Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Точный бухгалтерский учет подтолкнул и развитие других отраслей, таких как морское страхование. Мореходство было рискованным делом, ведь пираты только и ждали удобной возможности украсть ценный груз, а силы природы грозили пустить его ко дну. Благодаря точному учету всего, что находилось на борту, было проще оценивать риски и страховать плавания. Более ценными стали и сами корабли, а системы учета собственности и исполнения налоговых обязательств позволили оберегать их от захвата монархами, которые часто охотились за активами для пополнения пустеющей военной казны. Торговые классы согласились вносить в королевскую казну все причитающиеся налоги и оформлять все нужные документы, а взамен попросили гарантии того, что монарх не сможет присваивать никакие частные активы. На суше то же произошло с сельскохозяйственными угодьями: возможность обозначать, подтверждать и передавать право собственности создала рынок земли и труда, необходимого, чтобы сделать ее прибыльной, а также положила конец самовольному переделу земли правящими классами.

Шли столетия, и открытость и доступность цифр при ведении двойной записи подстегнули развитие капитализма. Одним из главных поборников двойной записи был миллиардер Джон Рокфеллер, владелец компании Standard Oil: на заре своей карьеры он работал бухгалтером и часто объяснял свой успех привычкой к строгому контролю и глубоким пониманием балансовых таблиц^[36]. Однажды Рокфеллер признался, что он отточил свои деловые навыки, внимательно изучая бухгалтерские книги своего первого работодателя, на которого работал несколько лет. Бухгалтерское дело приносило ему такую радость, что он каждый год устраивал праздник 26 сентября – в день, когда в 1855 году устроился на первую работу помощником бухгалтера.

Другим примером того, насколько важно точно вести бухгалтерию, служит Джозайя Веджвуд, сколотивший состояние на производстве керамики. В 1772 году он провел глубокий и комплексный анализ счетов своего предприятия, которые велись по методу двойной записи, использовал их, чтобы улучшить положение, и добился впечатляющих результатов^[37]. Цифры в книгах позволили Веджвуду выявить растущие затраты и задержки по платежам, которые вредили его растущему предприятию. Он внедрил ряд мер – в том числе первым попытался перейти к массовому производству – и таким образом максимизировал свою прибыль. И хотя это принесло ему исключительное богатство, деньги Веджвуда не просто текли к нему в карман. Он направлял средства на социальные нужды, в частности на кампанию за отмену рабства. Кроме того, Веджвуд внес великий вклад в науку: благодаря его состоянию подающий надежды натуралист смог отправиться в кругосветное путешествие на корабле “Бигль”. Контроль над числами – а следовательно, над прибылью, – который обеспечила бухгалтерия с двойной записью, спонсировал разработку теории эволюции путем естественного отбора, предложенной Чарльзом Дарвином. Кто бы мог подумать, что благодаря изобретению цифр человек сможет узнать, откуда он появился!

Наконец, стоит отметить, что бухгалтерское дело увлекало и Карла Маркса. Изучая истоки капитализма, Маркс попросил своего друга Фридриха Энгельса, семья которого владела хлопкопрядильной фабрикой на севере Англии, предоставить ему “пример итальянской бухгалтерии с пояснениями”^[38]. Именно анализируя счета предприятия Энгельсов, Маркс пришел к такому же, как Рокфеллер, мнению: контроль над производственными расходами и их оптимизация, ставшие возможными благодаря знаниям, полученным при ведении бухгалтерских книг, являются важнейшими элементами капиталистического предприятия. Стоит ли говорить, что Маркс не был от этого вывода в восторге. Он считал капитализм инструментом, который позволяет небольшому числу людей – собственникам средств производства – накапливать богатство. И за это богатство приходилось платить: капиталистическое производство могло развиваться “лишь таким путем, что оно [подрывало] в то же самое время источники всякого богатства: землю и рабочего”^[39], отмечал Маркс. При этом Маркс винил в расцвете капитализма исключительно систему двойной записи. Он понимал, что тот, кто контролирует цифры, контролирует всех и вся.

Утверждение Маркса, что капитализм истощит землю, по которой мы ходим, оказалось до странности пророческим. В последние годы высказываются мнения, что экологический кризис – катастрофическое изменение климата, беспрецедентные темпы вымирания, ускоряющееся обезлесение и значительное снижение плодородия почв (среди прочего) – также стал следствием перехода к бухгалтерии с применением двойной записи. Мы одержимы силой чисел и потому ценим лишь то, что можем записать цифрами в таблице. Это привело к тому, что мы обесцениваем активы, которые не можем представить в форме чисел, поддающихся манипуляциям, и принимаем меры, не соответствующие стоящим перед ними задачам. В итоге мы сводим экономику государств к одному случайно определенному числу – валовому внутреннему продукту, – которое, по крайней мере по мнению экономистов консервативного толка, нужно во что бы то ни стало увеличивать. Мы управляем мировой экономикой посредством институтов, которые подчиняются цифрам, то есть банков, практически имеющих карт-бланш на регулирование экономик целых стран. При этом мы не учитываем ценность наших почв, лесов, природы – особенно насекомых – и таких транснациональных активов, как полярные льды. Есть мнение, что мы таким образом лишь приближаем экологический коллапс^[40].

Нельзя, однако, сказать, что корпорации – зло, да и банки сами по себе не так уж плохи. Напротив, без банковских услуг у многих из нас не было бы дома и нам не довелось бы жить в относительной роскоши. Неудивительно, что лишь немногие из нас когда-либо задумывались о жизни вне капиталистической системы. Но в ней есть и минусы. Да, числа и сопутствующие им инструменты позволяют вести бухгалтерский учет. Да, бухгалтерский учет позволяет проводить проверки и предоставлять отчетность. Но без честного аудита он также позволяет осуществлять воображаемые транзакции, искать возможности для повышения прибыли и находить способы реализовывать их даже в отсутствие необходимых средств. Проблема в том, что порой эти воображаемые деньги оказываются востребованными – и банки лопаются.

Мы не усвоили урок краха банка Медичи, и на протяжении последних четырех столетий влияние и значимость людей, которые контролируют наши цифры, только росли. Во время финансового кризиса 2007 года на балансе у каждого из лопающихся банков было столько активов – денег, собственности и долговых обязательств, – что совокупные чистые активы даже нескольких из них превышали активы стран, в которых они работали. С экономической точки зрения, если бы правительства позволили им лопнуть, эти банки лишили бы огромное количество людей средств к существованию, обанкротили бы огромное количество важнейших для экономики компаний и разрушили бы огромное количество надежд своих стран на экономический рост. В связи с этим их пришлось признать “системообразующими” и спасать непомерной ценой, погружая весь мир в хаос.

Этот хаос показывает, какую власть получили над нами числа с тех пор, как мы изобрели их. И сразу становится понятно, как счетовод дал толчок к началу Великой французской революции, как американская борьба за независимость была связана с банковской системой и почему смерть одного-единственного бухгалтера привела к финансовому кризису в средневековой Европе.

Но несмотря на все достижения бухгалтерского дела и его влияние, многие из нас предпочитают оценивать развитие цивилизации по более эффектным критериям. Так, часто показателями степени развитости общества считаются архитектура, живопись, скульптура и музыка. Но и здесь стоит упомянуть о странном совпадении. И бухгалтерское дело, и искусство пережили судьбоносное перерождение в одно и то же время и в одном месте: на севере Италии на заре эпохи Возрождения. Как мы видели, развитие отчетности можно связать с прогрессом в искусстве счета. Но наиболее известные красоты Ренессанса подарила нам другая математическая инновация. Чтобы изучить эту революцию, мы должны вернуться в Древнюю Грецию – на родину предмета, который в первые годы изучения математики казался мне совершенно банальным. Я никак не мог понять, зачем нам вообще геометрия. Скоро мы это узнаем.

Глава 2. Геометрия. История завоеваний и творений

Все началось с поиска совершенных форм и чисел, составляющих фундамент Вселенной, но геометрия недолго пребывала в абстрактных сферах. Стоит, например, постичь природу треугольника, как появляется возможность составлять карты неба и Земли и прокладывать путь в непостижимые дали. Если добавить к этому таинственные свойства круга, можно будет строить, рисовать и завоевывать все, что только хочется. История геометрии начинается с предрассудка, проходит сквозь эпоху безрассудной алчности и амбиций, а затем дарит нам величайшие произведения искусства – и позволяет носить весь мир в своем кармане.

Знакомо ли вам имя пресвитера Иоанна? Возможно, вы встречали упоминание о нем в комедии Шекспира “Много шума из ничего”, где Бенедикт намекает на иллюзорность этого странного персонажа. “Не угодно ли вашему высочеству дать мне какое-нибудь поручение на край света? – говорит он. – Я готов за малейшим пустяком отправиться к антиподам, что бы вы ни придумали; хотите, принесу вам зубочистку с самой отдаленной окраины Азии, сбегаю за меркой с ноги пресвитера Иоанна, добуду волосок из бороды Великого Могола, отправлюсь послом к пигмеям? Все будет мне приятнее, чем перекинуться тремя словами с этой гарпией”^[41].

Пресвитера Иоанна, не говоря уж о его ноге, никто и никогда не видел. Долгое время считалось, что он был царем и правил где-то в Африке, этакий средневековый король Артур^[42]. Хотя никто не знал, где он живет – и существует ли он вообще, ведь легенды рассказывались веками, – короли, папы и императоры слали ему письма и просили его присоединиться к ним в борьбе с мусульманской угрозой. Дело в том, что в их представлении в царстве пресвитера Иоанна текли изумрудные реки, все было усыпано золотом, а жили там праведные христиане, которые превосходили в битве любого. Иными словами, пресвитер Иоанн был христианским правителем, которого все остальные христианские правители хотели заполучить в друзья. К несчастью, это было почти наверняка невозможно, поскольку они оказывались жертвами мистификации, которая владела умами на протяжении целых сотен лет.

В 1165 году византийский император Мануил I Комнин переслал одно письмо императору Священной Римской империи Фридриху Барбароссе. Сообщалось, что автором письма был пресвитер Иоанн (“пресвитер” – это звание священнослужителя), который рассказывал о своем царстве в Индии. В письме говорилось, что он был невероятно богатым потомком одного из трех волхвов, навестивших новорожденного Христа. Взволнованный Фридрих сразу написал ответ и отправил его с послом. Неизвестно, что случилось с этим посланием, но этот случай оказался лишь первым из множества разочарований, связанных с пресвитером Иоанном.

К началу XV века имя пресвитера Иоанна было у всех на устах. Так, в 1400 году король Англии Генрих IV написал письмо “пресвитеру Иоанну, царю Абиссинии”, надеясь установить англо-абиссинские отношения. (Оговорюсь, пожалуй, что прошествие двух веков его не смутило, поскольку в первом письме пресвитер Иоанн сообщил, что владеет источниками вечной жизни.) В 1402 году флорентиец Антонио Бартоли прибыл в венецианский Дворец дожей и привлек всеобщее внимание. Бартоли привез с собой нескольких африканцев, а также жемчуг, леопардов, звериные шкуры и экзотические травы. Он назвался посланцем пресвитера Иоанна, властителя Индии, который хотел заключить союз с христианскими правителями Европы. Дож отправил его назад с дарами, включая серебряную чашу, фрагмент Животворящего Креста и 1000 дукатов, и послал к пресвитеру нескольких умелых ремесленников и оружейников.

По всей видимости, Бартоли бежал с добычей, поскольку больше о нем не было ни слуха ни духа. Тем не менее молва о богатствах пресвитера Иоанна и его желании увидеть, как христиане противостоят мусульманскому натиску, никак не стихала. В конце концов легенда дошла до Португалии, где нашла благодарного слушателя в лице принца Генриха – набожного, аскетичного, образованного третьего сына короля. Генрих почти сразу решил, что именно ему суждено наконец отыскать пресвитера Иоанна и привлечь его на сторону католиков, даже если для этого ему придется обойти всю Землю вдоль и поперек.

Историки не сходятся во мнениях насчет того, что именно предпринял Генрих (известен еще как Энрике Мореплаватель)^[43]. Одни говорят, что он основал в Сагрише школу для обучения мореходов, судоводителей и корабельщиков. Другие считают, что он ограничился более общими, не столь формализованными мерами. Как бы то ни было, Генрих стремился задействовать все математические знания Южной Европы, чтобы покорить океаны и найти призрачное царство пресвитера Иоанна. Генрих привез в Португалию целый сонм специалистов, которые учили моряков корабельному делу, искусству навигации и картографии. Он сделал так много, что даже папский секретарь Поджо Браччолини отметил его достижения. “Как же славно быть единственным, кому достало отваги, решимости и целеустремленности, чтобы осмелиться сделать то, к чему никто прежде не подступался, – написал он в 1448 году. – Вы в одиночку [открыли] неведомые моря в невиданных странах, неведомые расы за пределами знакомого мира и дикие племена, живущие в самых дальних его уголках, куда не доходит солнце и куда еще никто не прокладывал путь”.

Вас вряд ли удивит тот факт, что Генрих так и не нашел пресвитера Иоанна. Зато он подготовил почву для европейского завоевания мира. Как? Применив геометрию, которую все мы изучаем в школе: синусы, косинусы и тангенсы прямоугольных треугольников и отношения между длинами окружности и диаметрами кругов и сфер.

В руках Генриха геометрия стала способом картографировать территории, прокладывать пути и устанавливать господство над миром. Так, потерпев кораблекрушение у берегов Португалии, Христофор Колумб осел на новом месте и нашел прекрасное применение картам, знаниям и навыкам, доступным благодаря основанной Генрихом школе в Сагрише. Вы уже знаете, к чему это привело. В последующие столетия те же знания дали нам кое-что даже получше: золотые века искусства и архитектуры.

Тайная сила треугольников

Когда мне было восемь лет, я обожал легенду о короле Артуре. Помню, как я продирался сквозь эпопею Т. Х. Уайта “Король былого и грядущего” и представлял себя одним из рыцарей (чуть ли не каждый день выбирая себе нового героя). Я помню и комнату, где в том же возрасте меня впервые заставили заняться геометрией.

Слово “геометрия” в буквальном переводе значит “измерение Земли”. Но в школе все, как правило, сводится к изучению двух- и трехмерных фигур и их свойств. Главным образом это треугольники и круги, но можно строить и другие фигуры, например квадраты, конусы, пирамиды и даже, если вы готовы к авантюре, додекаэдры. Можно также рассматривать графики, учиться делить пополам отрезки и углы и осваивать техники измерения расстояния между точками на прямой. Все перечисленное вызывало во мне сильнейшее чувство, противоположное обожанию. Геометрия казалась мне скучной. Я готов был признать, что в теореме Пифагора что-то есть. Но как только я познакомился с ней и узнал, что квадрат гипотенузы – самой длинной из сторон прямоугольного треугольника – равняется сумме квадратов катетов, я снова отключился и мыслями вернулся к королю Артуру и его Круглому столу, где все равны. Такое применение геометрических фигур мне было больше по душе.

Возможно, в восемь лет я проявил бы больше интереса, если бы мой учитель представил Пифагора как героя легенды, этакого греческого короля Артура. Оказывается, нет даже однозначных доказательств того, что человек, который сделал все, что приписывается Пифагору, вообще когда-либо существовал. Говорят, что он был апологетом вегетарианства, понял, что и утренняя, и вечерняя звезды – это Венера, осознал, что Земля имеет форму шара, и предположил, что планеты движутся по математическим законам. Однако нам почти ничего не известно о Пифагоре наверняка, поскольку ни одно из его сочинений не сохранилось^[44]. Мы не знаем даже простых вещей – например, где он родился. Мы лишь полагаем, что он родился на острове Самос в Эгейском море и был сыном огранщика. Историки относительно уверены лишь в том, что кто-то в итоге основал школу его имени в городе Кротон в современной Калабрии.

Ее основатель был очарован числами. Члены этого кружка, связанные тайными клятвами, входили в школу через арку, на которой значилось: “Все есть число”. По мнению пифагорейцев, числа управляли космосом. Степень их одержимости иллюстрирует рассказ – возможно, также легендарный – о судьбе ученого, который нарушил клятву, данную сообществу.

Его история, как и все хорошие геометрические истории, начинается с прямоугольного треугольника. Длина двух его сторон равна 1. По теореме Пифагора, если возвести длины двух коротких сторон (A и B) в квадрат и сложить получившиеся числа, получится квадрат гипотенузы (C). Запишем это уравнение:

A² + B² = C²

Поскольку и A, и B равны 1, вывод таков: если C² равно 2, то C – это число, которое при умножении на само себя дает 2, то есть квадратный корень из двух, или √2.

Мы не видим в этом ничего особенного. Но для пифагорейцев это было огромной проблемой. Они могли записывать числа, только если числа были целыми – 1, 2, 3 и так далее – или если они представляли собой отношение двух целых чисел. Вы точно сталкивались с математическими отношениями и их равенствами – пропорциями: например, при готовке мы в правильной пропорции смешиваем муку и масло, а еще не отступаем от пропорции, когда делаем сложные коктейли. Так, для “Манхэттена” нужны две части бурбона и одна часть сладкого вермута, а следовательно, пропорция здесь 2:1, и ее также можно выразить в виде дроби: 1/2 часть вермута при одной части бурбона. Пифагорейцы пытались найти пропорцию двух чисел, которая была бы числовым эквивалентом 2, и записать ее в виде дроби, такой как 1/3 или 5/6. Но у них ничего не получалось, несмотря на все старания.

Затем ситуация изменилась к худшему. Один из ученых Пифагорейской школы сумел доказать, что отчаянный поиск решения задачи о квадратном корне из 2 никогда не увенчается успехом. Оказывается, что √2 просто невозможно выразить отношением двух целых чисел, как ни пытайся. Дело в том, что сегодня мы назвали бы его “иррациональным” числом, то есть числом, которое невозможно записать в форме пропорции. Другой пример – число π (пи), да и вообще современная математика вообще богата на иррациональные числа, которые нередко играют в ней значимые роли.

Пифагорейцев так оскорбил этот выпад против универсальности целых чисел, что они решили держать существование иррациональных чисел в тайне. Однако, как гласит легенда, пифагореец Гиппас из Метапонта раскрыл этот секрет человеку, не входящему в их узкий круг. Когда его товарищи узнали о проступке Гиппаса, его сбросили за борт и оставили умирать посреди Адриатического моря. Мораль истории ясна: треугольники, по крайней мере прямоугольные, – это дело жизни и смерти.

Хотя нам точно не известно, чем занимались Пифагор и члены его кружка, один человек, которого занимали треугольники, действительно существовал, и это Фалес Милетский. Фалес был очень умен и предприимчив и жил на территории западного побережья современной Турции. Он родился около 640 года до нашей эры и ныне считается отцом философии науки. В глазах современников, однако, он был прирожденным дельцом. Считается, что однажды, заметив, что урожай оливок обещает быть особенно обильным, Фалес заранее скупил все прессы для отжима оливкового масла. Потом он сдавал их в аренду фермерам, заламывая огромные цены. Если же они отказывались брать пресс в аренду, он выкупал у них оливки по минимальной цене. В итоге Фалес сколотил состояние, которое позволило ему отойти от дел в среднем возрасте. Остаток жизни он посвятил науке. Новое хобби Фалеса благотворно повлияло на философию, естественные науки и математику: он первым стал использовать поддающиеся проверке гипотезы и теории для объяснения законов природы и первым записал несколько ключевых положений геометрии, которые мы изучаем и сегодня.

Скорее всего, Фалес сформулировал эти положения, странствуя по Египту. За тысячи лет до этого геометры играли важнейшую роль при проектировании таких великих египетских сооружений, как пирамиды. Но Фалес дополнил египетскую геометрию практической демонстрацией работы различных принципов. Так, он показал, что в треугольнике, который сегодня называется равнобедренным, углы при основании равны. Для этого он перевернул точную копию такого треугольника, и копия осталась идентичной. Он также продемонстрировал, что, зная длину основания и величины углов по обе стороны от него, можно получить все необходимые сведения о треугольнике. Это полезная информация. Если вы хотите узнать, насколько далеко корабль ушел в море, постройте треугольник с вершиной возле корабля. Возьмите известную длину побережья за основание треугольника, встаньте на одном конце этого основания и измерьте угол между основанием и кораблем. Затем перейдите на другой конец основания и снова измерьте, под каким углом находится корабль. Теперь постройте – если хотите, нарисуйте на песке – треугольник поменьше, в котором углы при основании равны только что измеренным. Определите отношение его высоты к основанию и умножьте полученное число на расстояние, отмеренное на побережье при построении первого треугольника. У вас получится расстояние от берега до корабля.

С помощью подобных треугольников можно определять расстояние до корабля в море

Применив другой вариант этой техники, Фалес показал, что такие “подобные треугольники” содержат полезные пропорции. По легенде, он поразил египетского фараона Амасиса II, вычислив высоту пирамиды, зная лишь высоту шеста, помещенного на кончик тени этой пирамиды.

Фалес показал, как вычислить высоту пирамиды, измерив длины теней

Длина тени от пирамиды P и длина тени от шеста S относятся друг к другу так же, как высота пирамиды H и длина шеста L. Можно записать это следующим образом:

Перестроим эту формулу и получим:

Следовательно, высота пирамиды равна произведению длины шеста и длины тени от пирамиды, деленному на длину тени от шеста. Мы увидим, что такие расчеты в итоге стали столпом средневековой навигации, называемым правилом трех: если при работе с подобными треугольниками вам известны три размера, можно вычислить четвертый, неизвестный, и мир окажется у ваших ног.

Свое излюбленное открытие в отношении треугольников Фалес совершил, когда построил один из них внутри окружности. Он показал, что если взять диаметр окружности (ее ширину в самой широкой части) в качестве основания, а вершину треугольника поместить на окружности (периметре круга), то полученный треугольник всегда будет прямоугольным. По легенде, выяснив это, Фалес пришел в такой восторг, что в знак благодарности за откровение принес богам в жертву вола.

Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность

Предложенный Фалесом метод вписывания треугольника в полуокружность для построения прямого угла нашел применение в строительной сфере. Перед постройкой здания выбирается прямая – например, идеальная линия, идущая с севера на юг, которую можно провести, отметив, куда в полдень падает тень от высокой колонны, такой как египетский обелиск. Затем к колышку привязывается веревка, а колышек вбивается в землю в той точке прямой, где должен быть угол (A). С помощью другого конца веревки на земле очерчивается окружность. Далее строится еще одна окружность такого же радиуса с центром в точке B, где получившаяся окружность пересекает линию север – юг. Окружности пересекаются в точке C, и через точки B и C проводится прямая, которая продолжается до точки D на такое же расстояние, как BC, то есть CD = BC. Точки A, B и D соединяются, и получается прямоугольный треугольник, в котором сторона AD идет точно с востока на запад. Разве не прекрасный способ начать строительство храма Солнца?

Геометрический метод построения оси восток – запад на основе имеющейся оси север – юг

Хотя с методом Фалеса разберутся и восьмилетние дети, он был не первым из тех, что строители использовали для построения прямых углов. До нас дошли свидетельства того, что еще около 2000 года до нашей эры ученые, жившие на территории современного Ирака, применяли теорему, выведение которой мы ошибочно приписываем Пифагору. Краеугольным камнем строительства стало представление о наличии строгой математической связи между длинами сторон прямоугольного треугольника. Чтобы построить здание с идеально прямыми углами в основании, рабочие пользовались веревкой и колышками. Они делили веревку на 12 отрезков, а затем привязывали один ее конец к вбитому в землю колышку. Далее они отмеряли три отрезка и вбивали второй колышек в той точке, где должен был получиться прямой угол. После этого они поворачивали примерно на 90 градусов и отмеряли четыре отрезка веревки. В этом месте устанавливали третий колышек, после чего веревку протягивали обратно к первому колышку. Если ее длины не хватало, третий колышек переставляли, пока периметр не замыкался. Так у второго колышка получался идеальный прямой угол, поскольку 3² + 4² = 5².

Веревка с узелками с относительными длинами 3, 4 и 5 была полезным строительным инструментом

Именно изучив свойства треугольников, окружностей и углов, мы смогли впервые оценить размер нашей планеты. В 240 году до нашей эры Эратосфен, заведовавший Александрийской библиотекой в Египте, произвел соответствующие расчеты и вычислил длину окружности Земли.

В древних источниках (написанных, стоит сказать, спустя несколько веков после смерти нашего героя) говорится, что Эратосфен услышал, будто бы в один день в году полуденное солнце освещает всю шахту глубокого колодца в городе Сиена (ныне Асуан) на юге Египта. Это был день летнего солнцестояния, когда солнце оказывалось в самой северной точке, а следовательно, прямо над городами, стоящими на широте, которую мы сегодня называем Северным тропиком, или тропиком Рака. Эратосфен решил, что, имея эти данные и проведя измерения в Александрии, он сможет вычислить, какая доля окружности Земли приходится на идущую (примерно) с севера на юг линию между Александрией и Сиеной. В нужный день он с помощью отвеса установил шест перпендикулярно земле. В полдень он измерил угол, который образовался между тенью от шеста и вертикалью. Он составил 7,2°. Поскольку сфера покрывает 360°, Эратосфен понял, что расстояние от Сиены до Александрии должно равняться 7/360 от всей длины окружности. Он знал, что расстояние между городами составляет 5000 стадиев, и применил правило трех, чтобы вычислить длину окружности. У него получилось около 250 тысяч стадиев.

Мне хотелось бы сказать вам, в какой степени ответ Эратосфена соответствовал действительности. К несчастью, мы точно не знаем, как перевести стадии в современные единицы измерения, а потому не можем с уверенностью судить о точности его выводов. Но порядок величин точно верен. По текущим данным, окружность Земли на экваторе составляет около 40 тысяч километров. Эратосфен, вероятно, оценил ее в 40–46 тысяч километров. Неплохо для человека, которого прозвали “бетой”, или “второсортным”, поскольку, хотя он и добивался успехов во многих сферах, он никогда ни в чем не был первым.

И этим наш король второго места не ограничился. Он понял, что ось, относительно которой вращается Земля, что приводит к смене дня и ночи, не совсем параллельна оси ее орбиты вокруг Солнца. Поэтому на Земле и сменяются сезоны: поскольку ось наклонена, в определенные периоды в процессе обращения планеты вокруг Солнца северное полушарие получает больше света, чем шесть месяцев спустя. Изучив геометрию теней, чтобы оценить, каким может быть угол наклона оси, Эратосфен пришел к выводу, что он составляет 11/83 × 180°, или 23,85°. На самом деле – около 23,4°. Опять же, неплохо.

Синус, косинус и тангенс

Невозможно продолжать разговор о треугольниках, не познакомившись с этой ужасной троицей: синусом, косинусом и тангенсом. Мало кто из нас хорошо понимает, что скрывается за этими словами. Если не вдаваться в детали, это числа, связанные с длинами сторон прямоугольного треугольника. Сегодня мы чаще всего встречаемся с ними, нажимая на кнопки калькулятора. Еще совсем недавно они записывались в таблицах, которые собирались в брошюры: мой первый учитель геометрии в начале каждого урока раздавал ученикам такие брошюры – помню, обложка у них была красно-белая. Я также помню, что во всех этих синусах, косинусах и тангенсах лично я видел лишь инструмент решения бесполезных математических задач.

В чем вообще их смысл? Неясно, когда эти термины вошли в обиход, но вероятно, что вариации величин, которые они представляют, использовались многие тысячи лет. Помните египетского писца Ахмеса? В его папирусе содержится вопрос: “Если высота пирамиды составляет 250 локтей, а длина ее основания равна 360 локтям, каков ее секед?” Из решения, которое он предлагает, задействуя длины сторон прямоугольных треугольников, становится понятно, что “секед” соответствует нашему котангенсу, то есть противоположности тангенса. В этом случае это противоположность тангенса угла между основанием и гранью пирамиды. Впрочем, мы забежали вперед. Начнем с синуса.

Как синус получил свое название

Он получил свое название по ошибке. Все началось с описания прямой вертикальной линии, показанной на рисунке выше. Она называется хордой дуги, а дуга – это отрезок окружности, по форме напоминающий лук. На санскрите хорда обозначается тем же словом, что и тетива: jiya. В арабских переводах ее называли jayb, но в записи по традиции обходились без гласных, поэтому оставалось только jb. При переводе древних трактатов по геометрии на латынь это слово ошибочно приняли за jaib, то есть “пазуха”, и потому использовали соответствующее латинское слово sinus.

Откуда берутся синусы, косинусы и тангенсы

Но что это такое? Синусы, а также косинусы и тангенсы – это просто отношения сторон треугольника (или результаты их сопоставления). Синус угла a – это отношение вертикальной стороны треугольника (BC) к радиусу окружности (или гипотенузе треугольника, AB на рисунке). Иными словами, синус угла – это длина противолежащей стороны, деленная на длину гипотенузы. Косинус угла a – это отношение основания треугольника AC к радиусу AB. Тангенс угла a – это отношение вертикальной стороны (BC) к основанию (AC). Теперь, узнав это, мы можем отправляться в путь.