Редактор Максим Анатольевич Клеверов
Редактор Мария Вячеславовна Чистякова
Дизайнер обложки Анастасия Денисовна Смирнова
© Илья Сергеевич Алексеев, 2020
© Анастасия Денисовна Смирнова, 2020
© Дмитрий Николаевич Овсяницкий, 2020
© Анастасия Денисовна Смирнова, дизайн обложки, 2020
ISBN 978-5-4498-5861-0
Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero
Лаборант-исследователь
Лаборатории им. П. Л. Чебышева СПбГУ
Преподаватель математического направления
Летней научной школы ЛНМО
Научный руководитель
Системы научных семинаров
и спецкурсов ЛНМО
Настоящая статья посвящена организации научно-исследовательской деятельности в области математики и программирования ребят, обучавшихся в Летней научной школе Лаборатории непрерывного математического образования и в Системе научных семинаров и спецкурсов ЛНМО и достигших значительных успехов в научной деятельности.
Создание школьником научного исследования можно разделить на несколько этапов, которые подразумевают подготовку теоретической базы, подбор и постановку исследовательской задачи, проведение исследовательского процесса, написание научной статьи и распространение полученных результатов путем публикации работы, и в итоге – выступления на научных конференциях и семинарах.
Этап теоретической подготовки, являясь одним из наиболее трудоемких, определяет тематику будущего исследования и предшествует началу исследовательского процесса. Предполагается, что необходимую теорию школьник осваивает на соответствующем спецкурсе. Например, ЛНМО проводит математическую смену Летней научные школы (ЛМШ), в рамках которой школьники 7—11 классов в течение трёх недель слушают курсы по математике и компьютерным наукам с последующей сдачей экзаменов. К чтению лекций приглашаются специалисты из соответствующих областей. Как правило, каждый ребенок прослушивает четыре курса, читающихся ежедневно. Для того, чтобы сделать процесс обучения в ЛМШ наиболее продуктивным, тематика курсов выбирается таким образом, чтобы установить фундамент в математическом образовании школьника. К примеру, будущие девятиклассники ЛНМО в ЛМШ помимо стандартного курса алгебры и анализа прослушивают курсы по основам линейной алгебры и теоретико-множественной топологии. Доступность продвинутых математических курсов для школьников обусловлена тем, что ученики ЛНМО уже в 7 и 8 классах осваивают математические основы, такие как теорию множеств и теорию групп. Тематика курсов для старшеклассников в ЛМШ имеет более специфический характер, поскольку предполагается, что старшеклассники имеют представление о предлагаемых научными руководителями темах будущего научного исследования. Последнее делает целесообразным организацию курсов, приносящих специализированные знания. Подразумевается, что подобные курсы имеют достаточно общий характер, являются полезными и интересными для школьников. В 2019 году в ЛМШ были прочитаны следующие курсы: «Теоретическая информатика», «Введение в алгебру и анализ», «Алгоритмы и структуры данных», «Введение в математику» (авторский курс), «Топология», «Теория вычислимости», «Введение в линейную алгебру», «Введение в неравенства», «Теория функций многих переменных», «Введение в теорию групп», «Теория Галуа», «Введение в геометрическую топологию», «Современная теория чисел», «Теория категорий», «Многопоточное программирование». Последние пять из них можно отнести к списку тех, которые были включены в учебный план ЛМШ с расчётом на будущее использование в научных работах школьников.
Основной источник новых знаний для школьника в рамках Системы научных семинаров ЛНМО – это теоретические семинары (спецкурсы). Например, в 2019—2020 учебном году в ЛНМО были организованы следующие курсы: «Линейная алгебра», «Разработка интерфейсов», «Гомологическая алгебра», «Дифференциальные уравнения», «Введение в теорию групп», «Функциональный анализ», «Машинное обучение». Знания, которые предлагаются на теоретическом семинаре, необходимы для успешного участия школьников в исследовательских семинарах. Например, все дети (пять человек) после прохождения курса «Функциональный анализ» продолжили научную работу на одноимённом исследовательском семинаре и на семинаре «Геометрическая теория групп» с последующим выступлением на Балтийском научно-инженерном конкурсе.
Исследовательские семинары ЛНМО – это научные семинары, на которых школьники обсуждают исследовательские задачи по математике и компьютерным наукам, выступают с докладами по соответствующей тематике, объединяются для решения задач, изучают передовые результаты ученых. Именно на этих семинарах под надзором научного руководителя проводятся исследовательские процессы. Например, в 2019—2020 учебном году в ЛНМО были организованы следующие исследовательские семинары: «Вычислительная геометрия», «Семинар по решению задач Турнира юных математиков», «Топологическая теория графов», «Теория гомологий», «Введение в топологию», «Бесконечные группы», «Топология и геометрия поверхностей», «Алгебраическая теория полугрупп», «Алгебраическая топология», «Комбинаторика систем корней», «Геометрическая теория групп», «Функциональный анализ».
В статье будут описаны основные аспекты и стратегии ведения научного исследования, принятые на научных семинарах ЛНМО.
