Read the book: «La teoría del caos»
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ISBN: 9788491875291
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Índice
Introducción
La atmósfera y el sistema solar: caos en la tierra y en el cielo
¿Qué es el caos?
¿Qué tiene de extraño un atractor extraño?
Caos clásico y caos cuántico
Aplicaciones del caos
Bibliografía
Introducción
El 2 de agosto de 2027 habrá un eclipse total de Sol que será visible en España, Marruecos, Libia, Argelia, Egipto, Arabia Saudí, Yemen y Somalia. El eclipse comenzará a las 8 horas, 41 minutos y 36 segundos (tiempo universal) y finalizará a las 11 horas, 27 minutos y 41 segundos; su fase máxima tendrá lugar a las 10 horas y 6 minutos.
Tales de Mileto predijo un eclipse el 28 de mayo de 585 a.C. No es que tengamos documentos históricos de tanta precisión, sino que, al igual que podemos calcular lo que ocurrirá en el futuro, también podemos calcular lo que ocurrió en el pasado. Los astrónomos han determinado que en esa fecha hubo un eclipse total de Sol visible desde Asia Menor, y durante muchos años no hubo otro de similares características visible en la zona, por lo que debió de ser ese el que Tales predijo.
La mecánica clásica es determinista. Rige el movimiento de planetas, satélites y proyectiles. Sus leyes fueron establecidas por Galileo y Newton, y desarrolladas durante los siglos XVII, XVIII y XIX por físicos y matemáticos. Conocidas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, y dadas su posición y su velocidad iniciales, las leyes de la mecánica clásica permiten calcular con toda precisión su trayectoria futura. Eso es el determinismo.
El determinismo absoluto dentro de la física empezó a ser cuestionado a finales del siglo XIX por teóricos como Ludwig Boltzmann, que introdujeron el concepto de probabilidad para dar una interpretación mecánica a la termodinámica. La concepción de Boltzmann utilizaba la mecánica clásica para describir el movimiento de las moléculas, por ejemplo, en los choques entre dos moléculas en un gas. Pero aunque estos choques siguieran una dinámica estrictamente determinista, la descripción global de un cuerpo macroscópico no dependía del movimiento detallado de sus moléculas, sino de promedios estadísticos sobre un gran número de ellas. Y ahí entraba la teoría de probabilidades. El determinismo sufrió una revisión aún más profunda con el advenimiento de la mecánica cuántica y, en particular, del principio de incertidumbre de Heisenberg. Según Heisenberg, en mecánica cuántica no podemos predecir con absoluta certeza la posición de una partícula, solo dar la probabilidad de que se encuentre en determinado punto del espacio. Podemos hacer predicciones, y de hecho las predicciones de la mecánica cuántica se encuentran entre las más precisas nunca realizadas, pero no determinar la trayectoria de una partícula con absoluta precisión. En realidad, el concepto de trayectoria de una partícula carece de sentido en mecánica cuántica.
Exceptuando las cuestiones estadísticas suscitadas por Boltzmann, la mecánica newtoniana, que rige el movimiento de los cuerpos macroscópicos y, por tanto, la física de nuestro día a día, parecía ajena a estos ataques al determinismo. El primero que vislumbró que también la mecánica clásica podía no ser tan determinista como se daba por cierto fue el gran matemático y físico francés Henri Poincaré. En el curso de sus investigaciones sobre el problema de los tres cuerpos sometidos a su mutua atracción gravitatoria, que le valió un premio convocado por el rey Óscar II de Suecia, Poincaré encontró que había situaciones en las que no era posible dar una solución cerrada a las trayectorias de los planetas. Además, vislumbró el primer ejemplo de trayectoria caótica.
Pero no fue hasta mediados del siglo XX cuando lo que hoy conocemos como caos determinista hizo su irrupción definitiva. Y lo hizo más o menos simultáneamente en varios países y en varias disciplinas. Físicos y matemáticos fueron los artífices de esta tercera revolución de la física del siglo XX, tras la relatividad y la mecánica cuántica, pero también participaron en ella biólogos, químicos y economistas, y la aparición de los primeros ordenadores fue una de las claves de esta irrupción. Los ordenadores permitían abordar problemas que los métodos tradicionales de la física y las matemáticas no habían podido resolver.
El caos determinista se presenta cuando un sistema sometido a leyes o reglas perfectamente determinadas se comporta de manera errática y, aparentemente, aleatoria. El comportamiento dinámico de un sistema caótico determinista tiene características diferentes a las de un sistema puramente aleatorio, y a lo largo de la segunda mitad del siglo XX los científicos fueron hallando y definiendo estas características. La más importante de todas ellas es la sensibilidad a las condiciones iniciales: dos estados inicialmente muy próximos pueden dar lugar a estados futuros completamente separados. Aunque la sensibilidad a las condiciones iniciales fue prevista por Poincaré, fue el meteorólogo estadounidense Edward Lorenz el primero en desarrollar un sistema caótico determinista que poseía esta propiedad. Para ilustrar la sensibilidad a las condiciones iniciales, Edward Lorenz acuñó la expresión «efecto mariposa», que hoy en día ha trascendido el campo de las matemáticas.
Además de la sensibilidad a las condiciones iniciales, los sistemas caóticos deterministas exhiben otras propiedades características como son la recurrencia, la autosimilaridad y la fractalidad. La recurrencia se refiere a que el sistema vuelve una y otra vez a estados muy similares al de partida. La autosimilaridad y la fractalidad se explicarán a lo largo de esta obra.
