Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы

В общем случае решение проблемы выбора портфеля на основе логического анализа взаимозависимых параметров активов не представляется возможным. Например, задача выбора наилучшего из двух портфелей А и В (рис. 1.1) при одинаковых ценах покупки тыс. долл. на основе подобных логических умозаключений вряд ли разрешима. Для решения такой задачи необходим инструмент определения МО доходности актива, при которой компенсируется риск отрицательной доходности.

1.4. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение доходности портфеля активов

С целью снижения инвестиционного риска инвесторы распределяют капитал, как правило, между несколькими видами ценных бумаг, т.е. формируют портфель активов.

Следует отметить, что поскольку текущие курсы ценных бумаг являются случайными величинами, то и текущие стоимость и доходность портфеля активов также случайны. Из теории вероятностей известно следующее свойство композиции (суммы) случайных величин: при композиции достаточно большого числа случайных величин с произвольными плотностями распределения суммарная плотность распределения результирующей случайной величины оказывается сколь угодно близка к нормальной вне зависимости от того, каковы были плотности распределения слагаемых [2]. При композиции двух или более случайных величин с нормальными плотностями распределения результирующая случайная величина всегда имеет нормальную плотность распределения [2]. Причём МО и дисперсия (квадрат СКО) результирующей случайной величины рассчитываются как суммы МО и дисперсий (квадратов СКО) слагаемых случайных величин. Следовательно, текущие стоимость и доходность портфеля активов можно полагать нормально распределёнными.

Необходимость формирования портфеля активов обусловлена двумя причинами.

Во–первых, всегда существует риск дефолта (неплатежа) эмитентов ценных бумаг. Очевидно, портфель, содержащий сравнительно небольшое количество активов (например, одну ценную бумагу), обладает катастрофическим риском. Это означает, что в случае дефолта одного из эмитентов инвестор понесёт недопустимо большие потери, сравнимые со стоимостью всего портфеля.

В литературе встречается термин «хорошо диверсифицированный портфель» – портфель, в котором предельно сокращён максимальный объём инвестиций в один рискованный актив. Подразумевается, что владелец такого портфеля в случае наступления негативного события психологически готов к относительно небольшим и прогнозируемым потерям. Считается, что хорошо диверсифицированный портфель должен содержать не менее 20 видов активов. При таком количестве видов активов в портфеле в случае дефолта одного из эмитентов инвестор не теряет шансы на получение дохода.

Во–вторых, диверсификация инвестиций приводит к уменьшению СКО стоимости и доходности портфеля и, как следствие, к снижению риска отрицательной доходности портфеля. Согласно портфельной теории Г.Марковица инвестор стремится оптимизировать структуру портфеля таким образом, чтобы МО доходности было максимальным, а СКО доходности – минимальным. Такой портфель должен содержать около 30–40 видов ценных бумаг компаний, действующих в различных отраслях [5, 6].

Определим МО и СКО доходности портфеля активов, используя при этом известные положения теории вероятностей – теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин [2].

Математическое ожидание доходности портфеля активов. В соответствии с соотношением (1.3) для оценки МО доходности портфеля, содержащего видов активов, необходимо определить цену покупки портфеля, МО капитального дохода и дивидендный доход портфеля.

При наличии в портфеле нескольких видов активов цена покупки портфеля составляет

где – количество активов i–го вида (эмитента) в портфеле; – цена покупки одного актива i–го вида; – объём инвестирования в актив i–го вида.

Если МО капитального дохода актива i–го вида равно , то МО капитального дохода совокупности активов одного вида составляет .

Математическое ожидание капитального дохода портфеля, который содержит видов ценных бумаг, равно

Тогда соотношение для МО капитальной доходности портфеля можно преобразовать к виду

где – относительный объём инвестирования в один актив i–го вида (доля актива i–го вида в стоимости портфеля); – математическое ожидание капитальной доходности актива i–го вида.

