de que la media muestral del tiempo entre llegadas de los clientes difiera en a lo más k minutos de la media poblacional, ¿cuál es el valor de k ?

5. X-Cater es una empresa que se dedica a brindar el servicio de catering y organización de eventos; en un estudio anterior se determinó que el número de clientes potenciales que se apersonan o realizan llamadas para consultar por los servicios brindados presenta una distribución de Poisson con una media de 8 personas por día.

a) Durante los próximos 32 días, considerados como una muestra, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral, del número diario de personas interesadas en el servicio de catering, sea de por lo menos 9 personas?

b) ¿Cuántos días se deberían considerar como muestra tal que exista una probabilidad de 0.08 de que la media muestral del número diario de personas interesadas en el servicio de catering difiera de la media poblacional en por lo menos 0.7 personas?

6. Una empresa de telecomunicaciones se encuentra probando la tecnología 4G en su transmisión de señal WiFi en una zona rural. De acuerdo a las pruebas realizadas con la antena transmisora se ha determinado que la velocidad de acceso en la unidad receptora móvil presenta una distribución normal con media 112 Mbps (Mbits/seg) y una desviación estándar poblacional de 3.6 Mbps.

a) En una muestra de 64 segundos de medición, calcule la probabilidad de que la media muestral supere los 112.5 Mbps.

b) Si se mide la velocidad de acceso durante 50 segundos en la unidad receptora móvil, se determina que existe una probabilidad de 0.10 de que la velocidad de acceso promedio sea de por lo menos k Mbps. Determine el valor de k.

7. En una empresa que se dedica a la producción de motos se estableció lo siguiente en relación con sus operarios encargados del ensamble de los motores de alta cilindrada: el tiempo de ensamblaje se distribuye normalmente con una media de 16 minutos y una varianza de 0.36 minutos². Si se elige aleatoriamente 25 motores que para ser ensamblados.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral del tiempo de ensamblaje sea a lo más de 15.75 minutos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral del tiempo de ensamblaje difiera a lo más en 0.2 minutos del valor de su media poblacional?

c) Si la varianza poblacional no era la señalada sino que era distinta tal que la varianza de la media muestral del tiempo de ensamblaje es de 0.0256 min², ¿cuál era la verdadera varianza poblacional del tiempo de ensamblaje?

d) Escenario: ¿cuántos motores deberían de seleccionarse tal que se tenga una probabilidad de 0.045 de que la media muestral del tiempo de ensamblaje sea de por lo menos 16.15 minutos?

8. En una pequeña tienda de artesanías se ha determinado que el monto de compra de sus clientes se distribuye normalmente con una media de S/. 168 y una varianza desconocida pero que se ha estimado en 56.25 soles². Si se elige aleatoriamente a 28 clientes:

a) Halle la probabilidad de que la media muestral del monto de compras de los clientes sea como mínimo de S/. 170.

b) Calcule la probabilidad de que el monto total de compras de los clientes seleccionados sea menor a S/. 4690.

c) Se ha señalado que existe una probabilidad de 0.95 de que la media muestral del monto de compras de los clientes sea de a lo más k soles, determine el valor de k.

9. El encargado del acondicionamiento físico de los clientes de un gimnasio ha señalado que el índice de masa corporal¹ (IMC) —medida de asociación entre el peso y la talla de un individuo— de los participantes se distribuye normalmente con una media de 23.5 (kg/m²)² y una varianza poblacional desconocida pero estimada en 0.72 (kg/m²)².

a) Si se selecciona una muestra de 32 clientes del gimnasio, calcule la probabilidad de que la media muestral del IMC de los participantes difiera en por lo menos 0.24 kg/m² de la media poblacional.

b) Se determinó que se debería trabajar con una nueva estimación de la varianza, y al considerar esa nueva estimación y una muestra de 36 clientes, se determinó que existe una probabilidad de 0.4287 de que la media muestral del IMC supere en a lo más 0.21 (kg/m²)² a la media poblacional correspondiente, ¿cuál es el valor de la varianza estimada?

10. En relación con el incremento de las remuneraciones experimentadas por los ejecutivos que participaron en una capacitación se determinó que dichos incrementos presentan una distribución normal con media S/. 800 y una desviación estándar de S/. 180.

a) Si se selecciona una muestra de 37 ejecutivos que participaron en la mencionada capacitación, ¿cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea de a lo más 40 000 soles²?

b) Si se selecciona una muestra de 46 ejecutivos que participaron en dicha capacitación, calcule la probabilidad de que la desviación estándar muestral relacionada con el incremento de las remuneraciones se encuentre entre 1 y 1.20 veces mayor a la desviación estándar poblacional.

11. Un nutricionista ha obtenido un informe donde se señala que la ingesta calórica diaria de las personas de 20 a 30 años presenta una distribución normal con media 2500 calorías, y que el 10 % de ellos ingiere más de 2630 calorías.

a) Si se selecciona una muestra de 28 participantes, calcule la probabilidad de que la varianza muestral de la ingesta de calorías diaria sea entre 1.44 y 2.25 veces mayor a la varianza poblacional.

b) Calcule el valor de la desviación estándar poblacional de la ingesta calórica diaria de las personas de 20 a 30 años y determine los valores de a y b, tal que P(a ≤ S ≤ b) = 0.80. Considerar el mismo tamaño del ítem a.