El sistema solar y la atmósfera son sistemas caóticos, aunque lo son en diferentes escalas de tiempo. Ambos están entre los primeros sistemas caóticos estudiados. El sistema solar fue el objeto de estudio en que Poincaré halló por primera vez algunos de los elementos del caos. Los ordenadores permitieron, a finales del siglo pasado, estudiar el movimiento del sistema solar en detalle y calcular su futuro a millones de años vista. Se reveló entonces que el futuro del sistema, en esa escala de tiempo, es incierto e impredecible. La atmósfera también es caótica y Lorenz fue de los primeros científicos en tratar de cuantificar este hecho, recurriendo también al cálculo por ordenador.
No es necesario que un sistema dependa de un gran número de variables para que su comportamiento pueda ser caótico. Este es uno de los descubrimientos más relevantes de la teoría del caos. En el caso de sistemas cuya evolución depende de forma continua del tiempo bastan, de hecho, solo tres variables para que el caos sea posible. Esto permite mostrar las características esenciales del caos determinista en sistemas relativamente simples, como un péndulo o una pelota que bota sobre una mesa que vibra. En uno de los problemas estudiados por Poincaré, se trataba de un planeta que orbita entre otros dos. Las tres variables involucradas son las dos coordenadas del planeta en el plano de la órbita y su velocidad. El biólogo teórico Robert May estudió un modelo aún más simple, con una sola variable. El contexto era la dinámica de poblaciones y en su modelo la única variable era el número de individuos de una especie dada. Una sencilla función matemática establecía la población de una generación conocido el número de individuos de la generación anterior. May encontró que, bajo determinadas condiciones, el número de individuos de la población podía variar erráticamente de una generación a otra, es decir, se comportaba de manera caótica. El físico Mitchell Feigenbaum estudió el mismo modelo y demostró que representaba una evolución hacia el caos que estaba caracterizada por cantidades universales, en el sentido de que no dependían de la forma detallada de la función matemática utilizada en el modelo.
La evolución en el tiempo de un sistema cualquiera puede representarse gráficamente. Por ejemplo, podríamos representar en un plano todas las órbitas posibles de un planeta en torno al Sol, dependiendo de su posición y velocidad en un momento dado. En ese caso podríamos rellenar el plano con todas las trayectorias posibles. Pues bien, cuando se representa gráficamente la evolución de un sistema caótico aparece un objeto geométrico muy peculiar: el atractor extraño. Un atractor extraño es un objeto que no llena completamente el volumen o el área que ocupa. Se dice que un atractor extraño es fractal. Las líneas que lo recorren, las trayectorias posibles del sistema que representa, se separan y se unen a la vez. Las propiedades matemáticas de los atractores extraños son, como veremos, ciertamente singulares.
Los atractores extraños aparecen en sistemas que disipan energía y que precisan de un aporte continuo de energía desde el exterior. Por ejemplo, el movimiento atmosférico toma su energía del calentamiento solar, y la viscosidad del aire se encarga de disipar la energía en los torbellinos o en el rozamiento con el suelo. Pero el caos también existe en sistemas que no disipan energía, como el propio sistema solar. Es a una prodigiosa generación de matemáticos de la Rusia soviética a quienes debemos una buena parte de la teoría del caos en los sistemas de este tipo, en los que la energía total se conserva, y que reciben el nombre genérico de sistemas conservativos.
Cuando la teoría del caos determinista empezó a tomar forma, la mecánica cuántica ya era una teoría madura. Surgió muy pronto la pregunta de cómo influía el caos en mecánica cuántica. Dicho de otro modo, ¿qué ocurre en los sistemas cuánticos cuyo correspondiente sistema clásico es caótico? La sensibilidad a las condiciones iniciales, una de las claves del caos determinista, no puede estar presente en la mecánica cuántica, porque, como hemos dicho, el concepto de trayectoria no tiene cabida. De alguna forma, la mecánica cuántica limita o suaviza el caos. Pero las consecuencias del caos sí se dejan sentir en algunas características, como la distribución de los niveles de energía en los sistemas cuánticos caóticos.
Los conceptos matemáticos elaborados para entender el caos determinista han encontrado aplicación en otros campos de la ciencia, más allá de la física y las matemáticas. La biología, la química e incluso la economía han hallado en las matemáticas del caos herramientas para estudiar sus propios sistemas. Como ha demostrado la teoría del caos, un sistema que se comporta de manera irregular no tiene por qué ser extremadamente complicado, quizá baste seguir la evolución de solo unas pocas variables para describir ese comportamiento. Esta idea de partida ha motivado numerosos estudios en todas estas disciplinas con diversa fortuna. Se han encontrado reacciones químicas que siguen las leyes del caos determinista y su comportamiento complejo se puede explicar a partir de unas pocas variables. También se han construido circuitos electrónicos caóticos y se usa el caos para determinadas tareas en ciertos microdispositivos. Pero la existencia del caos determinista y su interés en biología ha quedado patente solo en algunos casos. Y mucho más discutible es su aplicabilidad e interés en economía, aunque algunas herramientas matemáticas desarrolladas en el contexto del caos determinista han sido incorporadas plenamente por los economistas.
