Read the book: «Lógica básica»

Alfonso CABANZO

Lógica BÁSICA

UNIVERSIDAD DE LA SALLE

Educar para Pensar, Decidir y Servir

Facultad de Ciencias de la Educación

Bogotá

2012

Lógica BÁSICA

ISBN: 978-958-8572-68-0

Alfonso Cabanzo Primera edición: Bogotá D.C., junio del 2012

Primera reimpresión: Bogotá D.C., diciembre del 2012

© Derechos reservados, Universidad de La Salle

Edición:

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Diseño y diagramación

Giovanny Pinzón Salamanca

Diseño de portada

Editorial Kimpres Ltda.

ePub x Hipertexto Ltda./ www.hipertexto.com

Queda prohibida la reproducción total o parcial

de este libro por cualquier procedimiento, conforme a

lo dispuesto por la ley.

Introducción

En la actualidad, existen muchos textos de lógica. En el medio académico actual se encuentran los siguientes: Xavier Caicedo, Elementos de lógica y calculabilidad; Alberto Campos, Lógica y geometría griegas anteriores a Euclides; Irving Copi, Introducción a la lógica; Deaño, Introducción a la lógica formal; Gamut, Logic, Language and Meaning; Quine, W. V.; Los métodos de la lógica; Suppes, y Hill, Introducción a la lógica; Páez, Introducción a la lógica moderna; Andrade et ál., Lógica y pensamiento formal. Sobre teoría de conjuntos están: Muñoz, Introducción a la teoría de conjuntos; Badesa et ál., Elementos de lógica formal. Sobre argumentación, Toulmin, Los usos de la argumentación; Fisher, The Logic of rea¡ Arguments; Weston, Las claves de la argumentación; Perelman, El imperio retórico y el Tratado de la argumentación. Muchos de ellos son insuperables. Por ejemplo, no hay un texto que abarque más temas y de manera más clara que el de Copi: argumentación, lógica deductiva e inductiva y probabilidad; su mayor ventaja es la cantidad de ejemplos y ejercicios que trae. Sus mayores desventajas el precio y el hecho de que no explica cómo hacer la mayoría de ejercicios sobre argumentación.

Este libro es una compilación de muchos temas tratados de manera dispersa en todos los texto anteriores, esperando poder aportar un elemento nuevo. Las explicaciones de los ejercicios de lógica se hacen basadas en los problemas que han tenido mis estudiantes en ocho años de enseñanza de la lógica formal. He dictado cursos de lógica, argumentación, semiótica y análisis de textos en la Escuela Colombiana de Ingeniería, la Universidad del Rosario y la Universidad de La Salle. Asimismo, he tenido estudiantes de Ingeniería, Economía, Administración, Psicología, Antropología, Sociología, Historia, Lenguas y, por supuesto, Filosofía.

Este libro, específicamente, está pensado para los alumnos de nuestro medio, pensado para abordar los problemas de lectura y razonamiento que se presentan efectivamente en nuestras aulas de clase. En el contexto colombiano, tan dado al seguimiento de reglas absurdas y burocráticas, así como a saltarse normas básicas de convivencia; estas lecciones se han centrado en el desarrollo de la capacidad de seguir reglas, buscar reglas válidas, en la búsqueda de métodos que nos permitan razonar sobre nuestros actos y sus consecuencias y, obviamente, en el desarrollo de la capacidad de criticar los argumentos presentados en un texto. Muchas de las explicaciones que he dado aquí son el producto de respuestas a las preguntas de estos estudiantes; los consejos, las definiciones dadas, la metodología misma y las explicaciones de algunas deducciones las diseñé específicamente para presentarlas en mis clases, a fin de solucionar dudas sobre los procedimientos.

El apartado sobre lo que los lingüistas llaman pragmática, que es tratado en otros países de manera formal, es un resumen de las herramientas teóricas que uso yo mismo para guiar a mis estudiantes en el análisis de los argumentos que deben formalizar en los cursos de lógica. Los textos reales están llenos de premisas implícitas, cuando no se están presuponiendo indebidamente. Hay innumerables preguntas retóricas, indirectas, análisis, elipsis, ironías, metáforas y, en general, estructuras gramaticales que dificultan la comprensión y el análisis del lenguaje hablado y escrito, sobre todo, si se es un estudiante que apenas entra a la universidad. Por ello, me he dado cuenta de lo invaluable que es saber las bases de la teoría de Actos de habla, no al estilo de Habermas, como fundamento de una posición filosófica abstracta sobre el diálogo, sino al mejor estilo de los lingüistas, como una herramienta que nos suministra métodos prácticos, para entender y producir expresiones del lenguaje aquí y ahora. Es aquí y ahora que se debe entender un argumento como una petición: la petición racional de que se acepte la conclusión en virtud de las premisas que ofrece quien argumenta. Pero, esta fuerza directiva, esta petición, es indirecta muchas veces y los estudiantes no la detectan, haciendo que se confunda muchas veces lo justificado con la justificación. Por ello la introducción de este tema.

En lo posible, he tratado de usar no solo ejemplos y ejercicios inventados, sino también reales, ya sea tomados de textos de lógica misma o bien de textos de filosofía, literatura y artículos de opinión. La lógica es una herramienta para usar en la vida diaria y, a veces, lo olvidamos en los cursos.

Por otra parte, el apartado sobre lógicas no clásicas obedece a una necesidad específica: hay muchas lógicas, pero no en el sentido trivial, ramplón y relativista que se ha adquirido ahora en la academia colombiana, sino en el siguiente: los sistemas formales son innumerables, pues se pueden construir muchos y muy variados, y hay diversas maneras de hacer esto. Pero esta diversidad también es producto de una rigurosidad de pensamiento que no poseen muchos de quienes afirman “metafóricamente” que hay “muchas lógicas”, como la de la “disyunción, excluyente y reduccionista” y la de la “conjunción, abarcadora y holista”.

He diseñado unos árboles de forzamiento semántico para estas lógicas no clásicas, con los cuales se pueden hacer análisis de argumentos sencillos y demostrar su validez. Esta era una herramienta que hacía falta y que no he visto, salvo en el de Páez, con algunas diferencias que los hacen más complejos de manejar, en ninguno de los trabajos mencionados, ni siquiera en el Gamut. La idea es que con estos sistemas formales alternativos se puede iniciar un estudio de contextos en el cual las posibilidades, las creencias, las expresiones jurídicas, como deber y obligación, se pueden estudiar rigurosamente. Esto de manera análoga a como los físicos crean modelos que contrastan continuamente con la realidad que nos circunda. Por supuesto, aquellos sistemas ya estaban creados, pero su enseñanza era oscura y reservada para algunos especialistas en las escuelas de filosofía. Sin embargo, los trabajos de Andrade et ál. (2008) y de Páez (2007) cambiaron esto, pues incorporaron en un sencillo texto los elementos básicos de la lógica intensional. Espero que mi presentación de los árboles también ayude a esta función: aspirantes a críticos literarios, administradores, psicólogos y economistas podrán hacer modelos muy sencillos del funcionamiento de enunciados como “creo que p”, “es posible que p”, “prefiero p” y similares, sin tener que esperar a un posgrado en alguna universidad extranjera. Lo hice pensando en que, así como algunos se entretienen formalizando con sistemas clásicos, puedan hacerlo con sistemas no clásicos sin tanto problema.