Nota. a y b determinan el 80 % de la parte central de la distribución.

12. En una feria tecnológica se ha determinado que el 60 % de los asistentes concurrieron al área de domótica (conjunto de sistemas para automatizar una vivienda).

a) Si se selecciona una muestra de 80 asistentes, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de asistentes que concurrieron al área de domótica sea de por lo menos 0.65?

b) Determine la cantidad de asistentes que se deberían seleccionar, de tal forma que la proporción muestral de asistentes que concurrieron al área de domótica sea de a lo más 0.70, con una probabilidad de 0.99.

13. En un estudio se señaló que el 25 % de los ingenieros industriales y de sistemas participaron, durante el último año, en alguna actividad de investigación tecnológica propiciada por la empresa donde labora.

a) Si se seleccionan a 62 ingenieros, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de ingenieros que participaron en una actividad de investigación tecnológica, durante el último año, difiera de su proporción poblacional en a lo más 0.10?

b) Si se seleccionan al azar a 75 ingenieros, calcule la probabilidad de que por lo menos 20 de ellos hayan participado en alguna actividad de investigación tecnológica durante el último año.

14. Una empresa proveedora de servicios de telecomunicación (telefonía fija y móvil, televisión por cable e Internet) tiene a disposición de sus clientes centros de atención en los cuales ha determinado que el tiempo de atención de los clientes que solicitan un servicio de telefonía fija presenta una distribución normal con media μ₁ = 18 min y σ₁ = 2.5 min, mientras que el tiempo de atención de los clientes que solicitan un paquete dúo 01 (telefonía fija + Internet) presenta una distribución normal con μ₂ = 19.5 min y μ₂ = 3.5 min. Si en el centro de atención se selecciona una muestra aleatoria de 32 y 30 clientes que solicitan servicios de telefonía fija y paquetes dúo 01, respectivamente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral del tiempo de atención de los clientes que solicitan un servicio de telefonía fija sea superior a la media muestral del tiempo de atención de los clientes que solicitan un paquete dúo 01?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente diferencia: media muestral del tiempo de atención de los clientes que solicitan un servicio de telefonía fija menos la media muestral de los clientes que solicitan un paquete dúo 01, difiera de la respectiva diferencia de medias poblacionales en a lo más 1 minuto?

15. Finno es una empresa que se dedica a la producción y comercialización de helados de crema en diversas presentaciones y sabores. La producción por hora de helados de vainilla en las plantas de producción A y B presentan distribuciones normales con medias μA = 2000 y μ_B = 1980 litros. Las varianzas poblacionales se desconocen pero se han estimado en y . En las plantas A y B se seleccionarán los registros de 28 y 32 horas de producción, respectivamente.

a) Determine la probabilidad de que la media muestral de la producción por hora de los helados de vainilla en la Planta A sea menor a la de la Planta B. Suponga varianzas poblacionales homogéneas.

b) Determine la probabilidad de que la media muestral de la producción por hora de los helados de vainilla en la Planta A sea mayor a la de la Planta B en por lo menos 30 litros. Suponga varianzas poblacionales heterogéneas.

16. Una empresa automovilística se encuentra realizando pruebas a 2 motores de características similares: modelos A y B. El par motor (torque), en Newton metro (Nm), de los motores modelo A y B presentan distribuciones normales con medias μ_A = 198 Nm y μ_B = 184 Nm. Las varianzas poblacionales se desconocen pero se han estimado tal como se presenta a continuación: , y .

a) Si se seleccionan muestras aleatorias de 36 y 40 motores modelos A y B, respectivamente, determine la probabilidad de que la media muestral del par motor de los motores modelo A difiera de los motores modelo B en a lo más 0.5 Nm. Suponga varianzas poblacionales homogéneas.

b) Si se selecciona una muestra aleatoria de 36 y 40 motores modelos A y B, respectivamente, determine la probabilidad de que la media muestral del par motor de los motores modelo A difiera de los motores modelo B en por lo menos 1 Nm. Suponga varianzas poblacionales heterogéneas.

17. Según las autoridades, el 40 % de los choferes de servicio público urbano son propietarios de sus vehículos mientras que el 28 % de los choferes de servicio de taxi son propietarios de sus vehículos. Suponga que se seleccionan 64 choferes de servicio público urbano y 56 choferes de servicio de taxi.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de los choferes de servicio público urbano que son propietarios de sus vehículos sea mayor a la proporción muestral de choferes de servicio de taxi que son propietarios de sus vehículos?

b) Se ha señalado que existe una probabilidad de 0.8246 de que la diferencia de proporciones muestrales difiera de la diferencia de proporciones poblacionales en a lo más k, ¿cuál es el valor de k ?