Caos es una palabra antigua, de origen griego. Significa «confusión, desorden». Su antónimo original es cosmos, también de origen griego, que significa «orden». Así, según la Biblia, reinaba el caos antes de que Dios pusiera orden en las cosas, creando el cosmos. Pero el uso, el tiempo y, a veces, también la ciencia, van modificando el sentido de las palabras, ampliándolo, matizándolo. La expresión caos determinista es, en cierta forma, una contradicción en sí misma, pero ilustra un tipo de comportamiento muy atractivo, equidistante del caos absoluto y del determinismo absoluto. Justo donde suceden las cosas interesantes. Es un comportamiento irregular, pero que sigue reglas definidas. Parcialmente predecible, parcialmente impredecible, pero con normas y estructuras subyacentes. Como la vida misma.
La atmósfera y el sistema solar: caos en la tierra y en el cielo
Cuenta una antigua leyenda china que había una región llamada Qi cuyos habitantes se preguntaban si algún día el cielo caería sobre sus cabezas. Les preocupaba que el Sol y las estrellas dejaran de moverse y se precipitaran sobre la Tierra. Esa preocupación se extendió por toda la región hasta tal punto que sus habitantes empezaron a olvidarse de todo, incluso de las actividades más necesarias, como son dormir y comer. Los qiítas se pasaban el día mirando al cielo, temerosos de que les cayera encima. Esta leyenda se usa habitualmente en China para advertir de los peligros de las preocupaciones sin sentido y los qiítas son vistos, por lo tanto, como un ejemplo de imbecilidad.
Sin embargo, nuestra civilización debe mucho a los grandes personajes que a lo largo de la historia se han planteado, de una u otra forma, la misma pregunta que los qiítas. Podemos recordar aquí a Tomás de Aquino (ca. 1224-1274), el famoso fraile y filósofo medieval. Para él era Dios, el primer motor, quien había puesto en movimiento los objetos celestes, y este movimiento era eterno e imperturbable. Si el cielo no se nos caía encima era por obra y gracia de Dios, que así lo había dispuesto.
El físico inglés Isaac Newton estableció su teoría de la gravedad a finales del siglo XVII. La teoría de Newton unificaba en una sola ley física dos fenómenos aparentemente distintos: la caída de un cuerpo en la Tierra y el movimiento orbital de planetas y satélites. La fuerza gravitatoria era la responsable de ambos movimientos. Según Newton, la Luna «caía» realmente a la Tierra, atraída por la misma fuerza que hace caer a una piedra, pero el movimiento de la Luna en dirección paralela a la superficie de la Tierra y la esfericidad de esta hacen que esta caída se transforme en un dar vueltas sin fin. Newton fue capaz de demostrar que la ley de la gravedad por él propuesta producía las órbitas elípticas que Kepler había observado en los planetas, pero no decía nada acerca del porqué de sus movimientos transversales. Si la Luna no estuviera animada de un movimiento transversal caería «a plomo» sobre nosotros, tal y como temían los qiítas.
En este punto Newton, hombre profundamente religioso, recurrió a Dios, como siglos antes había hecho Tomás de Aquino. Dios, el creador, había animado los planetas y sus satélites con sus movimientos iniciales, lo que hacía posible que la Tierra y todos los planetas orbitaran alrededor del Sol, y la Luna alrededor de la Tierra. Pero había algo inquietante: la Tierra no era atraída solo por el Sol, sino también por el resto de los planetas. Como la masa del Sol es muchísimo más grande que la de cualquier otro planeta, su fuerza es la que manda, y los planetas describen sus órbitas alrededor de él. Pero estas órbitas no son elipses inmutables, como cabría esperar si cada planeta estuviera solo con el Sol en el universo, sino que están perturbadas por las fuerzas de atracción de los otros planetas. Estas fuerzas son muy pequeñas comparadas con la del Sol, casi imperceptibles, pero Newton comprendió que su acción continuada a lo largo de los siglos podía desbaratar el engranaje y dar al traste con todo. A falta de una explicación mejor, Newton, hijo de una época ajena a la idea de evolución, acudió de nuevo a Dios, al que otorgó el papel de vigilante del buen orden cósmico: era Dios el que, de vez en cuando, reajustaba las órbitas para que las pequeñas fuerzas entre los distintos cuerpos no rompieran el orden establecido.
Pero ¿cómo adquirieron la Luna y los planetas su movimiento transversal? Que sepamos, fue Immanuel Kant el primero que introdujo, un siglo después de Newton, la hipótesis de que el sistema solar había evolucionado a partir de una nebulosa. En la época de Kant el avance en la construcción de telescopios había permitido descubrir varias nebulosas: objetos no estelares de aspecto difuminado. Estas nebulosas inspiraron al filósofo la hipótesis, que, en lo esencial, se sigue considerando correcta hoy en día, de que el sistema solar se originó a partir de una inmensa nube de gas y polvo: la nebulosa solar. Los planetas y el Sol heredaron sus movimientos de traslación y rotación del giro que la nebulosa primordial efectuaba sobre sí misma. A medida que la nebulosa se contraía y se formaban los planetas, estos iban aumentando su velocidad de traslación, de forma análoga a la aceleración que experimenta el agua en el torbellino que se produce cuando escapa por el desagüe del lavabo. Una de las virtudes de esta hipótesis es que explica por qué todos los planetas orbitan en el mismo sentido: es el mismo sentido en que giraba la nebulosa sobre sí misma. ¡Menos trabajo para Dios!
¿ES INESTABLE EL SISTEMA SOLAR?