El apartado sobre teoría de conjuntos era necesario: primero, para aclarar los conceptos básicos usados en la semántica de la lógica de proposiciones, de la de predicados y de la modal, pero también porque es una herramienta muy útil para el análisis de los fenómenos sociales. Por ello, el énfasis en las definiciones usando conceptos como el de complemento, conjunto referencial y otros. Esta metodología se usa con más o menos rigor en los cursos de semiótica, por ejemplo, pero los estudiantes carecen de los elementos lógicos básicos para entender su funcionamiento y, por ende, para aprovechar al máximo los recursos que el análisis estructura- lista del significado le aportó al estudio de la interpretación de los fenómenos lingüísticos.

Con respecto a la distribución de la obra, soy consciente de que no es la mejor. Habría sido conveniente dar unas pequeñas bases de teoría de conjuntos antes de iniciar el estudio de la semántica formal. Pero, aquella presupone una capacidad de inferencia desarrollada, capacidad que no se obtiene fácilmente a menos que se haya hecho un estudio previo sobre deducción. Por tanto, el estudiante debe saltar de un capítulo a otro para aclarar algunos conceptos; siempre es mejor esto que saltar de un libro a otro cuando el acceso a estos es difícil o costoso. Por ello, se anexa un índice analítico y, asimismo, he numerado y he indicado en el contenido cada regla introducida, cada consejo, cada proposición requerida para entender las demostraciones más complejas. Traté al máximo de no llenar el libro con cadenas extremadamente largas de pruebas, al mejor estilo de los textos de matemáticas, pues finalmente mi público objetivo esperado no sabe más de las tres cosas que vio en su educación secundaria y no está acostumbrado a manejar cadenas largas de teoremas. Espero que el estudiante se interese por profundizar en estas materias cuando aparezcan dudas con respecto a temas eminentemente meta- lógicos y filosóficos, como el de la completitud, o sobre la manera adecuada de formalizar un argumento del lenguaje común. Por esta razón, las referencias, la bibliografía y las posturas críticas en un manual. Veamos pues la distribución del texto.

En el primer capítulo expongo brevemente una distinción entre el pensamiento concreto y el abstracto; con ello, espero ilustrar la importancia de desarrollar este último y el papel que en ello desempeña la práctica de la lógica. Asimismo, explico tres conceptos omnipresentes en toda discusión sobre los razonamientos, pero que casi siempre se dejan de lado: la deducción, la inducción y la abducción.

En el segundo capítulo inicio directamente el estudio de la lógica clásica de proposiciones, esto es, la lógica que se centra en el estudio de los conectores lógicos clásicos: negación, conjunción, etc. El estudio es directo, sin preámbulos, esperando que el lector se familiarice primero con las técnicas sintácticas de manipulación de signos y luego con su interpretación formal. Para suplir este defecto, que hace ver la lógica como un juego, presento una herramienta de análisis del lenguaje en el capítulo tres: la teoría de actos de habla. Con ella brindo herramientas para que el estudiante aprenda a identificar los diferentes usos que se hace de la lengua en el contexto cotidiano y brindo un algoritmo que le ayude a diferenciar textos argumentativos de otros tipos de textos. El capítulo, aunque breve, es el eje central de este libro. Ello debido a que muchos estudiantes pueden dominar muy bien la deducción, pero rara vez pueden aplicar estos conocimientos en sus análisis de argumentos reales. Como dije, muchos de los razonamientos allí expuestos como ejercicios están tomados de libros reales, manuales como el de Copi y Pérez, pero también textos que no buscan ser manuales de argumentación, pensados para justificar una tesis de manera informal y no para hacer ejercicios. Esto hace que su análisis sea enriquecedor.

En el cuarto capítulo presento la lógica de predicados de primer orden, que se centra en el estudio de la estructura interna de las proposiciones, la estructura individuo-predicado lógico. Hay un acápite dedicado a los silogismos categóricos aristotélicos, pero analizados con las herramientas de la lógica de predicados, no como sistema mismo. Ello porque algunos de sus esquemas, si no todos, siguen siendo muy utilizados hoy en día en la práctica académica cotidiana y, por esto, son útiles para aprender a formalizar argumentos reales.

El quinto capítulo es una breve introducción a la teoría de conjuntos y allí muestro algunas ideas sobre cómo aplicar las técnicas conjuntistas a las Ciencias Humanas. Aunque la teoría de grupos ha sido más utilizada para esta labor, su estudio requeriría todo un libro completo, razón por la cual no he podido profundizar más aquí. Brevemente, en el sexto capítulo expongo dos sistemas no clásicos: la lógica modal de proposiciones y la lógica modal de predicados. Si los anteriores capítulos han quedado bien hechos y comprendidos, el entendimiento de esta sesión, muy técnica, será fácil de lograr. Repito muchos de los conceptos antes estudiados, pero mostrando su aplicación en el desarrollo de un sistema más amplio que los expuestos anteriormente.

De acuerdo con la teoría de la información, en ciertos contextos la redundancia garantiza que el mensaje sea captado más fácilmente, salvando así las distorsiones del medio. Espero que la repetición de información sea perdonada por esta razón y ello garantice una comprensión mayor de este trabajo.

Finalmente agradezco, en primer lugar, a mis estudiantes, quienes han tenido que padecer, corrigiendo, los errores de los borradores del libro. Han sido muchos a lo largo del año de elaboración de este, más el año de prueba, de manera que si olvido a alguno pido de antemano disculpas: Isabella Díaz Rengifo, Paula Vanessa Camacho, Daniela Santafé Beltrán y Juan Raúl Loaiza. En segundo lugar, agradezco a mi familia, a mi hermana, que leyó, por supuesto, los borradores, y a todas aquellas personas que colaboraron con la elaboración de esta publicación.

En tercer lugar, agradezco a la Universidad de La Salle por el apoyo al publicar el libro; al vicerrector académico, Hno. Fabio Humberto Coronado Padilla, Fsc; a la Facultad de Ciencias de la Educación, especialmente al Hno. Alberto Prada San Miguel, decano de esta.

1. Lo concreto y lo abstracto

La lógica es la ciencia que busca las leyes que determinan cuándo un argumento es correcto y cuándo no. Un argumento es un conjunto de oraciones asertivas que justifican, prueban o dan razón de otra. A las primeras, las llamamos premisas y a la última, conclusión. Es algo sencillo, pero, en el fondo, esconde una complejidad por muchos desconocida. Generalmente, pensamos que argumentar es lo mismo que opinar, pero es un gran error. Cualquiera puede opinar, pero no cualquiera puede justificar sus opiniones, menos con argumentos correctos. Es así como aseverar que la Tierra es redonda no es en absoluto igual a afirmar que lo es porque si salimos navegando hacia el oriente llegaremos al mismo punto, pero por el occidente; aun hoy en día muchas personas no están en capacidad de probar así su afirmación. Mucho menos, están en capacidad de hacer lo que hizo Heratóstenes hace más de dos mil años: supuso que, dado que en su ciudad natal, Siena, durante el solsticio de verano al medio día no había sombra, si la tierra fuera plana, en la ciudad Alejandría a la misma hora, tampoco habría sombra. Cuenta la leyenda que puso a caminar a un esclavo de Siena hasta Alejandría para verificar si en esta había o no sombra al medio día. Como sí la había, no se podía seguir manteniendo que el lugar donde vivimos es plano. Incluso, llegó a calcular el diámetro de este planeta y su margen de error fue sorprendentemente poco.