18. Se ha determinado que de los jóvenes de 20 a 24 años el 32 % poseen smartphones de gama alta; mientras que de los jóvenes de 15 a 19 años el 25 % poseen smartphones de gama alta. Si se seleccionan 2 muestras aleatorias de 37 y 32 jóvenes de 20 a 24 y de 15 a 19 años, respectivamente.

a) Calcule la probabilidad de que la proporción muestral de jóvenes de 20 a 24 años que poseen smartphones de gama alta difiera en a lo más 0.10 de la proporción muestral de jóvenes de 15 a 19 años que poseen smartphones de gama alta.

b) Calcule la probabilidad de que la diferencia de la proporción muestral de jóvenes de 20 a 24 años que poseen smartphones y de la proporción muestral de jóvenes de 15 a 19 años que poseen smartphones de gama alta difiera en a lo más 0.10 de la correspondiente diferencia de proporciones poblacionales.

19. El gerente de operaciones de una empresa recicladora realizará un estudio para analizar la relación entre las variabilidades de la cantidad de plástico PET en toneladas métricas (TM) reciclada diariamente en sus 2 plantas de reciclaje, para lo cual se ha determinado lo siguiente:

Cantidad de plástico PET reciclado diariamente en la planta A y la planta B se distribuye normalmente con σ_A = 0.8 TM y σ_B = 1.5 TM, respectivamente. Para el estudio se seleccionarán dos muestras aleatorias de tamaño 12 y 16 días de operaciones en las plantas A y B, respectivamente.

a) Determine la probabilidad de que la varianza muestral de la cantidad reciclada de plástico PET en la planta A sea mayor pero a lo más el doble de la varianza muestral de la planta B.

b) Si se ha determinado una probabilidad de 0.95 de que la razón de varianzas muestrales no exceda al valor k, ¿cuál es el valor de k?

20. Un empresario que se dedica al cultivo de cacao ha determinado lo siguiente en relación a sus árboles de cacao:

Si se seleccionaran dos muestras aleatorias de tamaño de 15 y 20 árboles de cacao tipo A y tipo B, respectivamente.

a) ¿Cuál sería la probabilidad de que la desviación estándar muestral de la producción de semillas secas de los árboles tipo A sea a lo más la desviación estándar de los árboles tipo B?

b) Se ha determinado que existe una probabilidad de 0.01 de que la varianza muestral de la producción de semillas secas de los árboles tipo A exceda en k veces la varianza muestral de los árboles tipo B. Determine el valor de k.

Capítulo

2 Estimación de parámetros

La estimación de parámetros es un instrumento muy útil en la investigación científica, en la formulación de políticas públicas y en la toma de decisiones en los diferentes campos del quehacer profesional. Por ejemplo, los ingenieros y los jefes de plantas pueden desear estimar el porcentaje de artículos defectuosos de una línea de ensamblaje, el número de horas inoperativas de las máquinas y muchos otros problemas asociados a la industria.

Conocimientos previos

Estadística básica, medidas de posición y dispersión, probabilidades, distribuciones muestrales

Secciones

1. Definición

2. Propiedades de un buen estimador puntual

3. Métodos de obtención de estimadores puntuales

4. Estimación por intervalos

5. Problemas resueltos

6. Problemas propuestos

Sabes

Capacidades adquiridas

Saber representar información a través de tablas y gráficos

Calcular medidas de posición y de dispersión

Conocer las propiedades y los teoremas acerca de las probabilidades

Calcular probabilidades de distribuciones usando el software Minitab

Piensas

Competencias por lograr

Verificar las propiedades de un buen estimador puntual

Obtener en base a una muestra aleatoria la expresión de un estimador puntual

Calcular en base a una muestra aleatoria el valor de la estimación de un parámetro

Construir, utilizando información de una muestra aleatoria, intervalos de confianza para uno y dos parámetros

Haces

Habilidades por desarrollar

Determinar tamaños de muestra óptimos para construir intervalos de confianza para μ y π

Resolver casos reales utilizando intervalos de confianza en base a uno o dos parámetros

1. DEFINICIÓN

La estimación es un procedimiento que consiste en encontrar un valor a partir de una muestra que represente una buena aproximación del valor desconocido de un parámetro θ. En la práctica, se supone que la variable aleatoria X, proveniente de una población, tiene una determinada distribución de probabilidad, luego se toma una muestra (o muestras) de n observaciones y con los datos de la muestra se procede a estimar los parámetros de dicha población.

Esta estimación puede estar dada por un único valor experimental obtenido a partir de la muestra y se denomina estimación puntual; o puede estar dada por un conjunto de valores que constituyen un intervalo experimental, cuyos extremos son obtenidos a partir de la muestra; se espera que dicho intervalo contenga el verdadero valor del parámetro con cierto grado de seguridad o confianza medido en términos de probabilidad; a esta se le denomina estimación por intervalos de confianza.

2. PROPIEDADES DE UN BUEN ESTIMADOR PUNTUAL

Un buen estimador puntual debe poseer las siguientes propiedades: insesgabilidad, consistencia, suficiencia y eficiencia.

2.1 Insesgabilidad

Se dice que un estimador de un parámetro desconocido θ es insesgado si:

Ejemplo 1

La proporción muestral p es un estimador insesgado de π, ya que: E(p) = π

Ejemplo 2

La varianza muestral es un estimador insesgado de la varianza poblacional σ².