Pierre-Simon de Laplace, astrónomo y matemático francés de la época de la Revolución, estudió el movimiento de los planetas al detalle, intentando averiguar si las perturbaciones que unos ejercían sobre otros, esas que tanto inquietaban a Newton, terminarían por desbaratar el orden cósmico o si, por el contrario, sus órbitas eran estables a largo plazo. Laplace ideó métodos de cálculo aproximados para encontrar la órbita de un planeta perturbado por la presencia de otro y descubrió que los movimientos medios de los planetas eran constantes. Un caso que interesaba especialmente a los astrónomos era el de Júpiter y Saturno. Según las medidas de la época, Júpiter se aceleraba poco a poco, describiendo su órbita cada vez más rápidamente (hay que aclarar que estamos hablando de incrementos minúsculos en su velocidad orbital). A su vez, Saturno iba desacelerándose. Laplace demostró que estas variaciones eran consecuencia de su atracción mutua y, lo más importante, que el comportamiento era periódico: cada 450 años la situación se revertía y era Júpiter el que se frenaba y Saturno el que se aceleraba. A los 900 años ambos volvían a su posición inicial.
El cálculo realizado con Júpiter y Saturno hizo creer a Laplace que las perturbaciones entre planetas no amenazaban la estabilidad del sistema solar, y así lo publicó en su estudio que presentó al mismísimo Napoleón con el título de Tratado de mecánica celeste. Napoleón era un amante de las ciencias, aficionado a las matemáticas, e impulsó la creación de varios centros de enseñanza superior en Francia. Según se cuenta, reprochó a Laplace que no hablara de Dios en su libro, a lo que este contestó: «No he necesitado esa hipótesis». Laplace había librado a Dios del trabajo newtoniano de reajustar las órbitas cada cierto tiempo.
Pero las cosas no eran tan fáciles, y a mediados del siglo XIX la estabilidad del sistema solar de nuevo fue puesta en cuestión. El astrónomo francés Urbain Le Verrier, famoso por predecir la existencia del planeta Neptuno, amplió los cálculos de Laplace y se percató de que había perturbaciones más pequeñas que las consideradas por este que tal vez invalidaban los cálculos. Le Verrier se preguntó si estas pequeñas perturbaciones, en un principio menores, podían causar a largo plazo efectos devastadores. ¿Era lícito no tenerlas en cuenta?
Así, el problema fue uno de los temas del premio matemático que el rey Óscar II de Suecia convocó con motivo de su 60.º cumpleaños. El matemático sueco Gösta Mittag-Leffler había convencido al rey, muy interesado en las matemáticas, para que convocara el premio y lo dotara generosamente, de forma que atrajera a los mejores matemáticos de toda Europa. El premio consistía en una medalla de oro conmemorativa y dos mil quinientas coronas suecas. El matemático francés Henri Poincaré ganó el premio con una memoria titulada «Sobre el problema de los tres cuerpos y las ecuaciones de la dinámica». Volveremos más adelante a Poincaré y a su memoria ganadora del premio del rey Óscar porque esta forma parte de la historia del caos determinista, pero por ahora digamos solo que una de las conclusiones de Poincaré fue que el problema era, en cierto modo, irresoluble. En otras palabras, a la pregunta: «¿Se nos caerá el cielo encima algún día?», la respuesta de Poincaré era: «No podemos saberlo con certeza».
Considerar el sistema solar como un todo es un problema formidable, aunque lo restrinjamos solo a los planetas y sus satélites más grandes. Habría que resolver la trayectoria de decenas de cuerpos en mutua atracción gravitatoria. De modo que Poincaré no se planteó en su trabajo el problema completo, sino una versión reducida de un problema más sencillo: el llamado problema de los tres cuerpos. El problema de los tres cuerpos consiste en encontrar las trayectorias de tres cuerpos masivos sometidos a mutua atracción gravitatoria. Pero incluso este problema en su forma general, sin poner restricciones a la masa y a las trayectorias de los cuerpos, es demasiado difícil. Así que Poincaré se planteó a fondo un problema más sencillo: el problema de los tres cuerpos restringido.
En su memoria, Poincaré escribía:
Imaginemos dos cuerpos, el primero de gran masa, el segundo de masa finita, pero muy pequeña, y supongamos que estos dos cuerpos describen en torno a su centro de gravedad común una circunferencia en un movimiento uniforme. Consideremos además un tercer cuerpo, de masa infinitamente pequeña, de forma que su movimiento se ve afectado por la atracción de los dos primeros cuerpos, pero él no puede afectar la órbita de estos dos primeros cuerpos. Limitémonos además al caso en que este tercer cuerpo se mueve en el plano de las circunferencias descritas por los dos primeros cuerpos. Este es el caso de un pequeño planeta que se mueve bajo la influencia de Júpiter y del Sol cuando se desprecia la excentricidad de Júpiter y la inclinación de las órbitas. Este es el caso también de la Luna moviéndose bajo la influencia del Sol y de la Tierra cuando se desprecia la excentricidad de la Tierra y la inclinación de la órbita de la Luna respecto de la eclíptica.
También sería el caso, por ejemplo, de una de las naves Apolo en su viaje de la Tierra a la Luna.
Los modernos ordenadores permiten resolver numéricamente el problema con mucha precisión. Los ordenadores no proporcionan una fórmula matemática de la trayectoria del planeta, sino que, utilizando algoritmos especialmente diseñados, dan los valores numéricos de la posición del planeta en sucesivos instantes de tiempo previamente escogidos. Poincaré no tenía ordenador, pero sí una gran perspicacia y una profunda intuición matemática. Uno de sus muchos descubrimientos fue darse cuenta de que había dos tipos de soluciones. Por un lado, aquellas que podríamos llamar regulares: trayectorias normales que admiten bien una solución explícita o bien aproximaciones suficientemente buenas. Pero, por otro lado, había trayectorias que no seguían esa pauta. Y esas trayectorias no regulares impedían resolver de manera general el problema de los tres cuerpos y, por extensión, el del sistema solar como un todo. Hoy en día llamaríamos caóticas a estas soluciones. En el caso del sistema solar la clave del problema estaba, como Poincaré explicaba en su memoria, en las resonancias.