Формат работы научного руководителя и ребенка во многом зависит от уровня подготовки последнего. В том случае, если ребёнок является начинающим, зависимым от своего руководителя исследователем в соответствующей области науки, научный руководитель должен давать тому четкие указания о том, что делать, когда и как. В таком формате руководителем назначаются конкретные цели и простые методы их достижения, а подход к предмету предполагается максимально строгим и организованным. В случае, если ребенок уже вовлечен в исследование, заинтересован в получении знаний и готов решать конкретные задачи, руководитель должен готовить ребенка к самостоятельности и помогать ему развивать свои навыки. В таком формате руководитель объясняет и обосновывает каждое задание, убеждает ребенка в его ценности, учитывает мнение ребенка. В отличие от предыдущего формата, в данном случае связь между ребёнком и научным руководителем является двусторонней. Предполагается, что каждый ребёнок проходит два этапа обучения, описанных выше. Взаимодействие ребенка и научного руководителя подразумевает регулярные встречи, обсуждение продвижений ребёнка в решении поставленных задач и установку конкретных временных сроков выполнения последних. Итого, основная задача научного руководителя – корректировать действия ребенка, обеспечивать его необходимыми знаниями, консультировать и направлять.
В рамках исследовательского семинара «Геометрическая теория групп» под руководством Руслана Тимуровича Магдиева проводились еженедельные занятия, на которых коллективы старшеклассников решали исследовательские задачи, относящиеся к одной и той же области математики. Среди ребят были как те, кто находился на первом этапе обучения и для кого научная работа была впервой, так и те, кто уже хорошо ориентировался в теории и был заинтересован в проведении собственного исследования. Стоит отметить, что последние помогали первым в освоении дисциплины, и такое взаимодействие способствовало повышению командного духа. Тем не менее, немаловажную роль играл авторитет Руслана Тимуровича, его навыки объяснения и донесения мысли, способность координирования работы ребят и корректирования направления их мыслей при решении исследовательских задач.
Допускается проведение дистанционных занятий. Например, специально для исследовательского семинара «Теория гомологий» руководителем были записаны видеолекции [4], которые позволили школьникам пройти экспресс-курс по теории векторных пространств, который является пререквизитом к теории гомологий. Материалы экспресс-курса обсуждались на дополнительных занятиях.
Как правило, научное исследование подразумевает специализацию, требующую дополнительных знаний из соответствующей области науки. Необходимая теоретическая база подготавливается руководителем и преподносится ребенку, например, в формате курса лекций или практических занятий. Последний формат подразумевает, что ключевые идеи и результаты школьником переоткрываются. Исследовательская задача может быть поставлена как до освоения основ дисциплины, так и после. Теоретический материал подбирается таким образом, чтобы, с одной стороны, освоить использование специальных методов и техник для решения задачи, а с другой стороны, чтобы для ребёнка открылась ясная картина того, как устроены основания соответствующей области науки, в чем состоят мотивировки исследования и его дальнейшие перспективы. Вынося в будущем результаты по проведенным исследованиям на защиту, школьник подтверждает, что он ознакомлен с сопутствующей теорией на должном уровне строгости. Задача руководителя, в частности, состоит в том, чтобы ознакомить ребёнка с современным состоянием исследуемого вопроса.
Так весной 2019 года Руслан Тимурович Магдиев предложил Артёму Семидетнову совместную работу, являющуюся продолжением его собственной школьной научной работы под названием «Геометрия геодезических в дискретной группе Гейзенберга», которая относится к теории групп и римановой геометрии. Участие в подобном исследовании предполагает серьезные теоретические пререквизиты, и даже для понимания постановки задачи от ребёнка требуется знание основ теории групп. Необходимую теоретическую базу Артем получил в Летней математической школе, прослушав курсы «Введение в теорию групп» и «Введение в геометрическую топологию». Знания, обретенные Артёмом на первом из них, позволили ему ознакомиться с результатами, полученными в прошлом Русланом Тимуровичем, и приступить к изучению более широкого класса объектов. Навыки работы с римановыми многообразиями, обретенные на занятиях по геометрической топологии, в будущем позволили Артёму обнаружить новый подход к описанию рассматриваемых объектов. Перечислим несколько понятий, которые были использованы в научном исследовании Артёма и были отработаны на семинаре «Геометрическая теория групп»: задание групп образующими и соотношениями, нильпотентные и разрешимые группы, дискретные изопериметрические задачи, римановы многообразия, однородные и изотропные геометрии, группы Ли.
Стоит выделить исследование десятиклассника Петра Баринова «Структура сингулярных обобщенных функций с точечными носителями», выполненное под руководством Петра Алексеевича Куликова:
«Математическая физика изучает решение дифференциальных уравнений высших порядков. В частности, если рассмотреть линейный дифференциальный оператор, то подобрав нужные коэффициенты он может стать, например, оператором Лапласа. Мы изучили поведение решения линейного дифференциального уравнения на прямой при условии, что у решения есть не более чем степенная особенность в нуле. А именно, мы нашли другое решение для этого дифференциального оператора, которое не имеет особенностей, и нашли его связь с первым решением».
Необходимая теоретическая база осваивалась в течение всего 2019 года на следующих семинарах ЛНМО: «Теория меры и категорий», «Дифференциальные уравнения», «Функциональный анализ». Перечислим некоторые понятия, использованные в итоговой научной статье: дифференциальные уравнения, ряды Фурье, обобщенные функции и их регуляризация, меры Лебега и Стилтьеса.
The free excerpt has ended.