En efecto:

Si por lo tanto, la variable:

tiene como y aplicando propiedades de valor esperado se tiene:

Nota. Si un estimador de un parámetro desconocido θ es sesgado , se dice que es asintóticamente insesgado si satisface el siguiente límite:

Ejemplo 3

es un estimador sesgado de σ², pues . Pero: ; por lo tanto, es un estimador asintóticamente insesgado de σ².

2.2 Consistencia

Se dice que un estimador de un parámetro desconocido θ es consistente si satisface el siguiente límite: . Es decir, se dice que un estimador es consistente si a medida que el tamaño n de la muestra aumenta, la probabilidad de que el estimador sea igual al parámetro θ tiende a la unidad.

Una manera de verificar la consistencia es probar que:

Ejemplo 4

Sea X una variable aleatoria que tiene una función de densidad (probabilidad) f (x), con E(x) = μ y V(X) = σ². Si de esta población se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n; entonces, (media muestral) es un estimador consistente de μ.

Solución

En efecto, como ; entonces,

Por consiguiente, es un estimador consistente de μ.

2.3 Suficiencia

Un estimador de un parámetro desconocido θ es suficiente si a medida que el tamaño de muestra n aumenta; es decir, tiende hacia el tamaño de la población (n → N), entonces proporciona una mayor información de la población. Por ejemplo, la media muestral (), al tomar en su cálculo a todos los valores de la muestra, es un estimador suficiente de μ; en tanto la mediana y la moda no lo son.

2.4 Eficiencia

Sean y dos estimadores diferentes, (ambos insesgados), de un parámetro desconocido con varianzas V() y V(), respectivamente. Si V() < V(), entonces es un estimador más eficiente que . Es decir, un estimador es eficiente si posee la menor varianza. Por ejemplo, es un estimador eficiente de μ.

Ejemplo 5

Supóngase que x₁, x₂, ..., x_n, representa una muestra aleatoria de una población para la cual E(x₁) = μ y V(x_i) = σ². Se sugiere como estimadores de μ los siguientes:

a. Determinar cuáles de los estimadores son insesgados.

Solución

Hay que calcular el valor esperado de cada estimador. En efecto:

•

•

•

•

Por lo tanto, es sesgado y todos los demás son insesgados.

b. De los estimadores insesgados obtenidos en a), ¿cuál estimador es más eficiente?

Solución

Para determinar cuál estimador es más eficiente, se debe calcular la varianza de cada uno de ellos. En efecto:

•

•

•

Al analizar los resultados se aprecia que es el mejor estimador, pues de entre los tres es el que posee menor varianza, si n es mayor que 2.

Ejemplo 6

Sea x₁, x₂, ..., x_n, una muestra aleatoria de la función de densidad (probabilidad):

f (x_i)= θx_i^θ−1 0 < x_i < 1; θ > 0.

Probar que es un estimador consistente de

Solución

Para probar que es un estimador consistente se deben verificar los siguientes límites:

Calculamos primero la media y la varianza

Donde: . Entonces:

Por lo tanto, es un estimador consistente de

3. MÉTODOS DE OBTENCIÓN DE ESTIMADORES PUNTUALES

Existen muchos métodos que permiten obtener los estimadores puntuales, entre ellos se tiene el método de momentos, de mínimos cuadrados, de máxima verosimilitud, etcétera. El método de máxima verosimilitud es el de mayor uso en estadística aplicada.

3.1 Método de momentos

Es un método sencillo para encontrar la expresión de un estimador para uno o más parámetros desconocidos.

Definición. El k-ésimo momento de una variable aleatoria X con respecto al origen se denota por μ_k y se define como: μ_k = E(X^k). Por ejemplo:

μ₁ = E(X) = μ₂ = E(X²) = σ² + θ².

Definición. El k-ésimo momento de una muestra aleatoria de tamaño n con respecto al origen se denota por m_k y se define como: . Por ejemplo:

Procedimiento. Elegir como estimadores a aquellas expresiones de los parámetros que son soluciones de las ecuaciones:

μ_k = m_k; para k = 1, 2, ..., a, donde a es el número de parámetros por estimar.

Nota. Para aplicar el método se deben identificar los parámetros de la población de interés.

Ejemplo 7

Sea x₁, x₂, ..., x_n, una muestra aleatoria seleccionada de una población exponencial de parámetro β. Obtenga un estimador para β por el método de los momentos.

Solución

Como solo hay un parámetro de interés, entonces la solución se halla a partir de: θ₁ = m₁.

Por lo tanto: θ₁ = ; pero como en una exponencial E[X] = μ = β; entonces el estimador máximo verosímil de β es: .

3.2 Método de máxima verosimilitud

El procedimiento se resume en dos pasos:

a. Determinar la función de verosimilitud, que se define como la función de probabilidad conjunta de las n observaciones de la muestra aleatoria, es decir:

Nota. L(θ) depende de θ y no de los valores x₁, x₂, ..., x_n, porque θ es desconocido.

b. Si es el estimador de θ que hace máxima a la función L(θ), se dice que θ es el estimador máximo verosímil (E.M.V) de θ, y se obtiene de la solución de

, siempre que L(θ) sea derivable. En la mayoría de las situaciones resulta más fácil hallar el máximo del logaritmo neperiano de la función de verosimilitud; esto es, el estimador máximo verosímil se obtiene de la solución de .