Необходимо отметить, что в полученном соотношении:

математическое ожидание капитальной доходности портфеля является не чем иным как средневзвешенной капитальной доходностью активов, входящих в портфель;

и в частном случае, когда объёмы инвестирования в активы одинаковы, .

Аналогичным образом определим дивидендную доходность портфеля активов

где – дивидендный доход актива i–го вида; – дивидендная доходность актива i–го вида.

Математическое ожидание доходности портфеля активов в целом составляет

где – математическое ожидание доходности актива i–го вида.

В литературе по теории инвестиций широко используется понятие средняя доходность ценных бумаг по видам, отраслям, за определённый промежуток времени и т.п. (см. табл. 1.2 и табл. 17.2 [1], табл. 6.5 [5], табл. 2.4 [6], табл. 28.1 и табл. 30.1 [7]). При этом под средней доходностью понимается среднеарифметическая доходность. Например, в табл. 1.2 [1] приведены данные за 68–летний период годовых доходностей трёх видов активов – акций, облигаций и казначейских векселей. На основе этих данных с использованием известной формулы рассчитаны среднегодовые (среднеарифметические) доходности каждого вида актива. То есть вес годовых доходностей безосновательно принят одинаковым . По этой причине полученные в табл. 1.2 [1] результаты расчётов среднегодовых доходностей активов и соответствующие выводы не могут заслуживать доверия.

Недопустимость подобного рода расчётов хорошо иллюстрируется простым примером. Предположим портфель содержит два актива А и В. Актив А был приобретён за 10 долл. и продан за 20 долл., а актив В – приобретён за 100 долл. и продан за 120 долл. (капитальные доходности активов соответственно равны и , относительные объёмы инвестирования – и . Согласно приведенным выше формулам получаем средневзвешенную и среднеарифметическую капитальную доходность

Результаты расчётов отличаются весьма существенно, что свидетельствует о недопустимости определения средней доходности (МО) портфеля активов без учёта их долей в стоимости портфеля.

Среднее квадратическое ожидание доходности портфеля активов. Если дисперсия дохода (стоимости) актива i–го вида равна , то дисперсия дохода портфеля, который содержит активов одного вида, составляет .

Дисперсия дохода портфеля, который содержит N видов активов, равна [1, 2]

где – коэффициент корреляции доходов (стоимости) активов i–го и j–го видов.

Формулу для расчёта дисперсии доходности портфеля можно преобразовать к виду

где и – средние квадратические отклонения доходности активов i–го и j–го видов соответственно.

Поскольку , а также при соответствующие коэффициенты корреляции равны единице () и, кроме того, и , получаем соотношение для СКО доходности портфеля активов [2]

Неравенство под суммой означает, что суммирование распространяется на все возможные сочетания и при условии выполнения указанного неравенства. Количество сочетаний и во втором слагаемом выражения (1.9) составляет .

Теоретически коэффициент корреляции доходов активов может принимать значения в пределах от –1,0 до +1,0. Однако на практике не существует активов, которые имели бы отрицательную корреляцию с каким–либо другим активом [1, 5]. По этой причине в дальнейшем будем полагать .

Коэффициенты корреляции доходов (стоимости) активов i–го и j–го видов рассчитываются с использованием исторических данных по формуле [2]

где – количество торговых дней в выборке исторической стоимости активов; и – стоимости активов i–го и j–го видов соответственно в –ый торговый день; и – математические ожидания стоимостей активов i–го и j–го видов соответственно.

Таким образом, с целью оптимизации структуры портфеля активов полученная совокупность соотношений позволяет оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение доходности портфеля активов. Матричная запись значений и позволяет использовать методы линейного программирования для оптимизации структуры портфеля активов [1, 3].

1.5. Достижимые множества портфелей

В портфельной теории решение задачи оптимизации структуры портфеля активов связано с понятием «достижимое множество портфелей», которое можно сформировать из ограниченного количества исходных активов [1]. В данном случае под активом понимается совокупность ценных бумаг одного эмитента, приобретённых по одинаковой цене, и, как следствие, все эти ценные бумаги обладают равными МО и СКО доходности, а их количество в активе зависит от суммы вложенных денежных средств.