LAS RESONANCIAS PERTURBAN LAS ÓRBITAS PLANETARIAS
La palabra resonancia describe un gran número de fenómenos en campos muy diversos, alguno de los cuales incluso ha entrado a formar parte del habla cotidiana, como, por ejemplo, la resonancia magnética nuclear. La resonancia se produce en sistemas que presentan algún tipo de comportamiento periódico. Las resonancias mecánicas son las más sencillas y se dan entre dos cuerpos que tienen la misma frecuencia natural de oscilación. Pensemos en una guitarra bien afinada en la que pulsamos una cuerda. Esta oscila con una frecuencia que viene determinada por el material del que está hecha, su grosor y su longitud. Si acercamos esta guitarra a otra guitarra que esté bien afinada, observaremos que esta última, que no hemos tocado, también suena levemente. El sonido de la cuerda que hemos hecho vibrar ha excitado oscilaciones en la cuerda de la guitarra que no hemos tocado. Para que este fenómeno ocurra, las dos cuerdas deben estar bien afinadas, es decir, vibrar, de manera natural, exactamente a la misma frecuencia.
Otro fenómeno resonante al que estamos habituados en nuestra vida diaria es la sintonización de una emisora de radio. Las emisoras de radio emiten ondas electromagnéticas que se propagan por el aire hasta nuestros receptores. Cada emisora tiene una frecuencia característica de emisión, asignada por las autoridades competentes. En el caso de la FM estas frecuencias están en el rango de los cientos de megahercios. Pues bien, cuando giramos el dial de nuestro receptor estamos ajustando la frecuencia de oscilación de un circuito eléctrico interior para que oscile exactamente a la misma frecuencia de la emisora que queremos oír. El circuito entra así en resonancia con la onda entrante y produce una señal eléctrica que es amplificada, demodulada y transmitida a los altavoces.
Volvamos al sistema solar. Las resonancias entre dos cuerpos se dan cada vez que sus periodos orbitales, esto es, el tiempo que tardan en completar una vuelta alrededor del Sol, están en una razón que sea un número racional, por ejemplo 1:2, 2:3, 3:5, etc. Supongamos, para fijar las ideas, que tenemos dos planetas imaginarios, el planeta A y el planeta B, cuyos periodos orbitales son, respectivamente, 40 y 60 años. La razón entre ambos periodos es de 2:3. Si partimos de una posición en la que los dos planetas están alineados con el Sol, como en el primer dibujo de la figura 1, al cabo de 120 años el planeta A habrá dado tres vueltas completas, y el planeta B dos vueltas completas, con lo que ambos se encontrarán de nuevo en la misma posición relativa. Supongamos que el planeta B es muy masivo y el A es más bien pequeño. El resultado de esta situación es que cada 120 años el planeta B tirará levemente del A alejándolo del Sol. El efecto puede ser muy pequeño, porque la atracción solar es mucho más importante, pero se produce periódicamente, cada 120 años, con lo que tiene un efecto acumulativo que terminará por sacar a A de su órbita.
Una de las consecuencias más notables de la existencia de las resonancias gravitatorias en el sistema solar es la existencia del cinturón de asteroides. Además, las resonancias también determinan la disposición de los asteroides dentro del cinturón. Veamos cómo ocurre esto.
Las distancias de los planetas al Sol siguen aproximadamente una regla, conocida como ley de Titius-Bode. La figura 2 muestra la distancia de los planetas al Sol en función de su número de orden tomando a Mercurio como el primero. Se observa que estas distancias siguen una pauta clara, pero entre Marte y Júpiter parece haber un hueco que no ha sido ocupado por ningún planeta.
Este hueco está ocupado por un gran número de pequeños cuerpos rocosos, los asteroides. Estos ocupan una zona en la que hay varias órbitas que están en resonancia con la órbita de Júpiter. A la distancia de 3,28 UA, la órbita de un astro tiene un periodo que es justo la mitad del de Júpiter. Esto significa que un objeto que estuviera orbitando a esa distancia del Sol encontraría a Júpiter en la misma posición cada dos vueltas (resonancia 2:1). En esta circunstancia la atracción gravitatoria del planeta, el segundo objeto más masivo del sistema solar, daría un pequeño tirón del hipotético astro cada vez que se encontraran, y como la posición relativa sería siempre la misma, el efecto de los tirones se iría acumulando, hasta sacar al objeto de esa órbita y enviarlo a una órbita no resonante.
La gráfica de la figura 3 muestra la distribución de los asteroides en función de la distancia al Sol. Vemos que en la posición de la resonancia 2:1 no hay casi asteroides y que hay muy pocos en las órbitas más cercanas. La máxima concentración de asteroides se produce en puntos alejados de órbitas resonantes. A las distancias a las que hay otras resonancias la concentración de asteroides es casi nula. Ello ocurre, por ejemplo, en la distancia 2,5 UA, en la que el periodo de revolución alrededor del Sol es un tercio del de Júpiter, es decir, un objeto en esa órbita encuentra a Júpiter en la misma posición cada tres vueltas alrededor del Sol (resonancia 3:1). La existencia de órbitas resonantes entre Marte y Júpiter ha impedido la formación de un gran planeta en esa área. Es una zona fuertemente perturbada por la presencia del mayor planeta del sistema.
Puede pensarse que la existencia de órbitas resonantes es un fenómeno muy particular, que afecta solo a ciertas posiciones y que no debería tener influencia en el sistema solar como un todo. Pero Poincaré se dio cuenta de que el problema de las resonancias tenía consecuencias profundas cuando se trataba de calcular el comportamiento de un planeta a muy largo plazo. Como hemos dicho, siempre que el cociente de los periodos de dos planetas sea un número racional tendremos una resonancia. Las resonancias asociadas a números como 1:2 o 2:3 son muy fuertes y tienen consecuencias evidentes. Pero resonancias como 17:53 también se harán notar cuando el planeta de periodo más corto haya dado varias veces 53 vueltas. Es decir, es cuestión de tiempo, de que pase suficiente tiempo. Y el tema de la estabilidad del sistema solar también es cuestión de tiempo: queremos saber qué va a pasar con él en el futuro lejano. Poincaré demostró que, puesto que fueran cuales fueran los periodos de dos planetas su cociente siempre iba a estar cerca de algún número racional, era imposible, en general, encontrar una solución regular, por muy altos que fueran los números que formaran la fracción. Dicho en lenguaje técnico: Poincaré demostró que el desarrollo en serie de las soluciones a las ecuaciones de movimiento no era uniformemente convergente.
Poincaré respondió a la pregunta de Le Verrier de forma negativa: en general, no se pueden despreciar las resonancias pequeñas en un estudio a tiempos muy largos. El matemático francés replanteó completamente los métodos de la mecánica. Demostró que no es posible encontrar una solución analítica, una solución expresada en términos de funciones matemáticas conocidas, que represente el movimiento planetario en un intervalo infinito de tiempo. También demostró que la consideración de términos cada vez más pequeños en la interacción entre los planetas, la suma del efecto de más y más resonancias, no tenía por qué conducir a un valor finito. Esto tiene que ver con el problema matemático de sumar infinitos términos muy pequeños: el resultado puede ser un valor finito o infinito. Poincaré demostró que no siempre la suma de todos los efectos que afectan a la órbita de un planeta da una órbita definida.
La consecuencia física de estas dificultades matemáticas es el caos. Determinadas órbitas pueden comportarse de forma errática en el tiempo, sufriendo variaciones que son, en apariencia, indistinguibles de un movimiento aleatorio. Podemos servirnos de nuestros modernos ordenadores para explorar algunas de las consecuencias de la no regularidad del movimiento de los planetas. En la figura 4 se muestran dos trayectorias posibles del cuerpo de masa despreciable en el problema restringido de los tres cuerpos, el que abordó Poincaré en su memoria del premio del rey de Suecia. Este ejemplo muestra una de las características esenciales de los sistemas caóticos: la sensibilidad a las condiciones iniciales. Las dos trayectorias parten de puntos muy próximos, pero, al cabo de varias vueltas alrededor de uno y otro planeta, se separan hasta dar lugar a dos trayectorias completamente diferentes.
Además, el problema de los tres cuerpos muestra otra de las señas de identidad del caos determinista: la recurrencia. El cuerpo pequeño está atrapado gravitatoriamente por los dos planetas mayores. Aunque su trayectoria sea errática no se pierde en el infinito, sino que vuelve una y otra vez a dar la vuelta alrededor de uno u otro de los centros de atracción. Sensibilidad a las condiciones iniciales y recurrencia son dos de los ingredientes esenciales del caos determinista.
EL SISTEMA SOLAR ES CAÓTICO
El advenimiento de los ordenadores a mediados del siglo XX significó una revolución en todas las disciplinas científicas. Gracias a ellos fue posible resolver de forma numérica sistemas de ecuaciones que hasta entonces habían sido inmanejables, ya fuera por su complejidad o, simplemente, por el número de ecuaciones. Lógicamente los astrónomos, como todos los demás científicos, comenzaron a utilizar la nueva herramienta para abordar problemas que hasta entonces habían sido inabordables. El comportamiento del sistema solar como un todo era uno de esos problemas.
El Bureau des Longitudes se creó durante la Revolución francesa, el 7 mesidor del año III (25 de junio de 1795). Su objetivo, así declarado por la Convención Nacional, era arrebatar el control de los mares a los ingleses. Para ello era necesario mejorar notablemente el cálculo de las longitudes en alta mar, un cálculo de vital importancia para la navegación segura y eficiente. Entre los fundadores del organismo estaban Lagrange y Laplace. Un siglo después de su creación, Henri Poincaré tuvo el honor de presidirlo.
Desde tiempos inmemoriales el ser humano se ha servido de la astronomía para orientarse, tanto en tierra como en el mar. Las estrellas siempre han guiado a los marinos, y no pocos avances científicos están ligados a la navegación. Si el cálculo de la latitud de un lugar a partir de observaciones astronómicas es relativamente fácil (basta observar la altura de la estrella Polar sobre el horizonte o medir la altura del Sol a mediodía), conocer la longitud es un problema mucho más complejo. Su cálculo se obtiene midiendo la diferencia horaria entre un lugar conocido (el puerto de partida, por ejemplo) y la posición en la que el navío se encuentra en un momento determinado. El problema no se resolvió completamente hasta que el inglés John Harrison inventó a mediados del siglo XVIII su cronómetro marino, que funcionaba con precisión incluso en las tormentas más severas, como demostró el capitán Cook en uno de sus viajes alrededor del mundo.
El conocimiento preciso de las efemérides astronómicas, las coordenadas de los planetas y las estrellas en el cielo para cada día, también permite deducir la longitud del lugar de observación. Y el Bureau des Longitudes fue creado con la expresa misión de elaborar tablas lo suficientemente precisas como para permitir a los marinos franceses calcular su posición a partir de la observación de la posición de los astros en el cielo. Desde entonces la oficina ha asumido otras tareas relacionadas, como son la organización de expediciones científicas y la participación en las conferencias internacionales que establecen los patrones de tiempo.
ECUACIONES DIFERENCIALES Y SU RESOLUCIÓN NUMÉRICA
El modo en que un sistema cambia continuamente en el tiempo se describe matemáticamente mediante una ecuación diferencial. De forma general, una ecuación diferencial contiene una función desconocida y sus derivadas.
Ritmo de cambio constante
Supongamos que la nieve cae suavemente sobre un prado, y que lo hace a un ritmo constante. La altura de la nieve varía en el tiempo a ese mismo ritmo, por lo que podemos escribir la siguiente ecuación para la variación de la altura y(t) de la nieve en función del tiempo:
Esta ecuación expresa que la derivada de la función y(t) es una constante y su solución es cualquier función de la forma y(t)=at+b. Si cuando empezó a nevar no había nada de nieve, la constante b puede tomar el valor cero. La altura de la nieve aumenta así de forma proporcional a la duración de la nevada.
Ritmo de cambio proporcional a la magnitud
Otro ejemplo sencillo es el que representa una magnitud cuyo valor crece proporcionalmente a ella misma. Muchos fenómenos naturales se aproximan muy bien por una ley de este tipo en sus estadios iniciales: el número de bacterias en un cultivo, el número de átomos de uranio que se fisionan en una reacción nuclear en cadena, el número de individuos de una población sin depredadores, etcétera. La ecuación diferencial que expresa un crecimiento de este tipo es:
[1]
donde r es una constante que representa el factor de crecimiento. La solución de esta ecuación se corresponde con un crecimiento exponencial de la magnitud representada por y:
y(t) = y(0)ert,
donde y(0) es el valor inicial.
Resolución numérica
Para resolver una ecuación diferencial numéricamente usando un ordenador es necesario fijar una serie discreta de instantes de tiempo, ya que el ordenador solo puede dar un número finito de valores. Recordemos que la derivada se define como un límite:
Es decir, representa el incremento de la función por cada incremento de tiempo cuando este se hace muy pequeño. La forma más sencilla de abordar la solución de una ecuación diferencial por métodos numéricos es, simplemente, sustituir las derivadas por los incrementos. Así, la ecuación [1] se transforma en:
Despejando y(t+∆t), obtenemos el valor de la función en sucesivos instantes separados por un intervalo de tiempo ∆t:
y(t+ ∆t)=y(t)(1+r∆t).
La aproximación será tanto mejor cuanto más pequeño sea el intervalo de tiempo ∆t que hayamos considerado.
Representación de las soluciones
La figura muestra la solución analítica a la ecuación [1] (línea continua) para r=1, junto con la solución numérica (círculos) tomando ∆t=0,125. En los instantes iniciales la solución numérica representa de forma fidedigna la solución exacta. A medida que el tiempo avanza, el error cometido numéricamente va aumentando. Si disminuimos ∆t podemos controlar este error. Los matemáticos han ideado métodos numéricos más sofisticados que el que mostramos aquí. Estos permiten resolver de forma eficiente y precisa una enorme variedad de ecuaciones diferenciales.
Un astrónomo del Bureau des Longitudes, Jacques Laskar, emprendió en los años noventa del siglo pasado la formidable tarea de calcular las efemérides astronómicas «para siempre». Laskar no pretendía, evidentemente, proporcionar tablas de navegación para los marineros del siglo cinco mil. Su trabajo estaba en realidad en la estela de los de Lagrange, Laplace y Poincaré: responder de una vez por todas al tema que tanto preocupaba a los qiítas.
Lo primero que a uno se le ocurre si quiere calcular las trayectorias de todos los planetas del sistema solar con ayuda de un ordenador es poner en la ecuación de cada planeta la fuerza de gravedad que, según la ley de Newton, ejercen el Sol y los demás planetas sobre él. Es decir, meter todas las ecuaciones sin aproximaciones y sin simplificaciones. Un grupo de científicos del Jet Propulsion Laboratory, en Estados Unidos, hicieron eso en la década de 1980 y «solo» pudieron calcular el futuro del sistema para los próximos 44 siglos. Laskar quería más y, siguiendo los métodos de aproximación ideados por sus ilustres predecesores (Laplace, Poincaré y De Verrier, entre otros), pergeñó un modelo que tomaba en cuenta los ocho planetas principales incluyendo los efectos conocidos más importantes y despreciando términos irrelevantes. Las ecuaciones aproximadas de Laskar contenían 150000 términos polinomiales y ocupaban cerca de ¡1000 folios! Eso le permitió ir mucho más allá que sus colegas estadounidenses y pudo calcular con fiabilidad las trayectorias de los planetas hasta dentro de 200 millones de años. Con estas ecuaciones Laskar demostró que el sistema solar es caótico. ¿Qué queremos decir cuando decimos caótico? Que las trayectorias, en esas escalas de tiempo, se muestran irregulares, como si fueran aleatorias. En particular, si calculamos las trayectorias de un mismo planeta, por ejemplo la Tierra, partiendo de dos posiciones muy similares, al cabo de 100 millones de años las trayectorias serán completamente diferentes. En estas circunstancias no tiene sentido calcular las efemérides más allá de los 100 millones de años, porque esta sensibilidad a las condiciones iniciales las hace inexactas. Pero eso no significa que no podamos sacar conclusiones. Lo que los físicos y matemáticos hacen en estos casos es calcular todo un conjunto de trayectorias partiendo de condiciones iniciales diferentes.