Ejemplo 8

Cierto tipo de componente electrónico tiene una duración X, en horas. Si esta duración tiene una distribución gamma con parámetros α = 2 y β. Al probarse cuatro de tales componentes de manera independiente, sus duraciones son: 120, 130, 132 y 128 horas. Sobre la base de esta muestra obténgase el estimador máximo verosímil de β.

Nota. Primero obténgase el estimador máximo verosímil de β mediante el uso de una muestra aleatoria de tamaño n y luego úsese este resultado para la muestra dada.

Solución

Si x_i ~ G(2, β), entonces .

Si se selecciona una muestra aleatoria x₁, x₂, ..., x_n, el estimador máximo verosímil de β basado en esta muestra es:

1. . Al aplicar el logaritmo neperiano se tiene:

2.

Luego, para n = 4, horas

Ejemplo 9

Una variable aleatoria X tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:

f (x) = (α + 1)x^α; 0 < x < 1, α > 0. Obtenga el estimador máximo verosímil de α sobre la base de una muestra aleatoria de tamaño n y luego evalúe la estimación para los siguientes valores muestrales: 0.1, 0.8, 0.27, 0.35, 0.62, 0.55, 0.45, 0.25, 0.32 y 0.60.

Solución

Como ; 0 < x_i < 1, α > 0.

Si se selecciona una muestra aleatoria x₁, x₂, ..., x_n, el estimador máximo verosímil de α basado en esta muestra es

1.

Al aplicar el logaritmo neperiano se tiene:

2.

Para el caso particular de n = 10, se tiene:

Por consiguiente, es una estimación máxima verosímil de α, esto también significa que es el valor más probable de α que ha generado la muestra aleatoria.

4. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

La estimación puntual se realiza determinando un único valor para estimar el parámetro correspondiente; pero ¿qué tan precisa es la estimación?; indudablemente, no es posible contestar este tipo de preguntas con los conocimientos adquiridos hasta este punto; por ello, es necesario introducir el concepto de estimación por intervalos, en el cual la estimación está dada por un conjunto de valores.

Por ejemplo, suponga que un supermercado tiene información de las últimas 100 semanas acerca del número de unidades de un producto que vende semanalmente y que desea conocer la demanda promedio para establecer un stock adecuado. Con esta información se calcula la media muestral en = 60; es decir, esta es una estimación puntual del valor de la demanda promedio verdadera o poblacional. Sobre la base de esta estimación, no es posible afirmar que la demanda promedio verdadera será menor de 30 o mayor de 90, por ejemplo. No es posible saberlo, porque no se ha cuantificado el error en la estimación puntual, este error se mide por la variabilidad del correspondiente estimador puntual.

Ahora, si se supone que la desviación estándar de la media muestral es 15, por el teorema central del límite (n > 30) se puede afirmar que . Además, si se distribuye aproximadamente como normal, entonces la probabilidad de que se encuentre dentro de 2 desviaciones estándar es aproximadamente 0.96. Por lo tanto: de donde: ; reemplazando la media muestral por su valor de 60 se tiene: P(30 ≤ μ ≤ 90) = 0.96.

De lo cual se puede concluir que μ 〈30; 90〉 con un 96 % de confianza, lo que indica que es posible que la demanda poblacional sea tan pequeña como 30 o tan grande como 90, si .

Pero si la desviación estándar de la media muestral es de 5 unidades, entonces se tendría: μ 〈50, 70〉 con un 96 % de confianza, y ahora es casi imposible que la media sea tan pequeña como 30 o tan grande como 90. Esto indica que la variabilidad del estimador juega un papel muy importante en la estimación.

Para entender lo que es la estimación por intervalos, se sabe que es una variable aleatoria, por lo tanto el intervalo es un intervalo aleatorio y la confianza de que este intervalo contenga al verdadero valor de μ es de 96 %. Es decir, si se extraen muestras de tamaño 100 de esta población y se reemplaza el valor de en el intervalo , entonces se espera que el 96 % de estos intervalos contengan el valor de la media poblacional μ, que es desconocida.

La estimación por intervalos de confianza tiene las siguientes ventajas sobre la estimación puntual: precisión (dada por la amplitud del intervalo), y confiabilidad, expresada en términos de probabilidad.

Definición. La estimación por intervalos consiste en encontrar, mediante una muestra aleatoria, dos valores a y b tales que: P(a ≤ θ ≤ b) = (1−α); donde θ es el parámetro por estimar y (1−α)100% se denomina nivel de confianza; a y b son los límites del intervalo de confianza que varían de una muestra a otra.

Si a y b son funciones de las observaciones para muestras de tamaño n, para una determinada muestra asumen valores específicos.

Intervalo aleatorio. Es un intervalo finito o infinito donde por lo menos uno de sus extremos es una variable aleatoria.

Ejemplos:

〈−∞; X〉, donde X es una variable aleatoria

〈X; Y〉, donde X e Y son variables aleatorias

〈Z; ∞〉, donde Z es una variable aleatoria.