Управление структурой портфеля в пределах достижимого множества осуществляется путём целенаправленного распределения капитала между активами. Поэтому достижимое множество является инструментом для выявления оптимальной структуры портфеля, что позволяет инвестору наиболее эффективно использовать ограниченные финансовые ресурсы.

Достижимое множество портфелей является областью определения МО доходности портфеля как функции СКО доходности, т.е. . Данная зависимость задана уравнениями (1.8) и (1.9) и двумя условиями

Для анализа достижимых множеств портфелей воспользуемся, во–первых, методами аналитической геометрии, в соответствии с которой приведенные выше первые два уравнения в общем случае описывают кривую второго порядка, в частности гиперболу, заданную в параметрической форме. В некоторых случаях, как показано ниже, гипербола вырождается в точку или отрезок прямой.

Методы аналитической геометрии позволяют определить параметры гиперболы, а также обеспечивают возможность перехода описания достижимого множества портфелей от параметрической формы к более удобной аналитической форме представления зависимости .

Во–вторых, для определения минимального значения СКО доходности портфеля и соответствующих значений объёмов инвестирования воспользуемся известным в математическом анализе методом нахождения экстремума функции с использованием частных производных. В данном случае составляется система из уравнений, которые представляют собой приравненные к нулю частные производные функции

Решения данной системы уравнений относительно переменных с учётом условий и позволяют рассчитать границу достижимого множества и МО доходности портфеля с минимальным значением СКО доходности .

В–третьих, при относительно большом значении для определения достижимого множества целесообразно использовать численные методы, что обусловлено чрезмерно громоздкими конечными формулами, которые выводятся в рамках аналитической геометрии. Численные методы предполагают определение достижимого множества портфеля, например, путём последовательного перебора всех возможных сочетаний объёмов инвестирования в каждый актив при этом большое количество арифметических операций предопределяет необходимость использования вычислительной техники.

Методологически оправданным (от простого к сложному) является анализ специфики достижимых множеств портфелей как комбинации:

безрискового актива с рискованным активом;

двух рискованных активов;

трёх рискованных активов;

рискованных активов;

безрискового актива и рискованных активов;

рискованных активов и активов с фиксированной доходностью.

При анализе инвестиционных качеств перечисленных вариантов комбинаций активов будем полагать, что возможности инвестора ограничены собственным капиталом.

Достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый актив и рискованный актив. На основании приведенных выше соотношений рассмотрим основные свойства портфеля, который состоит из безрискового актива и рискованного актива

где и – относительные объёмы инвестирования в безрисковый и рискованный активы соответственно; и – доходность и СКО доходности безрискового актива соответственно; и – МО и СКО доходности рискованного актива соответственно; – коэффициент корреляции доходностей безрискового и рискованного активов.

Поскольку в данном случае , СКО доходности безрискового актива равно нулю () по определению, а случайная и детерминированная величины всегда не коррелированны () получаем

После простых преобразований находим

Анализ соотношения (1.14) показывает, что зависимость МО доходности портфеля от СКО доходности является линейной (рис.1.2). Параметр является свободным членом в данной линейной зависимости, а отношение является тангенсом угла наклона прямой.

Рис. 1.2. Достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый и рискованный активы

Условия и ограничивают прямую линию отрезком прямой, который пересекает ось ординат в точке, соответствующей портфелю (, , , ), и завершается точкой, соответствующей портфелю (, , , ).

Таким образом, достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый и рискованный активы, имеет вид отрезка прямой линии, соединяющей точки и , соответствующие безрисковому активу и рискованному активу. При этом конкретное расположение портфеля на отрезке прямой зависит от соотношения относительных объёмов инвестирования в безрисковый и рискованный активы.

Достижимое множество портфелей, содержащих два рискованных актива. Предположим, что портфель содержит два рискованных актива и . По аналогии с соотношениями (1.10) и (1.11) получаем

где и – относительные объёмы инвестирования в активы и соответственно; и – МО доходностей активов и соответственно; и – СКО доходностей активов и соответственно и ; – коэффициент корреляции доходностей активов и .