Para calcular la trayectoria de un planeta que se mueve en el espacio tridimensional necesitamos dar seis números inicialmente: tres para especificar su posición en el espacio y otros tres para su velocidad. Estos conjuntos de números forman un espacio abstracto que en física matemática recibe el nombre de espacio de las fases. El espacio de las fases tiene dimensión 2 para un movimiento en una línea, dimensión 4 para un movimiento en el plano y dimensión 6 para un movimiento en el espacio.
Para ilustrar el concepto consideremos un cuerpo que esté restringido a moverse sobre una línea, por ejemplo un skater que se tira por una pista estrecha de skateboard. En este caso, basta conocer su posición y su velocidad inicial para saber cuánto tardará en recorrer la pista. En el espacio de las fases el movimiento del skater queda especificado si representamos la velocidad, v, en cada instante en función de la posición, x, como vemos en la figura 5. El movimiento de vaivén queda reflejado en el espacio de las fases en una curva en forma de elipse: la velocidad es máxima cuando el patinador pasa por el centro de la pista (x=0), su punto más bajo, y cero cuando llega a uno de los extremos (x máximo o mínimo), donde la altura es máxima. Si el skater consigue más altura en su ejercicio, la elipse correspondiente tiene una amplitud mayor. Si el movimiento se produce en una pista muy ancha, de forma que el patinador pueda desplazarse por su superficie, necesitaremos dos números para especificar su posición inicial y dos números para especificar su velocidad. El espacio de las fases tiene ahora dimensión 4. Y si la pista tiene rampas y montículos que permitan al skater saltar y hacer acrobacias en el aire, necesitamos dos números más para especificar su altura y su velocidad vertical. El espacio de las fases tiene entonces seis dimensiones, como el espacio de las fases de cualquier partícula que se mueva en el espacio al que nos referíamos en el párrafo anterior.
Si en lugar de un cuerpo tenemos N cuerpos, el espacio de las fases tiene dimensión 6N, para un movimiento tridimensional. El espacio de las fases del sistema solar tiene, por tanto, una dimensión muy grande, y para realizar una integración de sus ecuaciones, esto es, para resolverlas, hay que dar un número de valores iniciales igual a seis veces el número de planetas y satélites que incluyamos en el cálculo.
Lo que hizo Laskar fue explorar el espacio de las fases, es decir, estudiar qué zonas del espacio de las fases eran accesibles desde los valores actuales de las posiciones y velocidades de los planetas o valores cercanos a ellos. La conclusión a la que llegó fue que los planetas interiores (Mercurio, Venus, la Tierra y Marte) están sometidos a variaciones erráticas de sus elementos orbitales. Por ejemplo, la excentricidad de Marte, que refleja lo alargada que es la elipse que describe, varía caóticamente entre 0, órbita circular, y 0,1 (un valor cercano al actual). La excentricidad de la Tierra varía entre 0 y 0,06 (el valor actual es 0,017). La causa principal de estas variaciones erráticas son las resonancias entre los movimientos orbitales de la Tierra y Marte. La parte exterior del sistema solar, de Júpiter hacia fuera, tiene una dinámica menos caótica.
Como todos hemos experimentado, la capacidad de cálculo de los ordenadores avanza sin cesar y hoy en día es posible llevar los cálculos mucho más lejos que en en la década de 1990. Recientemente, Laskar y sus colegas del Bureau des Longitudes han utilizado supercomputadoras para calcular la evolución del sistema solar, sin aproximaciones, hasta dentro de 5000 millones de años. Más allá de este intervalo no tiene sentido hacer cálculos, puesto que ese es el tiempo de actividad que se espera para nuestro Sol. A partir de entonces será la evolución del Sol como estrella la que marque el destino de todos sus planetas.
Estos cálculos han confirmado todo lo dicho anteriormente y muestran, además, las siguientes conclusiones:
— La mayoría de las órbitas accesibles desde la situación actual no prevén colisiones entre planetas. En el 1% de los casos la órbita de Mercurio podría deformarse lo suficiente como para que el planeta fuera engullido por el Sol o chocara con Venus. En un escenario muy improbable, la excentricidad de Marte podría incrementarse lo suficiente como para pasar cerca de la Tierra o incluso colisionar con ella. Ello desestabilizaría las órbitas de los planetas terrestres y podría provocar una colisión entre la Tierra y Venus.
— Es posible, por fin, responder a la pregunta que Newton se hacía hace más de 300 años: ¿pueden las órbitas planetarias desestabilizarse lo suficiente como para que dos planetas choquen entre sí o alguno sea eyectado del sistema? La respuesta es que, con un horizonte de 5000 millones de años, estos sucesos catastróficos tienen una probabilidad del 1%.
Tampoco hay que preocuparse demasiado por estas conclusiones: los próximos miles de años se auguran bastante tranquilos.
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