Intervalo de confianza. Sea x₁, x₂,..., x_n, una muestra aleatoria extraída de una población con función de densidad f (X, θ) y sean L₁ = l₁(x₁, x₂,..., x_n) y L₂ = l₂(x₁, x₂,..., x_n) dos estadísticas tales que: L₁ < L₂.

Se dice que I = 〈L₁; L₂〉 es un intervalo de confianza para el parámetro θ con coeficiente de confianza (1−α) 100%, si θ 〈L₁; L₂〉 con una confianza del (1−α)100%.

Interpretación: si se obtuviesen 100 muestras de tamaño n de la misma población y si se calcula el intervalo para cada muestra, se espera que el (1−α)100% de estos intervalos contendría el verdadero valor del parámetro θ.

Cantidad pivotal. Sea x₁, x₂,..., x_n, una muestra aleatoria extraída de una población con función de densidad f (X, θ). Sea Q = q(x₁, x₂,..., x_n) una función de los valores muestrales y del parámetro θ. Si la distribución de probabilidad de Q no depende de θ, entonces se dice que Q es una cantidad pivotal.

Método de la cantidad pivotal para construir intervalos de confianza

Sea Q = q(x₁, x₂,..., x_n) una cantidad pivotal con función de densidad f (q). Si se supone que (1−α)100% es fijo y que existen números reales q₁ y q₂ tal que: Q 〈q₁; q₂〉 con una confianza de (1−−α)100%, entonces se desean obtener estos valores.

Si para los valores muestrales x₁, x₂,..., x_n, se puede expresar o transformar q₁ < Q q₂ en la forma: L₁ = l₂(x₁, x₂, ..., x_n) donde L₁ y L₂ son estadísticas, entonces: I = 〈L₁; L₂〉 es un intervalo de confianza para el parámetro θ con coeficiente de confianza (1−α)100%.

4.1 Intervalo de confianza para la media poblacional μ

Se desea estimar la media μ con una confianza de (1−α) para muestras de tamaño n; esto equivale a encontrar dos valores a y b tales que: μ 〈a; b〉, con una confianza del (1−α)100%. Como las distribuciones muestrales asociadas a son dos (revísese el capítulo anterior), se presentarán ambos casos.

4.1.1 Caso 1: la varianza poblacional (σ²) es conocida

Para determinar las expresiones de a y b se utilizará el procedimiento de la cantidad pivotal. Se conoce que:

i) El estimador puntual de la media poblacional μ es .

ii) La distribución muestral de este estimador es:

Por lo tanto, se utiliza la cantidad pivotal: para construir el intervalo.

Se tiene: P(−Z₀ ≤ Z ≤ Z₀) = 1 − α; reemplazando Z se obtiene:

; entonces con una confianza del (1−α)100%; y como Z₀ = Z_(1−α/2), existe una área de (1−α/2) a la izquierda del punto), se concluye que:

Donte:

Tamaño de muestra y error de estimación

Se tiene que: con una confianza de

(1−α)100%.

Resultado que proviene de . Al trabajar con la expresión dentro del paréntesis se tiene: . Si se define: : error de estimación, entonces se tiene:

de donde:

Nota. Cuando el muestreo es sin reposición y la población es finita de tamaño N, el tamaño de muestra queda definido por:

4.1.2 Caso 2: la varianza poblacional (σ²) es desconocida

En este caso, si la variable X tiene distribución normal, se utiliza la distribución t de Student con (n−1) grados de libertad y se concluye que:

con una confianza de (1−α)100 %.

Ejemplo 10

Una ONG está interesada en ofrecer capacitación en pesca industrial a los damnificados de un determinado puerto dedicados a la pesca artesanal, y desea determinar mediante un intervalo de confianza el promedio de edad que tienen los padres de familia de este puerto, de tal manera que pueda diseñar un programa de capacitación. Al tomar una muestra de 74 padres de familia encuentra que el promedio de edades es de 40.95 años.

a. Si se conoce que la desviación estándar de estas edades es de 10 años, determine el intervalo de confianza del 90 % para la media poblacional (μ) de la edad de los padres de familia.

Solución

Se debe hallar los valores de a y b tal que: μ 〈a; b〉 con una confianza del 90 %. Aplicando la fórmula que utiliza la distribución normal estándar (la varianza poblacional es conocida), se tiene:

Se puede decir que con el 90 % de confianza la edad promedio de los padres de familia se encuentra entre 39.04 y 42.86 años.

b. Si no se conoce la desviación estándar poblacional, y la muestra de 74 padres de familia proporciona S = 9.69 años, construya el intervalo de confianza de μ del 90 %.

Solución

Ahora, como σ es desconocida, se usa la distribución t para construir el intervalo que está dado por:

Con 90 % de confianza se puede afirmar que la edad promedio de los padres de familia se encuentra entre 39.07 y 42.82 años.

c. ¿Cuál deber ser el tamaño de muestra, si para estimar μ se quiere un error no superior a 1.5 años con una confianza del 95 %? Use σ = 10 años.

Solución

padres de familia.