Учитывая, что , из формулы (1.15) получаем соотношения для расчёта относительных объёмов инвестирования в активы и ()

После преобразований соотношений (1.15) и (1.16) получаем уравнение гиперболы вида

где – координата вершины гиперболы по оси ординат

– длина действительной полуоси гиперболы или координата вершины гиперболы по оси абсцисс ;

– длина мнимой полуоси гиперболы.

В качестве примера на рис. 1.3 представлены достижимые множества портфелей, содержащих два рискованных актива и , для коэффициентов корреляции , и .

Рис. 1.3. Достижимые множества портфелей, содержащих два рискованных актива и , для коэффициентов корреляции , и (зависимости 1, 2 и 3 соответственно)

Условия и ограничивают гиперболу точками, которые соответствуют портфелям с одним активом (, , , ) или (, , , ).

Анализ рис. 1.3 показывает, что достижимое множество портфелей, содержащих два рискованных актива, при располагается на дуге гиперболы (кривая 1) и при – на дуге гиперболы (кривая 2).

Портфели, соответствующие вершинам гипербол и , обладают минимально возможными значениями СКО доходностей из достижимых множеств и соответственно, причём наименьшее СКО доходности имеет место при .

В частном случае, когда активы и представляют собой совокупности ценных бумаг одного и того же эмитента, но приобретённых по разной цене (по этой причине активы отличаются МО и СКО доходности), коэффициент корреляции доходностей активов равен единице, т.е. . Тогда выражение для СКО доходности портфеля преобразуется к виду

и достижимое множество вырождается в отрезок прямой (на рис. 1.3 прямая 3). Уравнение отрезка прямой имеет вид

где – тангенс угла наклона прямой; – свободный член линейной зависимости.

Координаты вершины гиперболы и соответствующие объёмы инвестирования в активы и можно определить и методом выделения экстремума функции с использованием частных производных.

Принимая во внимание, что , преобразуем выражение для СКО доходности портфеля к виду

Для определения минимального значения СКО доходности актива приравняем к нулю производную

В результате решения данного уравнения получаем соотношения для расчёта объёмов инвестирования в активы и , при которых достигается минимальное значение СКО доходности актива

После подстановки выражений (1.18) и (1.19) для и в соотношения (1.15) и (1.16) получаем формулы для расчёта минимального значения СКО доходности , а также соответствующего ему значения МО доходности . Как и следовало ожидать, минимальным значением СКО доходности обладает портфель , поскольку , а .

Таким образом, два рискованных актива и порождают достижимое множество портфелей, которое в графической интерпретации располагается на дуге гиперболы , где точка является вершиной гиперболы.

Достижимое множество портфелей, содержащих три рискованных актива. Предположим, что портфель содержит три рискованных актива , и . По аналогии с соотношениями (1.15) и (1.16) получаем

где , и – относительные объёмы инвестирования в активы , и соответственно; , и – МО доходностей активов , и соответственно; , и – СКО доходностей активов , и соответственно; , и – коэффициенты корреляции между доходностями активов и , и , и соответственно.

На конкретном примере рассмотрим особенности построения достижимого множества портфелей, которые содержат три актива , и с коррелированными доходностями и параметрами, приведенными в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Параметры активов , и

Активы

Параметры

активов

А₁

А₂

А₃

15

10

5

0,14

0,13

0,12

На рис. 1.4 представлено достижимое множество портфелей для всех возможных сочетаний относительных объёмов инвестирования , и в каждый актив , и . Для наглядности внутренняя область достижимого множества заполнена кривыми, которые построены при фиксированных значениях .

Рис. 1.4. Достижимое множество портфелей , которые содержат три актива , и

Анализ рис.1.4 показывает, что внешняя граница и внутренняя область достижимого множества формируется бесконечным множеством дуг гипербол, сплошь заполняющих фигуру . Закономерности заполнения данной фигуры дугами гипербол, которые показаны пунктирными линиями, наглядно демонстрируется на рис. 1.4.