Fuente: elaboración propia.

Sin duda, fue un descubrimiento grandioso el de este físico griego: concluir esto solo mediante razonamientos y observaciones. Pero la argumentación no está destinada únicamente a los grandes matemáticos y científicos: en la vida diaria la usamos. El estudiante que dice: “siempre que el profesor viene, deja su carro en el parqueadero, y como hoy no está su auto, no vino” da un argumento que trata de probar la verdad de la conclusión a partir de las premisas. La lógica nos dirá que el argumento anterior es válido: si “siempre que el profesor viene, deja su carro en el parqueadero” es verdadera y, además, es verdadero que “no está su auto”, tendremos que aceptar la oración “el profesor no vino”. Quizás, nos diga también que la primera es falsa, lo que hace al razonamiento poco sólido. En particular, esta ciencia se centra en la forma y no tanto en el contenido de los razonamientos. De ahí su nombre de lógica formal. No obstante, esta afirmación es algo inexacta: cuando hablamos de verdad o falsedad de las oraciones, nos centramos en su significado y, por ello, también consideramos su contenido, aunque de la manera más general posible. Esta oposición ha sido crucial en el desarrollo científico, pero no pocas veces ha causado tantos enredos, en particular, porque se suele olvidar: nos centramos muchas veces en la forma, tanto que el contenido se pierde, lo que dificulta la comprensión de las demostraciones y las argumentaciones. La matemática nos da el mejor ejemplo de ello.

Veamos la siguiente ecuación:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Esta fórmula suele expresarnos una forma, pero pocas veces el profesor se toma la molestia de recalcarle al alumno qué significa. Por ejemplo, no se hace ninguna asociación entre la multiplicación aritmética y el cálculo del área de una figura geométrica. Con ello, se olvida lo siguiente: el cuadrado de un número a2 es simplemente el cuadrado cuyo lado mide a:

Según esto, a2 es una manera general, abstracta, de decir “el cuadrado cuya área se calcula multiplicando la magnitud a por sí misma”.

Por supuesto, (a + b)2 es una forma abreviada de decir: “el cuadrado cuyo lado es a + b”. La ecuación mencionada dice simplemente: “el cuadrado cuyo lado es a + b es el resultado de tomar un cuadrado cuyo lado es a, sumado a dos rectángulos cuyos lados son a y b sumados a otro cuadrado cuyo lado es b”. La representación gráfica no solo nos explica esta ecuación, sino que también se convierte en una especie de demostración intuitiva o gráfica:

En resumen, a2 es decir: “un cuadrado cuya área se calcula así: a. a". Este olvido hace que la enseñanza de las matemáticas sea ardua: primero, porque se deja atrás su aplicación práctica. Segundo, porque esta omisión nos obliga a centrarnos en los símbolos, aparentemente carentes de todo sentido, haciendo difícil su manipulación. De ahí que la disciplina se convierte en una técnica de manejo de garabatos absurdos. Pero, la abstracción en sí no es mala: al hablar de signos con muchas interpretaciones, podemos generalizar y aplicar los resultados a campos más amplios. Es así como podemos calcular volúmenes, como cubos: a3 sería la representación de una figura tridimensional. Limitaciones obvias nos impiden presentarlo tal cual, pero podemos intentarlo:

La representación de (a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + a3 sería ya más engorrosa. El lector puede tratar de demostrarla en tres dimensiones, haciendo las figuras con cartón. Lo mismo sucede con otros principios matemáticos simples:

Esta suma simplemente representa la operación de dividir una unidad en dos mitades para luego volverlas a pegar:

Unidad: 1

Podemos abstraer aún más y demostrar:

Nótese que no alcanzamos a imaginarnos una figura geométrica como An. Nuestro intelecto nos permite, no obstante, comprender la definición:

A partir de esta definición sabemos que:

Como sabemos, multiplicar fraccionarios, tenemos que:

Sin capacidad de abstracción, la prueba no se puede entender. No hay intuición que nos permita aprehenderla en su totalidad desde la perspectiva geométrica. Y este grado de generalidad nos permite aplicar este conocimiento abstracto posteriormente a muchos casos particulares. Sabemos gracias a esta regla demostrada que:

Esto gracias a que reemplazamos en la regla general la letra a por el 3, la letra b por el 5, y la letra n por el 2. El conocimiento de los principios generales nos ayuda a solucionar casos particulares.

La lógica formal parte igualmente de lo concreto, el lenguaje cotidiano y sus argumentos, para ir haciéndose cada vez más abstracta. Nos suministra leyes y, posteriormente, estas leyes nos ayudarán en los casos particulares. Su estudio busca generar esa capacidad de abstracción de ver el esquema abstracto, para poder aplicarlo al caso concreto. Este procedimiento se suele llamar deducción. definido un poco de manera más clara, para diferenciarlo de lo que en lógica se llama deducción formal.

1.1. Deducción

La definición tradicional afirma que la deducción es el paso de lo general a lo particular. Y es cierta, pero incompleta. También es el paso de premisas que, si son verdaderas, prueban concluyente mente la conclusión. El ejemplo típico es el siguiente: “Todas las bolas de esta bolsa son blancas. Estas bolas estaban en esta bolsa, por tanto, son blancas” (Eco, 1991). Si todas las bolas de la bolsa son blancas, no hay posibilidad de que las bolas tomadas de allí sean de otro color; si sacamos una bola negra, necesariamente tendríamos que negar alguna de las premisas: estábamos equivocados, no todas las bolas eran blancas, o bien, la bola negra no proviene de la bolsa: se nos coló de alguna manera. En general, la matemática es una disciplina que utiliza esta técnica de la deducción de principio a fin.

1.2. Inducción

Otras disciplinas, como la física, la economía o la filosofía también usan la deducción, pero es muy usual que sustenten sus premisas sobre otros tipos de razonamientos. El más frecuente es el inductivo. Continuando con el ejemplo de Eco, tenemos un razonamiento de este tipo en el siguiente caso: todas estas bolas son blancas. Estas bolas estaban en esta bolsa, por tanto, posiblemente todas las bolas de esta bolsa son blancas. Las premisas son verdaderas, pero la conclusión no es necesaria: podría suceder que la última bola sacada sea negra, con lo cual la conclusión quedaría desvirtuada. La diferencia con el caso anterior (deductivo) es patente: allá, si las premisas son verdaderas, no hay opción; en este caso, aun cuando las premisas sean verdaderas, podría no darse la conclusión. En la física, hay inducción cuando se generaliza: la gravitación es una ley que se supone universal —que supuso universal— a partir de su observación de los cuerpos en el ámbito terrestre. No pudo ver todos los objetos del universo. Pero generalizó: a partir de casos verdaderos en la Tierra, supuso que en otras partes del universo se daba dicha regla. En la Antropología, la Lingüística, la Psicología se echa mano de esta técnica: sus “leyes" son estadísticas y, por tanto, generalizaciones que son posibles, pero no necesariamente verdaderas.

1.3. Abducción

Finalmente, la abducción es más que un tipo de inferencia, el proceso que nos lleva a formular y descartar hipótesis (, 1935): “Todas las bolas de esta bolsa son blancas. Todas estas bolas son blancas, por tanto, probablemente, estas bolas provienen de esta bolsa". La abducción nos permite organizar todo el razonamiento para que tenga sentido: la hipótesis sería “todas estas bolas provienen de esta bolsa". ¿Cómo sabemos esto? Porque si esta hipótesis fuera cierta, reorganizaríamos todo el razonamiento de manera que la conclusión “todas estas bolas son blancas" se seguiría del postulado, y de la otra premisa “todas las bolas de esta bolsa son blancas".

En general, la lógica que estudiaremos aquí será deductiva. Esto no significa que no tengamos en cuenta los otros dos procesos. Parte de la motivación para este libro es justamente el hecho de que aun en este tipo de deducciones el estudiante debe usar los otros dos procesos, a diferencia de las máquinas.

2. Lógica proposicional:
sintaxis y semántica

Un argumento, decía Aristóteles, es una afirmación que se sigue de otro conjunto de afirmaciones por el simple hecho de que es así. Parece extraño, pero así es. Por ejemplo, podemos deducir que el profesor no vendrá a clase, pues siempre que viene trae el carro y hoy su auto no está en el parqueadero. 0 podemos saber que si Juan es más fuerte que Pedro y Pedro más fuerte que Diván, Juan será más fuerte que Diván. La lógica estudia estos tipos de argumento de manera abstracta: se centra en su forma, mas no, en principio, en su uso específico con expresiones del lenguaje habitual. Sean p, q, r enunciados cualesquiera: del primer razonamiento, por ejemplo, dirá que tiene la siguiente estructura:

Si p entonces q, no q, por tanto, no p.

Del segundo, dirá que tiene la siguiente estructura:

Si p entonces q, si q entonces r, por tanto, si p entonces r.

Este estudio tiene una ventaja: ofrece reglas, esquemas que sabemos que funcionan siempre, independientemente del tema del cual estemos hablando. Así como el teorema de Pitágoras funciona independientemente de si el triángulo estudiado aparece en una rampa, se forma con un rayo de luz entre una estrella, el telescopio de mi barco y el puerto más cercano, de esta manera, estos esquemas tienen una validez universal, al menos hasta donde nuestro conocimiento del universo alcanza. Asimismo, como el conocimiento de un teorema matemático no me hace el mejor marinero, pero sí evita que muera perdido en alta mar, el conocimiento de los esquemas y reglas válidos de argumentos no me hará ser más sabio, pero sí evitará queme pierda en el camino del debate. Los esquemas son guías: si un razonamiento se ajusta a ellos, todo parece estar bien. Si no se ajusta, debemos verificar si estamos planteando correctamente el asunto, pensando correctamente o si quizás haya una posibilidad que no hayamos explotado.

Resumiendo, un argumento es un razonamiento expresado en proposiciones. Las proposiciones son oraciones del lenguaje cotidiano, que pueden ser catalogadas como verdaderas o falsas.{1} Que el profesor siempre traiga el carro es algo que sabemos, es cierto. Que no lo trajo hoy, también es cierto. En consecuencia, podemos esperar que no venga, dados los hechos anteriores, expresados lingüísticamente en dichas oraciones.

Ahora bien, debemos buscar algo de generalidad en nuestro estudio: no podemos simplemente aprendernos millones de oraciones. La lógica tiene que ver con el pensamiento abstracto: dados unos pocos esquemas, podremos generar muchos argumentos válidos sobre cualquier tema. Empezaremos por exponer uno muy sencillo: el de la lógica proposicional. Posteriormente, expondremos uno más complejo, que abarca casi todos los razonamientos sencillos que encontramos en el habla cotidiana: la lógica de predicados.

2.1. La lógica proposicional: sintaxis

La lógica matemática, formal, estudia los argumentos deductivos, es decir, aquellos que parten de premisas que, de ser verdaderas, conllevan siempre a la verdad de la conclusión. Para ello, desarrolla lo que se conoce como un sistema formal, es decir, un lenguaje artificial que consta de una sintaxis y una semántica, definidas ambas a partir de una reglas recursivas; las reglas recursivas son un conjunto de operaciones que nos permiten obtener todas las expresiones gramaticalmente bien formadas. Un procedimiento recursivo es aquel que obtiene productos que se admiten como entradas para ser procesadas. Por ejemplo, la agricultura es una muestra de un proceso recursivo: se produce maíz, el cual, asimismo, produce semillas que se pueden usar para producir maíz, que a su vez produce semillas...

Un lenguaje formal denotado L funciona como un juego. Veamos la siguiente actividad. Consiste en, dadas las instrucciones y la palabra “amor", derivar la palabra “odio".

Regla 1: solo podemos usar palabras que existan en el diccionario de la Real Academia Española (nótese que ni siquiera debemos saber qué significan. Basta con que por comparación determinemos si aparecen o no en esta lista).

Regla 2: dada una palabra, podemos remplazar una letra por paso, para dar origen a una nueva palabra.

Regla 3: se puede suprimir solo una letra por paso para dar origen a otra palabra.

Regla 4: se puede añadir solo una letra por paso, para dar origen a otra palabra.

En esta derivación numeramos cada paso y al lado derecho indicamos cuál regla se aplicó en cada uno de ellos:

1) Amor Palabra dada.

2) Amar Regla 2 en el paso 1, reemplazando a por o.

3) Mar Regla 3 en el paso 2, eliminando a.

4) Dar Regla 2 en el paso 3, reemplazando m por d.

5) Da Regla 3 en el paso 4, eliminando r.

6) Oda Regla 4 en el paso 5, añadiendo o.

7) Odia Regla 4 en el paso 6, añadiendo í.

8) Odio Regla 2 en el paso 7, reemplazando a por o.

Del amor al odio hay, según la derivación anterior, ocho pasos. Más difícil es transformar la palabra “origen" en “destino" siguiendo las mismas reglas.

A la palabra del paso 1 la podemos llamar “axioma", queriendo decir con ello que es una cadena inicial de signos. A la palabra del paso 8 la llamamos “teorema", queriendo decir que se derivó de 1, mediante sucesivas aplicaciones de las reglas. Nótese que aquí no importa el significado de estas cadenas de signos: no hay ninguna relación entre mar y odio, por ejemplo, y el proceso no se ve afectado por ello. Podemos hacer dos cosas: jugar, o bien hablar del juego. Por ejemplo, decir que "amor" tiene siete letras, o que “da" solo tiene dos, que es aburrido o que es entretenido. Cuando jugamos, decimos que estamos en el interior del sistema, y cuando opinamos, estamos fuera del sistema. Exactamente, esto se denomina un sistema formal. Y los lógicos, además de jugar con las transformaciones de los signos, hablan sobre ellos. No obstante, las cadenas de signos de este nuevo juego son algo diferentes. En lugar de solo letras, se usan además otros símbolos:

1. Variables proposicionales: p, q, r, etc.

Constantes lógicas: , →, ٨, ٧, ↔

2. Signos de agrupación (, ).

A los signos , →, ٨, ٧, ↔se les llama en su orden: “palito que baja hacia la derecha", “flechita hacia la derecha", “gorrito", “gorrito al revés" y “flechita hacia la izquierda y la derecha". Quizás, en inglés, suene más sofisticado: neg, right arrow, wedge, vee y left right arrow. Unos nombres más usuales, pero que ya introducen nociones semánticas, serían negación, condicional, conjunción, disyunción y bicondicional. Estos signos se llaman constantes lógicas, porque se refieren siempre a lo mismo; también las llamaremos operadores lógicos o conectores. Las letras p, etc., se llaman variables proposicionales, porque aquello a lo que se refieren cambia dependiendo del contexto, del uso que les vayamos a dar.

Para el juego de la lógica de proposiciones, en lugar de una regla como “use palabras del diccionario”, que es realmente una manera sencilla de decir que se deben usar principios morfológicos complejos, se ofrecen unas reglas gramaticales sencillas, llamadas reglas de formación.

Usaremos letras griegas como signos fuera del sistema (meta variables) para poder hablar de las expresiones de este de manera general. Es decir, la letra φ se usará como un signo que representará cualquier otro signo de nuestro juego: las variables, o cualquier otra expresión gramatical hecha a partir de variables y constantes. Los estudiantes suelen pensar que φ se refiere generalmente a una variable proposicional. No siempre pasa esto, pues se puede referir a una fórmula compleja como (p → q).

Regla gramatical 1: si φes una variable proposicional, tengo una expresión gramaticalmente correcta.

Regla gramatical 2: si tengo dos expresiones gramaticalmente correctas, φy ψ las siguientes son expresiones gramaticalmente correctas:

(φ),(φ→ ψφ٨ψφ٧ψφψ

Regla gramatical 3: solo las expresiones formadas por las dos reglas anteriores son expresiones gramaticalmente bien formadas.

Los lógicos llaman a cada expresión gramaticalmente bien formada una “fórmula”. Existen varios métodos que nos permitirán darle nombres y apellidos a la fórmula, dependiendo de la constante lógica más importante. Así, una fórmula como:

((p ) ٨ r )

Tiene como operador principal el signo ٨ de manera que se llamará “conjunción”. En este punto, es útil comparar estas fórmulas con oraciones del lenguaje natural: así como la oración “La niña golpeó la pelota" se analiza gramaticalmente, podemos analizar gramáticamente las fórmulas de la lógica proposicional. Podemos hacer un árbol que me indique cuál es el sujeto de la frase, cuál es el predicado, cuándo usamos determinantes (artículos), cuándo nombres, etc.:

En este árbol, la letra S representa a la oración completa considerada como un todo. Está compuesta de una frase nominal, o frase del sujeto (FN); de una frase verbal o frase del predicado (FV); por artículos (Art); por nombres (Nom). La figura nos muestra exactamente cómo se articulan estos elementos para formar una estructura fija, ordenada.

Podemos hacer lo mismo con las fórmulas de la lógica proposicional. Pero, es mucho más sencillo, porque en lugar de darles nombres a las partes de la fórmula, simplemente mostraremos sus componentes, desde su constante lógica principal, hasta sus variables proposicionales componentes. Continuando con la analogía, así como hay un sujeto y un predicado en una oración, en una fórmula hay una constante principal y unos componentes. Para detectar cuál es el operador principal, damos los siguientes consejos:

Un operador tiene un “alcance”, esto es, un grupo de fórmulas que se encuentran a su lado y que afecta gramaticalmente. Así como cuando se dice “Juan no vino y María come carne”, la palabra “no” no afecta a la frase “María come carne”, solo a Juan y su “acto de venir”, un operador afecta de la siguiente manera.

2.1.1. Alcance de

El operador es el signo que menos alcance tiene. Afecta solo las fórmulas que estén inmediatamente a su derecha:

((p ) ٨ r )

En este caso, solo afecta a p. Esto se indica claramente mediante los paréntesis. Así, cuando una fórmula tenga el signo adelante la llamaremos negación y su árbol se hará como sigue: indicamos justo debajo del operador principal cuál es ese operador, trazamos una rama hacia abajo que termine en la fórmula afectada:

Dado que solo afecta a una fórmula, llamamos a la un operador monario. Este hecho se representa sacando una y solo una rama debajo. El árbol de la fórmula (( p ٨q ) ), teniendo en cuenta solo su operador principal quedaría así:

Estos análisis gramaticales y los que se harán a continuación hasta el numeral “Árboles genealógicos totalmente desarrollados”, solo mostrarán el árbol teniendo en cuenta su operador principal. Luego haremos análisis completos, hasta los últimos elementos.

2.1.2. Alcance de ٧

La v tiene más alcance que pero, igual que alcance ٨. Afecta las fórmulas que están a ambos lados; el paréntesis lo indica. Como afecta dos fórmulas, se sacan dos ramas de la bifurcación:

Por ello, el signo es llamado un operador diádico o binario.

Si tenemos en cuenta solo su operador principal, el árbol de una fórmula como ( p ٧ (r )) quedaría como sigue:

2.1.3. Alcance de ٨

La ٨ afecta a las fórmulas que estén a ambos lados. Se debe tener especial cuidado de marcar mediante paréntesis su alcance, pues si aparece junto a una V no sabríamos cómo hacer el árbol correctamente. Su esquema general queda así:

Una fórmula como (p ٨ (r ٧ s)) quedaría, teniendo en cuenta solo su operador principal, así:

2.1.4. Alcance de la →

Este operador tiene mayor alcance que los tres anteriores. Afecta fórmulas a la izquierda y a la derecha, y si a la izquierda hay operadores, también los afecta; asimismo, si a su derecha hay operadores, los afecta de igual manera. Su árbol queda como sigue:

La parte izquierda se le llama antecedente o hipótesis, y a la derecha, 31 consecuente o consecuencia. Una fórmula como ((p ٨ q) → (r ٧ s)) se analiza como sigue:

2.1.5. Alcance de la

Este operador tiene el mismo alcance de la : afecta todo lo que esté a ambos lados. Por ello, es fundamental indicar con paréntesis su alcance. Su árbol queda como sigue:

2.1.6. Reglas de omisión de paréntesis

Como ya hemos introducido esta explicación sobre los alcances, podemos dar las siguientes reglas de omisión de paréntesis: la solo afecta a la fórmula inmediatamente a su derecha. Si la fórmula es compleja debe ir entre paréntesis; si es simple, los podemos obviar. La ٧ y la ٨ afectan todo lo que esté a ambos lados. Si las fórmulas son complejas, deben ir entre paréntesis. Si son simples, los podemos obviar. La → tiene más alcance que cualquier otro. Si su antecedente y consecuente son complejos, no hay necesidad de poner paréntesis, se sobre entiende que todo lo que esté a su izquierda será su antecedente, y todo lo que esté a su derecha será su consecuente. La ↔tiene el mismo alcance que la →. Se sobreentiende que todo lo que esté a su izquierda será su antecedente y todo lo que esté a su derecha será su consecuente.

Podemos hacer una tabla que indique cómo se omiten, si se puede, los paréntesis:

2.1.7. Árboles genealógicos totalmente desarrollados

Dijimos que una fórmula se analizaba totalmente indicando sus componentes simples, es decir, sus variables proposicionales. Pero los esquemas anteriores, solo nos dieron la estructura parcial de los árboles genealógicos. Ahora, debemos aplicarlos exhaustivamente para analizar las fórmulas. Analicemos las dadas anteriormente de manera exhaustiva:

2.2. Deducción para la lógica de proposiciones

El lenguaje cotidiano podemos, además de analizarlo gramaticalmente, analizarlo para ver cómo una frase se convierte en otra, cómo podemos extraer una frase de otra. Por ejemplo, de la frase “Juan y María estudian idiomas” podemos extraer dos frases: “Juan estudia idiomas” y “María estudia idiomas”. En el lenguaje de la lógica de proposiciones podemos hacer lo mismo, mediante reglas de eliminación e introducción, las cuales nos permiten eliminar las constantes , →, ٨ , ٧ , ↔. Para hacer la derivación, simplemente, indicamos las premisas, esto es, las cadenas iniciales de signos, mediante un número con un guión a su lado izquierdo. Además, indicamos cuál es la cadena que queremos obtener mediante el signo «I-». Aplicamos las reglas necesarias, indicando en cada paso cuál se usó. La letra E la usaremos para abreviar la palabra “eliminación” y la letra I para indicar la palabra “introducción”.

Las premisas las indicaremos mediante una barra horizontal al lado de un número, así: “—1)”. Como en el juego de derivar “amor” de “odio”, debemos indicar qué fórmula se obtuvo de qué otra, nombrando la regla y el paso. Esto asegura que la hayamos derivado de manera correcta. Veamos las reglas, un ejemplo de aplicación de cada una de ellas, y un comentario sobre los errores más usuales.

2.2.1. Eliminación de la ٨

Si tengo como premisa o fórmula ya demostrada una conjunción φ٨ ψ, puedo deducir cada uno de los miembros de la conjunción, φy ψpor separado. Ejemplo:

Comentario: en el lenguaje común se suele omitir este paso obvio. De la expresión “Juan y María estudian idiomas” podemos extraer dos frases: “Juan estudia idiomas” y “María estudia idiomas”, pero en el habla cotidiana no se suele hacer tal separación. En la deducción formal debe hacerse.

2.2.2. Introducción de la ٨

Si tengo como premisas o fórmulas ya demostradas dos fórmulas por separado, las puedo unir en una conjunción.

Ejemplo:

Comentario: sucede lo mismo que con la regla anterior: no se usa explícitamente en el habla cotidiana. Pero sí lo hacemos ocasionalmente: si nos piden dar el nombre de dos mosqueteros, dado que sabemos que son Athos, Porthos, Aramis, Dartañán, podemos nombrar solo a Athos y a Porthos. De una lista de cuatro elementos separados, dimos dos pegados con una conjunción.

2.2.3. Eliminación de la →

Si tengo como premisa o fórmula ya demostrada un condicional φ→ ψ, y tengo como premisa o fórmula ya demostrada una fórmula idéntica al antecedente φ, puedo obtener una fórmula idéntica al consecuente ψ.

Ejemplo:

Comentario: de lejos, es la regla más usada, más intuitiva y, por ello, la que más se malinterpreta al aplicarla en sistemas formales. Por ejemplo, si tenemos una afirmación como: “El que haga plagio será expulsado” y sabemos que “Juan hizo plagio”, sabemos que “Juan será expulsado”. Es un caso especial de esta regla: “Si hace plagio, es expulsado; hace plagio, por tanto será expulsado”. Las personas que no estudian lógica suelen usar indistintamente el “por tanto” y el “entonces”, razón por la cual se confunden. Para ellos, una frase como “Si hace plagio, entonces es expulsado” resume la derivación. El error consiste en que en esta última no hay un antecedente demostrado de manera explícita, solo es una oración condicional. El argumento completo debe hacer explícito también el antecedente e indicar que se deduce o deriva el consecuente. En el habla cotidiana, solo en casos muy particulares, asumimos que el antecedente se afirma mediante un acto de habla indirecto. Esto se ve reflejado formalmente en la tendencia a derivar el consecuente sin tener como premisa o como fórmula ya demostrada el antecedente:

-1) p → q

-2) q E → 1 (¡Error!)

Es un error formal. Es como expresar un condicional: “Si tengo dinero me compro una casa” y de pronto, sin dinero, tener la casa.

Lo aconsejable es trabajar y conseguirlo; esta necesidad de trabajar para conseguir el dinero se refleja formalmente en el hecho de que debemos demostrar el antecedente, si es que no nos lo dan como S premisa.

2.2.4. Introducción de la →

Si de una fórmula postulada φ llamada hipótesis, premisa auxiliar o supuesto) se deduce una fórmula ψ, introduzco un condicional cuyo antecedente es la hipótesis φ y cuyo consecuente es la fórmula que se deduce de ella, ψ.

Ejemplo:

Comentario: esta regla nos dice que si planteamos una hipótesis, lo único que tenemos es eso: una hipótesis y si acaso la hipótesis llega a ser cierta, tendríamos lo que de ella se deduce. Si yo me hubiera inventado los nombres, la habría llamado la regla de la lechera: “Si vendo la leche, piensa la niña, compro unas pollas. Cuando estén grandes podrán huevos y así tendré más pollos para la venta. Con ese dinero compraré un ternero, y cuando lo venda tendré dinero”. Finalmente, lo único que tiene la lechera es un sueño: “si vendo la leche tendré dinero”. Como sabemos, por andar soñando, en el camino se le regó la leche y tuvo que conseguir dinero dedicándose a actividades non sanctas. Lo mismo sucede con la 1 →: al final solo tendremos un condicional que no afirma ni su antecedente ni su consecuente. De aquí se sigue un consejo importante: si se introduce una hipótesis, se debe cancelar o cerrar introduciendo un condicional, cuyo antecedente es la hipótesis y cuyo consecuente es lo que se sigue de la hipótesis. Este hecho se representa mediante el marco que sale de la hipótesis y se cierra cuando se deduce la consecuencia esperada.

2.2.5 Eliminación de la

Si tengo una fórmula φ, puedo deducir φ eliminando las dos negaciones consecutivas.

Comentario: esta regla es de especial importancia cuando escuchamos a los políticos: “no es cierto que no haya robado el dinero” se interpreta simplemente como “me robé el dinero”. Se aplica en el lenguaje cotidiano a expresiones como “no es cierto que no...”, “no es verdad que no..” y “es falso que no..”. En español solemos hacer énfasis con expresiones como “no. nadie”. Estas no son dobles negaciones: son negaciones redundantes que refuerzan la negativa: “no hay nadie en el salón” significa que no hay una sola persona adentro del salón. Asimismo la expresión “no, no, no y no” es una negativa, no una afirmación. En cambio “no en cierto que no te ame” sí es una doble negación. Se debe tener en cuenta esto para no cometer errores de interpretación.

2.2.6. Introducción de la

Si de una hipótesis φ se deduce una fórmula ψ٨ , negamos la hipótesis.

Ejemplo:

Comentario: por excelencia, es la regla que cancela la hipótesis. Si la nos cancela las hipótesis recordando que toda la deducción es un sueño como el de la lechera, esta regla nos dice que si los sueños llegan a absurdos la hipótesis es falsa. Por ello, se le llama más comúnmente “reducción al absurdo”. La usa Sócrates en sus diálogos, Popper cuando habla del método “hipotético deductivo” como vehículo para “falsear” tesis científicas y la novia celosa cuando quiere agarrar a su novio “en la mentira”: Juan le dice a María que estaba el viernes en la noche con Pedro y ella lo interroga hasta que cae en una contradicción. La contradicción más usual aparece cuando ella previamente ha hablado con Pedro y él le dice que no estaba con Juan. Según las palabras del novio, estaba con él, y según Pedro, no estaba con él. María sabrá que le miente. Tenemos ya dos maneras de cancelar una hipótesis.

2.2.7 Introducción de la ٧

Si tengo una fórmula φ, se puede deducir una disyunción entre φ y cualquier fórmula ψ, es decir, deduzco φ٧ ψ

Ejemplo:

Comentario: esta regla luce como la más anti intuitiva; no parece que en el lenguaje cotidiano, dada una afirmación, deduzcamos una disyunción entre esta y cualquier otra. Pero de hecho sí es muy usada, en combinación con otras reglas, en particular, con la I . Tomemos como hipótesis que Juan mató a Pedro. De allí se sigue una contradicción, por ejemplo, que a la hora del asesinato estaba con su esposa en la casa. Rechazamos la hipótesis: Juan no mató a Pedro. Pero por la IV podemos inferir que Juan no mató a Pedro, o bien, que su coartada es falsa. Así que no es tan descabellada esta regla.

2.2.8. Eliminación de la v

Si tengo una fórmula φ٧ ψ e introduzco como hipótesis cada uno de los disyuntos por separado, y de cada disyunto se deduce exactamente la misma fórmula y, puedo deducir y. Se indica que se aplicó la regla al final de toda la derivación haciendo explícito: dónde está la V que se eliminó y de dónde a dónde se introdujeron las dos hipótesis.

Ejemplo:

Comentario: esta regla realmente elimina no una disyunción, sino un dilema: lo que parecían dos opciones conducen irremediablemente a la misma consecuencia, luego no hay nada que decidir. Por ejemplo, si Antígona entierra a su hermano, morirá. Si no lo hace, también morirá. De aquí se sigue que, haga lo que haga, morirá. Como veremos, es más usual encontrar esta inferencia representada en el sistema como un dilema constructivo, que es una regla derivada. Pero, la veremos después. En esta regla se postulan dos hipótesis: los dos componentes de la V. Estas hipótesis no se cancelan hasta tanto no se haya logrado derivar exactamente la misma fórmula.

2.2.9. Eliminación de ↔

Si tengo un bicondicional φ ↔ψ, puedo obtener dos condicionales:

Comentario: esta regla es más una definición. Generalmente, en otros libros las reglas que valen para el → valen para el ↔: el Modus Ponens y la E →, pues lo que se hace es saltarse pasos en la derivación.Una derivación puede constar de un número muy grande de pasos (grandes, pero finitos), de manera que hay que aplicar varias veces muchas reglas. Por ejemplo, dadas como premisas p ٨q y r ٨s, derivar q ٨s:

En este caso eliminamos las conjunciones en los pasos 1 y 2, para obtener aisladas las fórmulas q y s. Luego, aplicamos la introducción de la ٨ para obtener q s, en el sexto paso.1 Por ejemplo, veamos un caso de aplicación de la regla de introducción de la →. Aquí se postula una hipótesis y se espera llegar a una consecuencia. Esta consecuencia dependerá de la verdad de la hipótesis y esta dependencia se expresa sintácticamente en el hecho de que lo único que derivamos al final es un condicional. La semántica nos mostrará después que obtener un condicional es como no obtener nada en absoluto{1a}:

Dadas como premisas (p → q) y (q → r), derivar (p → r):

En el paso 3 se introduce una hipótesis, hecho que suele resaltarse, como dijimos, poniendo un marco que arranca desde la hipótesis y se cierra en el paso en el que se deduce la consecuencia esperada. En este caso eliminamos la → del paso 1, mediante la afirmación del antecedente, afirmación que se da en 3, para obtener q en el paso 4. Se repite la misma operación para obtener r en el paso 5; dado que r era lo que quería deducirse como consecuencia de la hipótesis, se introduce una →, cuyo antecedente es la hipótesis y cuyo consecuente es la fórmula final que se deduce. Lo que está en el cuadro se llama “demostración subordinada” a la hipótesis; este hecho se indica afirmando que la regla va de los pasos 3 al 5 (aquí se escribió como i →3-5). El problema suele ser el planteamiento de la hipótesis: ¿cómo sé yo, preguntan los estudiantes, cuál es la fórmula que debo postular? Más adelante, volveré sobre esta pregunta, pues justamente son este tipo de dudas las que obligan y, de hecho, demuestran que una demostración es o se puede ver como más que un cálculo.

El mismo problema surge cuando se aplica la regla de la introducción de la que también se suele llamar demostración indirecta o reducción al absurdo. Si bien es cierto que la lógica se ve como un cálculo, los razonamientos necesarios para solucionar este tipo de problemas complejos no son “mecánicos”, en principio. Por supuesto, la idea es que el estudiante llegue a interiorizar esta manera de razonar para que reconozca estos esquemas allí donde aparezcan y verifique rápidamente la validez. De ahí que afirmar que la esencia de una demostración sea el probar “en el vacío” hay mucho trecho; estos ejercicios son a las pruebas matemáticas lo que los ejercicios de pronunciación y redacción son al bien hablar en comunidad.

2.2.10. Resumen de las reglas primitivas

A continuación, presentamos un esquema de las ocho reglas primitivas del cálculo de deducción natural, en la versión más usual; esto es, la más utilizada en los libros iberoamericanos. Los puntos suspensivos : significan que se han realizado correctamente pasos deductivos. El cajón □ representa que se ha introducido y cancelado correctamente una hipótesis que se postula justo debajo del borde superior y se cierra justo en el paso arriba del borde inferior.

2.3. Abducción, de nuevo

El siguiente ejercicio suele presentar problemas al estudiante: dadas -1) p → q y -2) q → r. ¿Cómo sabemos que debemos postular "p" para demostrar la fórmula q → r? Supongamos que un estudiante plantea una fórmula cualquiera; finalmente, nada me impide, en principio, suponer cualquier cosa que se me ocurra por disparatada que sea. En este caso, dadas las dos premisas anteriores, postuló r. Debemos proceder a desechar —no confundamos esto con cancelar o cerrar— dicho supuesto: toda fórmula postulada debe ser cerrada. Solo hay dos formas de cerrar una hipótesis: mediante la regla I →, o mediante la regla I . Supongamos que aplicamos la primera: sabemos que esta nos permite inferir únicamente un condicional, cuyo antecedente es la hipótesis y cuyo consecuente es la fórmula que se deduce de aquella. Según esto, al final, de hacer correctamente la deducción, obtendremos, esbozando la derivación, algo como lo que sigue (los signos suspensivos representan pasos correctos):

Si partimos de r, concluiremos que r → φ. Sea lo que sea φ, este condicional no se parece en nada al que tenemos que demostrar: p →r. En particular, porque tienen antecedentes diferentes. Si aplicamos la otra regla, I obtendremos algo como lo siguiente:

En este caso, si encontramos una contradicción, la fórmula que postulamos se negará y tendremos r. De nuevo, si iniciáramos nuestra demostración con r obtendríamos algo diferente de p → r. Ello muestra que debemos desechar (léase bien, desechar, no negar) la hipótesis. Así, podremos postular diferentes fórmulas hasta dar con p y descubrir con esto lo siguiente:

Si postulamos p, al final obtendríamos un condicional p → φ, que al menos es similar al que queremos demostrar, por cuanto tienen el mismo antecedente. Finalmente, por ensayo y error, hemos hallado la hipótesis que nos conducirá a la conclusión deseada. Siguiendo a Pierce, si la abducción es definida como la selección provisional de una hipótesis, el procedimiento que nos ayuda a postular la hipótesis correcta es abductivo.

2.4. Inducciones

Entendida como una generalización que parte de casos particulares verdaderos y llega a generalidades probables, la inducción me ayuda también a formular posibles métodos para solucionar problemas. Por ejemplo, a partir de lo dicho en el numeral anterior, se puede hacer una generalización, que llamaré "consejo", sobre la manera de demostrar condicionales.

2.4.1. Consejo 1

La mayoría de las veces, cuando piden demostrar un condicional, se debe postular el antecedente del condicional que me piden demostrar.

Por supuesto, esto es una afirmación solo probable —podríamos hacer la prueba indirecta negando lo que me piden—, pero ayudará en la realización de los ejercicios. Otra serie de generalizaciones serían las siguientes.

2.4.2. Consejo 2

Si no he podido demostrar una fórmula φ usando reglas sencillas, se debe tratar usando reducción al absurdo. Para ello, postulo como hipótesis lo contrario a φ, en este caso: φ, y trato de llegar a una contradicción. Si lo que me piden demostrar es una negación, por ejemplo ψ, postulo como hipótesis ψ. Veamos un ejemplo de esta última:

Dadas como premisas ((p ٨ s) → q) y ( q) , derivar (p ٨ s). Siguiendo el consejo 2, debo postular lo contrario a (p ٨ s), es decir, debo postular como hipótesis (p ٨ s):

La contradicción se obtiene en 5, pegando q y q mediante el signo ٨ y debido a esto se niega el supuesto.

2.4.3. Consejo 3

Siga la regla, no la interprete, no la lea al revés, no invente reglas a menos que pueda demostrarlas formalmente con las reglas primitivas de manera correcta.

2.4.4. Consejo 4

Cierre, elimine, cancele toda hipótesis que postule. Solo hay dos formas de eliminar una hipótesis:

A) Introduciendo el →, en cuyo caso debe:

i) Introducir una hipótesis, que generalmente es el antecedente del que piden demostrar.

ii) Cerrar el marco.

iii) Introducir un → cuyo antecedente es la hipótesis y cuyo consecuente es lo que se infiere de la hipótesis.

B) Introduciendo la

C) en cuyo caso se hace lo siguiente:

i) Se postula la hipótesis, que generalmente es lo contrario de lo que se quiere demostrar.

ii) Se deduce una contradicción se cierra el marco y se niega la hipótesis.

2.4.5. Consejo 5

En el 99,9% de los casos, cuando nos dan una disyunción como premisa, se debe usar E V. En este caso se postulan dos hipótesis, que se eliminan de la siguiente forma: de cada una de ellas se debe llegar a la misma fórmula, para así deducirla correctamente.

Estos son consejos que pueden guiar al estudiante para hacer una derivación. Su seguimiento garantiza que el estudiante sabrá qué hacer ante un ejercicio. Pero, a medida que las derivaciones se hagan más complejas o se aprendan las reglas derivadas, los consejos pueden volverse más bien un estorbo que haga las demostraciones más largas de lo debido. Por ello, son consejos y no reglas fijas.

2.5. Inducción matemática

Hay una manera de probar generalizaciones inductivas: mediante el principio de inducción matemática, que es realmente una regla deductiva: de premisas verdaderas se llega a conclusiones necesariamente verdaderas. Este dice que si un número n tiene una propiedad y demostramos que su sucesor, esto es, el número n + 1, la tiene, todos los números la tienen. Aplicado a la lógica de proposiciones podemos formular el principio así:

2.5.1. Principio inducción matemática para la lógica de proposiciones

Sean φ y ψ fórmulas. Si:

i) φ es una variable proposicional y tiene una propiedad Ф, y además,

ii) (, φ) tiene la propiedad Ф, y además,

iii) (φ → ψ), (φ ٨ ψ), (φ ٧ ψ), (φ↔ ψ) tienen la propiedad,

entonces,

Toda fórmula tiene la propiedad O.

Por ejemplo, demostremos que el número de paréntesis de una fórmula es siempre par.

2.5.1. Proposición 0

Si φ es una fórmula, entonces tiene un número par de paréntesis.

Demostración:

i) Sea φ una variable proposicional que tiene la propiedad de que su número de paréntesis es par. En efecto, cero es múltiplo de dos puesto que 2 x 0 = 0.

ii) (φ) tiene la propiedad de que su número de paréntesis es par.

iii) (φ → ψ), (φ ٨ ψ), (φ ٧ ψ), (φ↔ ψ) tienen la propiedad de que su número de paréntesis es par.

Dado que se da el antecedente, se da su consecuente: toda fórmula tiene la propiedad de que su número de paréntesis es par.

Parece una proposición trivial, pero nótese que se sigue de allí una consecuencia interesante y útil: si el número de paréntesis de una cadena de símbolos no es par, no es una fórmula. Así, que si queremos saber si la siguiente es una fórmula, podemos empezar por contar su número de paréntesis:

((p ٨ q) → r → t ) ٧ s)

Dado que su número de paréntesis es cinco y no es par, se sigue que no es una fórmula. Ahora bien, ¡cuidado!, si el número es par, no se sigue que sea una fórmula: sería cometer la falacia de afirmación del consecuente. En efecto, vean la siguiente sarta de signos:

(p → r → s)

En este caso el número de paréntesis es par, pero no es una fórmula: no podemos establecer claramente cuál es el antecedente y el consecuente.

2.6. Reglas derivadas

Una regla derivada es la abreviación de una demostración hecha con reglas primitivas que se puede usar para abreviar demostraciones en las que aparece aquella derivación. Por ejemplo, podemos hacer más corta una demostración por reducción al absurdo de la siguiente manera: si tenemos un condicional y tenemos la negación de una fórmula idéntica a su consecuente, podemos demostrar la negación de una fórmula idéntica al antecedente. Esta es la formulación de una regla derivada llamada tollendo tollens. Su demostración quedaría como sigue:

El esquema queda resumido como sigue:

Nótese que los pasos 3 a 5 de la demostración en el consejo 2 corresponden a los mismos pasos aquí, solo que remplazando p ٨ s por φ y q por ψ. Así, podemos aplicar esta regla derivada del Tollendo tollens para acortar esa demostración:

Nos hemos ahorrado así tres pasos de la deducción original. Las reglas derivadas pueden incluso ser más usadas en la vida diaria que las primitivas. Por ejemplo, es más usual encontrar el tollendo tollens que una reducción al absurdo en un artículo de prensa:

Ahora Uribe sale a reprender en público a Palacio. Pero hasta un niño puede darse cuenta de que su regaño no es nada sincero: si en verdad creyera que su Ministro ha sido un irresponsable, o simplemente un inepto, ¿un hombre con el carácter de Uribe ya no lo hubiera despedido? (Klaus Ziegler, "Estado de sugestión”).{2}

En este caso, el argumento queda como sigue:

"Si el presidente Uribe creyera que Palacio ha sido un irresponsable, o simplemente un inepto, entonces lo abría despedido. Pero no lo ha despedido, por tanto, no cree que Palacio sea un irresponsable o simplemente un inepto”. Es claramente un tollendo tollens.

A continuación, doy una lista de las reglas derivadas más usadas, y otras que serán útiles en las demostraciones matemáticas de los capítulos posteriores:

Un ejercicio excelente consiste en demostrar estas reglas a partir de las primitivas. Aquí solo ofreceré la demostración de un caso de las leyes de De Morgan. En general, esta regla dice lo siguiente: si tengo una conjunción, puedo obtener la negación de una disyunción de negaciones; si tengo una disyunción, puedo obtener la negación de una conjunción de negaciones. La demostración de la regla suele ser omitida en muchos manuales, por ello será la única que haga aquí.

En este caso, solo se han usado reglas primitivas para la demostración, pero se podrían usar también derivadas, excepto, por supuesto, De Morgan.