Ejemplo 11

Una consultoría financiera desea evaluar el rendimiento de sus operadores en ventanilla. El semestre anterior el tiempo medio de atención por cliente fue de 4 minutos con una desviación estándar de 0.55 minutos. Tomando en cuenta la queja de algunos clientes, se sospecha que este tiempo se ha incrementado. Por ello, se seleccionó una muestra aleatoria de 12 clientes cuyos tiempos de atención (en minutos) fueron los siguientes:

3.6 4.4 3.8 4.3 4.2 4.8 2.9 4.6 4.2 3.6 3.8 3.4

Construya un intervalo de confianza del 96 % para estimar el tiempo medio de atención al cliente. ¿Se puede seguir aceptando que el tiempo medio por cliente es de 4 minutos?

Para construir el intervalo, mediante el uso del software Minitab, se sigue el siguiente procedimiento:

1. Primero se ingresan los datos en una columna de la ventana <Worksheet> del software Minitab. El nombre de la columna permitirá hacer referencia a esta variable (vector de datos).

2. Se seleccionan las opciones Stat / Basic Statistics/ 1 Sample Z. Debe recordarse que se usa la distribución normal estándar para construir el intervalo para la estimación de la media, pues sigma (σ) es conocida.

3. Luego de dar ok, aparece la figura 2, en ella con <one or more samples, each in a column> se ingresa la variable (columna) que contiene la información requerida (en este caso, minutos) y luego se ingresa el valor de σ en el campo <known standard deviation>.

4. Luego se da clic en options y en el campo de <Confidence level> se indica el nivel de confianza, que es del 96 % en este caso.

5. Los resultados se muestran en la ventana <Session> y son los siguientes:

Los límites confidenciales para el tiempo medio de atención son (3.641; 4.293), por lo tanto se puede aceptar que el tiempo medio de atención es de 4 minutos.

Nota. El software Minitab ofrece dos opciones para el ingreso de información cuando se desea construir el intervalo de confianza para la media. Si se cuenta con datos originales se emplea la opción <one or more samples, each in a column> y si se cuenta con información resumida como el tamaño de muestra y media muestral se cambia la opción anterior por <Summarized data>.

4.2 Intervalo de confianza para π

Se desea estimar la proporción poblacional π con una confianza de (1−α)100 % para muestras de tamaño n≥30; esto equivale a encontrar dos valores a y b tales que: π 〈a; b〉, con una confianza de (1−α) 100 %.

Si n es un valor grande, se puede usar la distribución normal estándar y se concluye que:

, con una confianza de (1−α)100 %.

Tamaño de muestra

a. Si la población es infinita o el muestreo es con reposición:

Nota. Si no se conoce el valor de p, usar p = 0.5, en la fórmula anterior.

b. Si la población es finita de tamaño N y el muestreo es sin reposición:

Ejemplo 12

Se desea realizar una encuesta de mercado para estimar la proporción de amas de casa que prefieren un nuevo producto al que vende la competencia. Se requiere que el error al estimar la proporción no sea mayor de 5 puntos porcentuales, con un nivel de confianza del 98 %. El departamento de ventas estima que cerca del 25 % de las amas de casa podrían preferir el nuevo producto. Si cuesta S/. 1500 poner en marcha la encuesta y S/. 12 cada entrevista, ¿cuál será el costo total de la encuesta?

Solución

Sea C_T: Costo total del proyecto, entonces:

C_T = C_F + C_V = 1500 + 12n

Donde:

C_F: Costo fijo

C_V: Costo variable

n: número de entrevistas por realizar

Por lo tanto, el costo total es: C_T = 1500 + 406 (12) = S/. 6372.

Ejemplo 13

El gerente de producción de cierta compañía indica que a lo más el 7 % de los artefactos que se producen no están de acuerdo con las especificaciones exigidas. Al examinar una muestra de 200 artefactos se encontró que 26 son defectuosos. Si se pone en duda la afirmación del gerente de producción, ¿cuál será el intervalo de confianza del 98 % para la proporción de artefactos defectuosos?

Solución:

Mediante el empleo del software Minitab se tiene:

1. Seleccionar las opciones Stat/Basic Statistics /1 proportion, como se presenta en la figura 4.

2. En la ventana se cambia <one or more samples, each in a column> por <summarized data>, se ingresa x (Number of events) y n (Number of trials), luego de lo cual se debe pulsar el botón <options> (véase la figura 5).

3. Aparece la siguiente ventana, como se presenta en la figura 6. En el primer campo se ingresa el nivel de confianza, en este caso es del 98 %, y se cambia la última opción por Normal approximation.

4. Luego dar OK. Aparecen los resultados siguientes:

El intervalo contiene valores del porcentaje de defectuosos que supera el 7 %, por lo tanto lo que indica el gerente no es cierto.

Nota. Esta opción permite dos formas de ingresar la información. La primera fue usada en el ejemplo anterior; la segunda, para información original, se deben ingresar los datos en una columna, luego usar la opción <one or more samples, each in a column>.

4.3 Intervalo de confianza para la varianza poblacional (σ²)

Se desea estimar la varianza poblacional (σ²) de una población normal con una confianza de (1−α)100 % basado en una muestra aleatoria de tamaño n; esto equivale a encontrar dos valores a y b tales que: σ² 〈a; b〉, con una confianza de (1−α)100 %. En este caso se emplea la distribución Ji-cuadrado con 1−n− grados de libertad; y se concluye que:

con una confianza de (1−α)100 %.