Внутренняя область достижимого множества содержит точки пересечения дуг гипербол. Это означает, что портфели с одинаковыми значениями МО доходности и СКО доходности могут быть сформированы несколькими вариантами объёмов инвестирования , и .

Внешняя граница достижимого множества по форме напоминает зонт [1] и состоит из пилообразной части и выпуклой части .

Пилообразная часть внешней границы достижимого множества формируется точками (портфелями, содержащими только один актив) , и , а также дугами гипербол с вершинами , и , попарно соединяющими эти точки (портфелями, содержащими только два актива):

дугой , которая формируется при ;

дугой , которая формируется при ;

дугой , которая формируется при .

Характерной особенностью выпуклой части достижимого множества является наличие вершины (, ). Портфель, соответствующий точке , обладает минимальным значением СКО доходности из всего достижимого множества, что достигается при объёмах инвестирования в активы , , .

Следует отметить, что СКО доходности портфеля заметно отличается в меньшую сторону от СКО доходностей исходных активов , и . То есть доходность портфеля является наиболее устойчивой из всего допустимого множества портфелей (в [1] портфель называют наименее рискованным, так как СКО доходности ассоциируется с риском).

Координаты вершины выпуклой части достижимого множества и соответствующие объёмы инвестирования в активы , и можно определить не только численными методами, но методом выделения экстремума функции с использованием частных производных.

Учитывая, что преобразуем выражение для дисперсии доходности портфеля к виду

Для определения минимального значения СКО доходности портфеля, содержащего три актива, решим систему уравнений

В результате получаем соотношения для расчёта объёмов инвестирования в активы , и , при которых достигается минимум СКО доходности портфеля

где

Рассмотренный подход позволяет определить координаты и вершины достижимого множества , которая соответствует портфелю с минимальным значением СКО доходности.

Аналогичный подход может быть использован для расчёта объёмов инвестирования в активы , и , при которых достигается минимум СКО доходности портфеля для заданного значения МО доходности портфеля . Другими словами, представляется возможным вывести соотношения для расчёта границы выпуклой части достижимого множества.

Учитывая, что и , получаем

Такое представление объёмов инвестирования и позволяет преобразовать выражение для дисперсии доходности портфеля как функцию объёма инвестирования

Для определения минимального значения СКО доходности портфеля при заданном значении МО доходности портфеля необходимо решить уравнение

В результате получаем соотношения для расчёта объёмов инвестирования в активы , и

где:

Анализ полученных соотношений показывает, во–первых, объёмы инвестирования , и прямо пропорциональны МО доходности портфеля , следовательно, граница выпуклой части достижимого множества является гиперболой. Во–вторых, условия , и ограничивают данную гиперболу. Координаты точек и , которые ограничивают гиперболу, могут быть определены из условий , , На рис. 1.4 такими точками являются , , и , , , которые соответствуют портфелям с двумя активами. В–третьих, граница выпуклой части достижимого множества формируется:

на участке – дугой гиперболы , т.е. двумя активами и ;

на участке – дугой гиперболы , т.е. тремя активами , и ;

на участке – дугой гиперболы , т.е. двумя активами и .

Таким образом, три рискованных актива , и порождают достижимое множество портфелей, которое в графической интерпретации располагается на плоскости в виде сложной фигуры , где точка является вершиной достижимого множества. Граница достижимого множества формируется дугами трёх гипербол.

Достижимое множество портфелей, содержащих рискованных активов. Как следует из предыдущего примера, из–за громоздких формул уже при для определения достижимого множества целесообразно использовать исключительно численные методы.

На конкретном примере рассмотрим особенности достижимого множества портфелей, которые содержат десять активов () с коррелированными доходностями и параметрами, приведенными в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Параметры активов

Активы

Параметры

активов

А₁

А₂

А₃

А₄

А₅

А₆

А₇

А₈

А₉

А₁₀

13,0

12,0

11,0

10,0

9,0

8,0

7,0

6,0

5,0

4,0

0,400

0,378

0,356

0,333

0,311

0,289

0,267

0,244

0,222

0,200

На рис. 1.5 представлено достижимое множество портфелей для всех возможных сочетаний относительных объёмов инвестирования в каждый актив. Сравнительный анализ рис. 1.4 и 1.5 показывает, что при и особенности построения, характер заполнения внутренней области и форма внешних границ достижимых множеств качественно идентичны.

Рис. 1.5. Достижимое множество портфелей , которые содержат десять активов

Следует отметить, что, во–первых, портфель, соответствующий точке , обладает минимальным значением СКО доходности из всего достижимого множества. Во–вторых, некоторые инвесторы отдают предпочтение портфелям с равномерным распределением объёмов инвестирования в каждый актив . На достижимом множестве рис. 1.5 такой вариант портфеля (т.е. при ) соответствует точке (, ). В–третьих, как правило, для снижения рисков инвестор ограничивает максимальный объём инвестирования в i–ый тип актива. Например, ограничение максимального объёма инвестирования в каждый актив до 20% приводит к сжатию достижимого множества, как это показано на рис. 1.5 в виде выделенной пунктирной линией внутренней области достижимого множества . Данная область окружает точку , которая соответствует портфелю с равномерным распределением объёмов инвестирования.

Таким образом, при рискованные активы порождают достижимое множество портфелей, которое по своим основным качественным характеристикам идентично достижимому множеству портфеля, содержащего три актива.

Достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый и рискованных активов. Представим совокупность из рискованных активов как актив с параметрами

Учитывая соотношения (1.12), (1.13), (1.20) и (1.21), получаем

здесь .

То есть комбинацию безрискового актива с совокупностью рискованных активов с объёмами инвестирования можно представить как комбинацию безрискового актива с одним рискованным активом . Для такой комбинации активов достижимое множество портфелей находится на отрезке прямой, соединяющей точки и .

Анализ полученных соотношений показывает, что относительный объём инвестирования в i–ый рискованный актив портфеля составляет , но доли рискованных активов по стоимости актива остаются неизменными.

На рис. 1.6 представлено достижимое множество портфелей , которые содержат комбинацию безрискового актива и совокупность рискованных активов .

Рис. 1.6. Достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый актив и совокупность рискованных активов

Анализ рис. 1.6 показывает, что, во–первых, участок границы достижимого множества является частью границы достижимого множества . Во–вторых, две границы достижимого множества и являются отрезками прямых, исходящих из точки, соответствующей безрисковому активу . Нижний отрезок прямой представляет портфели, являющиеся комбинациями актива и рискованного актива с наименьшим уровнем МО доходности . Отрезок прямой представляет комбинацию безрискового актива и портфеля . Эта прямая в точке является касательной к дуге гиперболы. Портфель называют «касательным портфелем» [1].

Таким образом, комбинация безрискового актива и совокупности рискованных активов порождают достижимое множество портфелей, которое в графической интерпретации включает, во–первых, достижимое множество портфелей рискованных активов и, во–вторых, часть плоскости между двумя отрезками прямых, исходящих из точки и ограниченных касательным портфелем и рискованным активом с наименьшим МО доходности .

Достижимое множество портфелей, содержащих рискованные активы и активы с фиксированной доходностью. Хорошо диверсифицированный портфель может содержать не только рискованные активы, но активы с фиксированной доходностью, к которым относятся банковские депозиты, привилегированные акции, облигации, в том числе и безрисковый актив. Так называемый «рыночный портфель» [1] содержит всю номенклатуру ценных бумаг, обращающихся на рынке.

Среднеквадратическое отклонение доходности активов с фиксированной доходностью равно нулю. Поэтому такие активы подобны безрисковому активу. Предположим, что из всей совокупности активов с фиксированной доходностью актив обладает максимальной доходностью, а безрисковый актив – минимальной.

На рис. 1.7 представлено достижимое множество портфелей , которые содержат комбинацию активов с фиксированной доходностью и совокупность рискованных активов .

Рис. 1.7. Достижимое множество портфелей, содержащих активы с фиксированной доходностью и совокупность рискованных активов

Анализ рис. 1.7 показывает, что прямолинейный участок верхней границы достижимого множества формируется активом и касательным портфелем . Прямолинейный участок нижней границы достижимого множества формируется безрисковым активом и активом . Все остальные возможные портфели находятся внутри достижимого множества . Следует отметить, что касательный портфель , который занимает особое место в портфельной теории, располагается не на границе достижимого множества , а в его внутренней области.

1.6. Эффективное множество портфелей

Границу достижимого множества на рис. 1.4 и 1.5 называют «эффективным множеством портфелей» [1]. Эффективным множеством портфелей, содержащих комбинацию безрискового актива и совокупность рискованных активов, является граница (рис. 1.6). На рис. 1.7 эффективным множеством портфелей является граница .

Портфель считается эффективным, если никакой другой портфель из достижимого множества не обеспечивает более высокое значение МО доходности при фиксированном уровне СКО доходности или имеет минимальный уровень СКО доходности из совокупности портфелей с одинаковым МО доходности [1]. Данное положение иллюстрируется рис. 1.8.

Рис. 1.8. Достижимое и эффективное множества портфелей

На рис. 1.8 представлено достижимое множество портфелей , во внутренней области которого расположен портфель с МО доходности и СКО доходности .

Очевидно, что совокупность портфелей из достижимого множества с равными СКО доходности равноценны по устойчивости доходности. Но портфель из данной совокупности, расположенный на границе достижимого множества , обладает наибольшим МО доходности и по этой причине является для инвестора наиболее привлекательным.

Совокупность портфелей из достижимого множества с равными МО доходностей равноценны по уровню МО доходности. Но портфель из данной совокупности, расположенный на границе достижимого множества , имеет минимальное значение СКО доходности, т.е. обладает наибольшей устойчивостью доходности и по этой причине является для инвестора наиболее привлекательным.

По этим причинам портфель , находящийся во внутренней области достижимого множества, по отношению к портфелям и неэффективен, поскольку инвестор без дополнительных затрат, исключительно путём целенаправленного распределения финансовых ресурсов может добиться более высокого МО доходности инвестиций или более высокой устойчивости доходности.

Таким образом, именно из эффективного множества инвестор будет выбирать оптимальный для себя портфель. Все остальные портфели из достижимого множества являются неэффективными, не представляющими интереса для инвестора [1].

1.7. Кривые безразличия

Эффективное множество портфелей сужает поле поиска оптимального портфеля, но все–таки не позволяет принять однозначное решение. В конце концов, инвестор должен выбрать единственный, наилучший с его точки зрения портфель.

Выбор того или иного портфеля из эффективного множества зависит от индивидуальных особенностей инвестора, в частности от степени избегания риска. В [1, с.176] предложена следующая классификация инвесторов по степени избегания риска:

Инвестор с высокой степенью избегания риска (осторожный инвестор) стремится в максимальной степени снизить инвестиционный риск независимо от имеющейся возможности получить высокий доход. Такой инвестор вероятнее всего отдаст предпочтение портфелю с наибольшей устойчивостью доходности (т.е. портфелю на рис. 1.5 с наименьшим СКО доходности). Инвестор, абсолютно не расположенный к риску, предпочтёт инвестирование исключительно в безрисковые активы.

Инвестор с низкой степенью избегания риска (агрессивный инвестор, спекулянт) принимает на себя инвестиционный риск в надежде на относительно высокий доход портфеля в будущем. Такой инвестор склонен отдать предпочтение портфелю с максимальным МО доходности, несмотря на высокую вероятность риска отрицательной доходности и высокую неустойчивость доходности (для такого инвестора портфель на рис. 1.5 является наиболее предпочтительным). Для достижения максимальной доходности актива спекулянт стремится использовать колебания курса актива с целью приобретения его по минимальной цене и продажи по максимальной цене.