Ejemplo 14

En la fabricación de anillos para motores se sabe que el diámetro promedio de un anillo es de 5 cm, con una desviación estándar igual a 0.005 cm. El proceso es vigilado en forma periódica mediante la selección aleatoria de 64 anillos, midiendo sus diámetros. Así, en la última muestra se obtuvo una desviación estándar de 0.0065 y se consideró que la variabilidad de los diámetros estaba bajo control, ¿con un 95 % de confianza se podría concluir que la variabilidad de los diámetros está bajo control? Suponga que los diámetros tienen distribución normal.

Solución

Se debe construir un intervalo del 95 % para σ² y se utiliza la expresión:

, reemplazando valores se obtiene:

Como el intervalo contiene valores mayores a σ² = 0.000025; entonces, con el 95 % se puede concluir que la variabilidad de los diámetros no está bajo control.

Mediante el uso del software Minitab:

1. Elija las opciones Stat/Basic Statistics/1 variance, como se presenta en la figura 7.

2. En la ventana de la derecha de la figura 7 se cambia <one or more samples, each in a column> por <sample standard deviation>, se ingresa el valor de n en <sample size> y la desviación estándar en <Sample estándar deviation>, luego de lo cual se debe pulsar el botón <options>.

3. En la figura 8 se ingresa el nivel de confianza, en este caso 95 %, tal como se muestra a continuación:

4. Luego de dar ok aparecen los siguientes resultados:

Por lo tanto, con el 95 % de confianza se puede afirmar que la varianza poblacional se encuentra contenida en el intervalo <0.000031, 0.000062>.

4.4 Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones (π₁ − π₂)

Se desea estimar la diferencia de proporciones poblacionales π₁ − π₂ con una confianza del (1−α)100 %, basados en muestras de tamaño n₁ ≥ 30 y n₂ ≥ 30; esto equivale a encontrar dos valores a y b tales que: (π₁ − π₂) 〈a; b〉 con una confianza del (1−α)100 %.

Si n₁ → ∞ y n₂ → ∞, se puede usar la distribución normal estándar y se concluye que:

Con una confianza del (1−α)100 %.

Nota. Si el intervalo contiene al cero, entonces se concluye que las proporciones son iguales en ambas poblaciones, en caso contrario son diferentes.

Ejemplo 15

En una muestra al azar de 250 baterías tomadas de la línea de producción de CIMA se encuentra que 20 son defectuosas y en una muestra al azar de 300 unidades tomadas de la línea de fabricación de VELA, 18 son defectuosas. Determine el intervalo del 99 % de confianza para la verdadera diferencia de la proporción de baterías defectuosas entre CIMA y VELA.

Solución

Los datos son:

El intervalo de confianza queda definido por:

Al reemplazar valores se obtiene:

〈(0.08 - 0.06) ± 2.576(0.022)〉 〈−0.0365742; 0.0765742〉

Por lo tanto, se concluye, con el 99 % de confianza, que ambas marcas tienen la misma proporción de defectuosos.

El procedimiento mediante el uso del software Minitab es:

1. Ingresar a la opción Stat /Basic Statistics/2 proportions, como aparece en la figura 9.

2. En la figura 10 se observa la ventana para el ingreso de los datos. Luego de cambiar en el primer campo <both samples are in one column> por <summarized data>, ingresar en sample 1 los datos del número de defectuosos de la línea MICA (20), en sample 2 los datos del número de defectuosos de la línea VELA (18); en los siguientes campos se ingresa el tamaño de muestra (250) para MICA y VELA (300), y luego activar <options>.

3. A continuación se coloca el nivel de confianza, en este caso es del 99 %, tal como se muestra en la figura 11.

4. Luego de dar ok aparecen los resultados siguientes: Test and CI for Two Proportions

Observar que el intervalo hallado es igual al obtenido con las fórmulas.

Nota. Esta opción permite tres formas de ingresar la información. La primera fue usada en este ejemplo; las otras dos dependen de la información original (que se debe ingresar primero en la hoja de trabajo); si se encuentra en una sola columna, se usa la opción <both samples are in one column>, si está en dos columnas, se emplea <Each sample is in own column>.

4.5 Intervalo de confianza para una razón de varianzas

Se desea estimar la razón de varianzas , con una confianza de (1−α)100% basado en muestras de tamaño n₁ y n₂; es decir, encontrar dos valores a y b tales que: ( con una confianza del (1−α)100%. En este caso se usa la distribución F y se concluye que:

, con una confianza del (1−α)100%.

Nota. Si el intervalo contiene el valor uno se concluye que las varianzas son iguales, en caso contrario se dice que son diferentes.

Ejemplo 16

La siguiente información se refiere al tiempo de la vida útil en años de dos marcas de motores para refrigeradores:

Determine el intervalo de confianza del 95 % para el cociente de varianzas e interprete dicho intervalo.

Solución

El intervalo de confianza para la razón de varianzas queda definido por: